黑龙江龙东地区中考数学解析

2019年黑龙江省龙东地区初中毕业、升学考试数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019黑龙江省龙东地区，1，3）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为________．【答案】1.8×105.【解析】根据科学记数法的记数规则改写即可.【知识点】科学记数法2．（2019黑龙江省龙东地区，2，3）在函数中，自变量x的取值范围是________．【答案】x≥2.【解析】根据二次根式有意义的条件得到一个不等式x-2≥0，解之即可.【知识点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件3．（2019黑龙江省龙东地区，3，3）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形．【答案】答案不唯一，AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°等.【解析】根据平行四边形的判定方法填上一个合适的条件即可.【知识点】平行四边形的判定方法4．（2019黑龙江省龙东地区，4，3）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是________．【答案】.【解析】用树状图或列表的方法即可求解.例如：甲白1甲白2乙黄乙白×××乙黄××√【知识点】概率；树状图法；列表法5．（2019黑龙江省龙东地区，5，3）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，则m的取值范围是________．【答案】m≤1.【解析】分别解两个不等式，得，∵该不等式组的解集是x＞1，∴m≤1.【知识点】不等式组解集的确定方法6．（2019黑龙江省龙东地区，6，3）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．【答案】60°.【解析】∵OA⊥BC，∴，∴∠AOB＝2∠ADC,∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°.【知识点】垂径定理；圆周角与圆心角关系定理7．（2019黑龙江省龙东地区，7，3）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是________．【答案】150°.【解析】∵圆锥底面圆的周长是5πcm，∴圆锥侧面展开后所得扇形的弧长是5πcm，设圆锥侧面展开图的圆心角为n，则，又∵R=6cm，∴n=150°.【知识点】圆锥的侧面展开图；弧长公式8．（2019黑龙江省龙东地区，8，3）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC＋PD的最小值是________．【答案】.【思路分析】结合已知条件，根据S△PAB＝S△PCD可判断出点P在平行于AB，与AB的距离为2、与CD的距离为4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.【解题过程】过点P作直线l∥AB，作点D关于直线l的对称点D1，连接CD1，∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，∴CD=4,DD1=8,在Rt△CDD1中，由勾股定理得CD1=，∴PC＋PD的最小值是.lDlD1DACBP【知识点】矩形的性质；勾股定理；最短路径问题9．（2019黑龙江省龙东地区，9，3）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为________．【答案】3或.【思路分析】在△BDE中，∠B是锐角，∴有两种可能，∠DEB或∠EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.【解题过程】如图1，∠DEB是直角时，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC==8,设CD=x，则BD=8-x，由折叠知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得x=3;如图2，∠EDB是直角时，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴,即，解得x=，综上，CD的长为3或. 图1 图2【知识点】轴对称；勾股定理；相似三角形10．（2019黑龙江省龙东地区，10，3）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019＝________．【答案】22017.【思路分析】读懂条件，理清题意，先从简单的情形入手，逐步过渡到复杂情况，从中找到计算规律即可.【解题过程】△AA1A2中，AA1=1，AA1边上的高是1，它的面积S1=×1×1；△A1A2A3中，A1A2=1×，A1A2边上的高是1×，它的面积S2=×1××1×；△A2A3A4中，A2A3=1××，A2A3边上的高是1××，它的面积S3=×1×××1××；…如此下去，△A2018A2019A2020中，A2018A2019==，A2018A2019边上的高是，它的面积S2019=××=22017.【知识点】正方形的性质；勾股定理；三角形的面积二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．（2019黑龙江省龙东地区，11，3）下列各运算中，计算正确的是（）A．a2＋2a2＝3a4 B．b10÷b2＝b5 C．（m－n）2＝m2－n2 D．（－2x2）3＝－8x6【答案】D【解析】根据整式的运算法则及乘法公式逐个判断即可.对于A，a2＋2a2＝3a3；对于B，b10÷b2＝b8；对于C，（m－n）2＝m2－2mn+n2；对于D，（－2x2）3＝－8x6.可见，A,B,C三个选项均错误，D正确，故选D.【知识点】整式的加减；幂的运算法则；完全平方公式12．（2019黑龙江省龙东地区，12，3）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A不是中心对称图形；B不是中心对称图形；C是中心对称图形；D不是中心对称图形，故选C.【知识点】中心对称图形13．（2019黑龙江省龙东地区，13，3）如图是由若干个相同小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】由主视图和俯视图可知，搭成几何体的小正方体最多6块，最少5块，故选B.【知识点】三视图14．（2019黑龙江省龙东地区，14，3）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是（）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差【答案】B【解析】将最低成绩写得更低了，平均数变小，方差变大，极差也变大，但中位数不变，故选B.【知识点】平均数；中位数；方差；极差15．（2019黑龙江省龙东地区，15，3）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】设每个支干长出的小分支为x个，则有1+x+x2=43，解得x1=6，x2=-7（舍去），∴每个支干长出的小分支为6个，故选C.【知识点】一元二次方程的应用16．（2019黑龙江省龙东地区，16，3）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（）A． B． C．4 D．6【答案】C【解析】设A(a,b)，B（a+m，b），依题意得，，∴，化简得m=4a.∵，∴ab=1，∴S平行四边形OABC=mb=4ab=4×1=4，故选C.【知识点】反比例函数的图象和性质；平行四边形的面积17．（2019黑龙江省龙东地区，17，3）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3【答案】A【解析】由得x=m-3，∵方程的解是非正数，∴m-3≤0，-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，∵m=6不在m≤3内，A.【知识点】分式方程的增根18．（2019黑龙江省龙东地区，18，3）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB︰BC＝3︰2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE，CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（）A． B． C． D．【答案】A【思路分析】求一个锐角的正切值，可将这个角置于一个直角三角形中，根据这个角的对边与邻边的长来求，基于此，构造直角三角形即可.【解题过程】如图，作EF⊥DC，交DC的延长线于点F，∵AB︰BC＝3︰2，∴设AB=6,BC=4，∵ABCD是矩形，∴DC=AB=6,∠BCD=90°，∴BD==,∴OD=OC=,∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OCEB是平行四边形，∵OC=OB,∴四边形OCEB是菱形，∴CE=.∵CE∥BD，∴∠ECF=∠BDC，∴sin∠ECF=sin∠BDC，∴,∴,∴EF=2,在Rt△CEF中，由勾股定理得CF=3，∴DF=DC+CF=6+3=9，∴tan∠EDC=,故选A.【知识点】菱形的判定和性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数19．（2019黑龙江省龙东地区，19，3）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【答案】B【思路分析】根据题意可列二元一次方程，再根据问题的实际意义，取正整数解即可.【解题过程】设分配一等奖x个，二等奖y个，依题意得6x+4y=34，其正整数解有，，，故选B.【知识点】不定方程的整数解20．（2019黑龙江省龙东地区，20，3）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE，DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO︰BE＝1︰3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4OOFDCAEB【答案】D【思路分析】根据条件逐一判断即可.【解题过程】对于①，∵AB=AC,AF⊥BC，∴BF=CF，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，∴△ABF≌△ECF，∴AB=EC，∴四边形ABEC是平行四边形，又∵AB=AC,∠BAC=90°，∴四边形ABEC是正方形，故①正确；对于②，∵平行四边形ABCD，∴AD=BC,AD∥BC，∴,∴CO︰AC＝1︰3,∵AC=BE，∴CO︰BE＝1︰3，故②正确；对于③，∵四边形ABEC是正方形，∴∠AEC=∠ECF=45°，∵AD∥BC，∴∠ADC=45°，∴△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD,∵AD=BC，∴DE＝BC，故③正确；对于④，∵AB=CE,AB=CD,∴CE=CD,∴S△ACE=S△AED，∵四边形ABEC是正方形,∴AF=EF，∴S△AFD=S△AED，∴S△ACE=S△AFD，∴S△ACE-S△AOF=S△AFD-S△AOF，即S四边形OCEF＝S△AOD，故④正确.综上，①②③④均正确，故选D.【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质；比例线段；三角形的中线；三角形的面积；勾股定理三、解答题（本大题共8小题，满分60分）21．（2019黑龙江省龙东地区，21，5）先化简，再求值：，其中x＝2sin30°＋1．【思路分析】按顺序逐步计算即可.【解题过程】解：原式=…………………（1分）=……………………（1分）=.………………………（1分）当x＝2sin30°＋1=2时，……………………（1分）原式==1．………………（1分）【知识点】分解因式；通分；约分；分式的化简求值；特殊角的三角函数值22．（2019黑龙江省龙东地区，22，6）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【思路分析】对于（1），画出轴对称三角形后即可得到点A1的坐标；对于（2），画出旋转后的三角形即可得到点A2的坐标；对于（3），线段OA旋转过程扫过的面积是一个扇形的面积，确定其半径和圆心角后，代入扇形面积公式计算即可.【解题过程】解：（1）画出正确的图形………………（1分）A1(-4,1)……………………（1分）（2）画出正确的图形……（1分）A2(1，-4)……………………（1分）（3）∵OA==,………………（1分）∴线段OA扫过的面积为=.………………（1分）【知识点】轴对称作图；旋转作图；扇形面积公式23．（2019黑龙江省龙东地区，23，6）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（3，0）、点B（－1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线MN上，且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．【思路分析】对于（1），既可以用待定系数法求解析式，也可以根据二次函数的交点式直接确定解析式；对于（2）考虑到符合题意的点P可能有两个，因此要分类讨论解决问题.【解题过程】解：（1）方法1：把A（3，0）、B（－1，0）代入y＝x2＋bx＋c，得，……………………（2分）∴，……………（1分）∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.………………………（1分）方法2：∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（3，0）、点B（－1，0），∴抛物线的解析式为y＝（x-3）（x+1），……………（3分）即y=x2-2x-3.…………………………（1分）（2）P1(4,3),P2(8,3).……………………（2分）延长CA交MN于点E，①如图1，当点P在点E左侧时，过点P,A作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，分别交于点F,G，由（1）知，OD=OC=3,OB=1,∴CD=6，∴S△DBC==3.设P（m，3），则PF=6,AG=CG=3,CF=m，GF=m-3，∵S△PAC＝S△PCF-S△ACG-S梯形AGFP＝3,∴m×6-×3×3-（3+6）（m-3）=3，解得m=4.∴P1（4,3）；②如图2，当点P在点E右侧时，同①理可得P2（8,3）.综上，点P的坐标为P1（4,3）或P2（8,3）.图1 图2 图3方法2：如图3，由图可知，△BDC与△PAC的铅垂高相等，∵两个三角形的面积相等，所以它们的水平宽也相等，∴AR=AS=BO=1,∴R(2,0),S(4,0),又DP1=2OR,DP2=2OS,∴DP1=4,DP2=8,∴P1（4,3）或P2（8,3）.【知识点】待定系数法；二次函数的图象和性质；三角形的面积24．（2019黑龙江省龙东地区，24，7）“世界读书日”前夕，某校展开了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：（1）求本次调查中共抽取的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是________；（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？【思路分析】对于（1），根据条形图中第1组的人数以及扇形图中第1组所占百分比即可求得；对于（2），先根据抽取的人数和扇形图中第3组所占百分比计算出条形图中第3组的人数，再根据条形图中第1,3,4组的人数计算出第2组的人数，即可补全条形图；对于（3），根据条形图中第2组的人数和抽取的学生人数即可计算出扇形图中第2组所占百分比，再根据百分比计算扇形圆心角即可；对于（4），根据第3组和第4组人数以及抽取的人数，可得到阅读书籍的数量不低于3本的学生人数占抽取的学生人数的比例，再乘以1200即可求解.【解题过程】解：（1）15÷30%=50，……（1分）答：本次调查中共抽取学生50人.…………（1分）（2）10,20，在图中正确画出.………………（2分）（3）72°.………（1分）（4）1200×=600，……（1分）答：估计全校阅读书籍不低于3本的学生有600人.………（1分）【知识点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体25．（2019黑龙江省龙东地区，25，8）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明．小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．（1）求函数图象中a的值；（2）求小强的速度；（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【思路分析】对于（1），结合图象，全面、仔细分析运动对象和运动过程，（0,300）这个点的含义是：小明出发5分钟时，离学校300米，此时小强出发A（10，a）的含义是：小强出发10分钟后，小明离学校a米，此时小明运动的时间为10+5=15分钟，结合以上两个条件，可以求出a的值；对于（2），小强出发12分钟后与小明相遇，此时小明运动了15+2=17分钟，其中最后两分钟是折返后的行程，由此可计算出两人相遇地点与学校之间的距离，再根据小强运动到相遇地点所用的时间，即可计算出小强的速度；对于（3），先确定点B的坐标，再根据待定系数法即可求出线段AB的函数解析式.【解题过程】解：（1）a==900.……………（2分）（2）小明的速度为300÷5=60（米/分）……………………（1分）小强的速度为（900-60×2）÷12=65（米/分）………………（1分）（3）由题意得B（12,780）…………………（1分）设AB所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),把A（10,900），B（12,780）代入得：，解得，………………（1分）∴线段AB的解析式为y=-60x+1500，(10≤x≤12).…………（2分）【知识点】一次函数的实际应用26．（2019黑龙江省龙东地区，26，8）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF＋BH＝BD；（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF，BH，BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．图① 图② 图③【思路分析】条件中有等腰三角形ABC，故考虑用等腰三角形的性质；条件中有30°角，且有AD⊥BC，故可以找到与BD有关的的数量关系，即AD＝BD；条件中有中点，故考虑构造全等三角形.结合以上信息，再结合问题中的DF,BH两条线段，因此连接CF，问题可解.对于图②和图③，可仿照（1）的思路求解.【解题过程】解：（1）证明：连接CF，∵AB=BC，∠ABC==30°，∴∠BAC=∠ACB=75°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠DAC=15°.……………………（1分）∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，………………（1分）∴∠ACF=∠DAC=15°，∴∠BCF=75°-15°=60°，∵BH⊥AB，∠ABC=30°，∴∠CBH==60°，∴∠CBH=∠BCF=60°.………………（1分）在△BHM和△CFM中，∠CBH=∠BCF，BM=CM，∠BMH=∠CMF，∴△BHM≌△CFM，………………（1分）∴BH=CF,∴BH=AF，Rt△ADB中，∠ABC=30°，∴AD=BD,…………（1分）∴DF＋BH＝BD.………………（1分）（2）图②猜想结论：DF＋BH＝BD；…………（1分）图③猜想结论：DF＋BH＝BD.………………（1分）【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；全等三角形的判定和性质27．（2019黑龙江省龙东地区，27，10）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生.已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具，3个乙种文具共需花费30元.（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？（3）设学校投入资金w元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？【思路分析】对于（1），根据“购买2个甲种文具，1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具，3个乙种文具共需花费30元”这个条件，可列方程组求解；对于（2），根据“投入资金不少于955元又不多于1000元”这个条件，可列不等式组求解；对于（3），根据题意，列出投入资金w（元）与购买甲种文具数量x（个）之间的函数关系式，再进一步根据一次函数的增减性分析，即可求解.【解题过程】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得…………（1分），…………………………（1分）解得.…………………………（1分）答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元.………………（1分）（2）根据题意得955≤15x+5（120-x）≤1000，……………………（1分）解得35.5≤x≤40，……………………（1分）∵x是整数，∴x=36,37,38,39,40.∴有5种购买方案.……………………（1分）（3）∵w=15x+5（120-x）=10x+600，………………（1分）∵10＞0，∴w随x的增大而增大，当x=36时，w最小=10×36+600=960元，………………（1分）∴120-36=84.答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时投入资金最少，最少资金是960元.……（1分）【知识点】二元一次方程组的实际应用；一元一次不等式组的实际应用；一次函数的实际应用28．（2019黑龙江省龙东地区，28，10）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB,BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根（BC>AB），OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，