湖南省长沙市宗一学校2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省长沙市宗一学校2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某地一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（）参考答案：答案：D解析：结合图象及函数的意义可得。2.“”是“直线与直线垂直”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A3.若对任意x∈[1，2]，不等式4x+a?2﹣x+1﹣a2＜0（a∈R）恒成立，则a的取值范围是(

) A．a＞或a＜﹣2 B．a＞或a＜﹣4 C．a＞或a＜﹣2 D．a＞或a＜﹣4参考答案：B考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：分别取a=3，x=2或者a=﹣3，x=2排除即可．解答： 解：当a=3时，4x+3?2﹣x+1﹣9＜0，若x=2，则42+3?2﹣2+1﹣9＞0，故A，D不符合，当a=﹣3时，4x﹣3?2﹣x+1﹣9＜0，若x=2，则42﹣3?2﹣2+1﹣9＞0，故C不符合，故选：B．点评：考查学生理解掌握不等式恒成立的条件，直接算很难，采取举反例，属于中档题．4.已知全集且则等于(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略5.已知命题:存在∈(1,2)使得,若是真命题，则实数的取值范围为（）A.(-∞,)

B.(-∞,]

C.(,+∞)

D.[,+∞)

参考答案：D因为是真命题，所以，为假命题，所以，，有，即，又在（1,2）上的最大值为，所以。6.已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30° B．45° C．60° D．120°参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．7.已知命题p：?x∈R，9x2－6x＋1>0；命题q：?x∈R，sinx＋cosx＝，则（

）Ap是假命题

B．q是真命题C．p∨q是真命题

D．p∧q是真命题参考答案：C略8.已知集合，，则(

)A、{｜0＜＜}B、{｜＜＜1}C、{｜0＜＜1}D、{｜1＜＜2}参考答案：B略9.将正整数从小到大排成一个数列，按以下规则删除一些项：先删除，再删除后面最邻近的个连续偶数，再删除后面最邻近的个连续奇数，再删除后面最邻近的个连续偶数，再删除后面最邻近的个连续奇数，按此规则一直删除下去，将可得到一个新数列，则这个新数列的第项是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A10.设数列和分别为等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.A、B、C三点是一直线公路上的三点，BC=2AB=2千米，从三点分别观测一塔P，从A测得塔在北偏东，从B测得塔在正东，从C测得塔在东偏南，求该塔到公路的距离。

．

参考答案：略12.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是

.参考答案：8抛物线的焦点坐标为，在双曲线中，所以，所以，即双曲线的右焦点为，所以。13.正项数列满足：（），则

.参考答案：14.已知：＝2+,则＝

参考答案：15.双曲线：的右焦点在直线：(原点为极点、轴正半轴为极轴)上，右顶点到直线的距离为，则双曲线的渐近线方程为

．参考答案：16.若实数、满足，则的取值范围是

参考答案：略17.已知函数f（x）＝lnx－ax的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数a的值为___________.参考答案：3试题分析：因为在处的导数值为在处切线的斜率，又因为，所以考点：利用导数求切线.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.参考答案：（I）；（II）（ⅰ）证明：见解析，且直线AE恒过点.（ⅱ）的面积存在最小值为16.【知识点】解析几何综合.

H10解析：（I）由题意知，设，则FD的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得.

所以抛物线C的方程为.（II）（ⅰ）由（I）知，设，因为，则，由得，故，

故直线AB的斜率为，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，

由题意，得.设，则，.当时，，可得直线AE的方程为，由，整理可得，∴直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，因为点在直线AE上，故，设，直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，，所以点B到直线AE的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立.所以的面积的最小值为16.【思路点拨】（I）设，因为，则FD的中点为，由为正三角形求得p=2，所以抛物线C的方程为.（II）（ⅰ）由（I）知，设，得，

故直线AB的斜率为，设直线的方程为，代入抛物线方程，由得.从而得切点.当时，，可得直线AE的方程为，由，得直线AE的方程，∴直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点.

所以直线AE过定点.（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，故，因为直线AB的方程为，即：，代入抛物线方程得，设，则，可求得，，所以点B到直线AE的距离为：d.则的面积，当且仅当即时等号成立.所以的面积的最小值为16.19.已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．参考答案：【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】（1）结合真数大于零得到关于x的不等式组即可求得函数的定义域；（2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．【解答】解：（1）要使函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）函数的定义域关于坐标原点对称，∵f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x）∴f（x）是奇函数．（3）若a＞1时，由f（x）＞0得loga（x+1）＞loga（1﹣x），则，求解关于实数x的不等式可得0＜x＜1，故不等式的解集为（0，1）．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥AE；（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（Ⅱ）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE；（Ⅲ）过点A作AM⊥PD，由（Ⅱ）知，AE⊥面PCD，故∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一个平面角，用面积法求得AE和AM，从而可求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，∵AE?面PAC，故CD⊥AE．（Ⅱ）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（Ⅰ）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE（Ⅲ）解：过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM，则（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD，因此∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一个平面角．由已知，得∠CAD=30°．设AC=a，则PA=a，AD=，PD=，AE=．在直角△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM×PD=PA×AD，∴AM=．在直角△AEM中，AE=，AM=，∴EM=a∴tan∠AME==．所以二面角A﹣PD﹣C的正切值为．【点评】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．21.（本小题满分13分）已知数列满足，且（且）．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设数列的前项和为，求．参考答案：22.已知函数，.（Ⅰ）若f(x)满足，求实数a的值；（Ⅱ）讨论f(x)的极值点的个数；（Ⅲ）若（）是f(x)的一个极值点，且，证明：.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，无极值点；当或时，有个极值点；（Ⅲ）见解析【分析】（Ⅰ）对求导，由构建方程，求得的值；（Ⅱ）对求导，利用分类讨论思想讨论在当，，时的单调性，进而分析极值点的个数；（Ⅲ）由，可得，此时由（Ⅱ）可知其两个极值为-2和时，又（）是的一个极值点，则，即可表示，进而由换元法令，构造新的函数利用导数证明此时的不等式即可.【详解】（Ⅰ）.，所以.（Ⅱ）当时，令，解得，.①当时，，当变化时，，的变化如下表↗极大值点↘极小值点