《离散数学半群与群》课件

离散数学半群与群课程概述介绍离散数学半群和群的定义、性质、以及重要定理。通过理论讲解和例题分析，帮助学生掌握半群和群的基本概念和运算。培养学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力。集合相关概念复习集合的定义集合是指具有某种共同特征的事物的总体。例如：所有自然数的集合，所有偶数的集合。集合的表示方法集合的表示方法主要有列举法和描述法。列举法将集合中的元素一一列举出来，描述法则用语言描述集合的特征。集合的运算集合的运算包括并集、交集、补集等，这些运算用于描述集合之间的关系。二元运算与运算律二元运算将集合中的两个元素组合成一个新元素的运算。交换律运算顺序不影响结果，例如a+b=b+a。结合律运算顺序不影响结果，例如(a+b)+c=a+(b+c)。单位元存在一个元素，与任何元素运算后，结果不变。半群的定义和性质1定义一个集合S和S上的二元运算·，如果满足结合律，则称(S,·)为一个半群。2性质半群中的结合律是半群的基本性质，它保证了运算的顺序不影响结果。3例子自然数集N上的加法运算就是一个半群，因为它满足结合律。半群的子半群定义设S是一个半群，T是S的一个非空子集，如果T对S中的二元运算封闭，即对任意a,b∈T，都有a*b∈T，则称T是S的子半群。性质一个半群的子半群也是一个半群，因为子半群满足半群的定义，它拥有封闭性、结合律。例子例如，整数集Z在加法运算下构成一个半群，而正整数集Z+也是Z的一个子半群，因为正整数集在加法运算下封闭。半群的同构与同余关系同构是指两个半群之间存在一一对应关系，且该对应关系保持了半群的运算结构。同余关系是指半群上的一个等价关系，它满足一定的性质，使得等价类也构成一个半群。同构和同余关系是研究半群结构的重要工具，它们可以帮助我们理解半群的性质和之间的联系。群的定义和性质定义群是由集合和二元运算构成的代数结构。它满足以下性质：封闭性：任意两个元素的运算结果也在集合中结合律：运算满足结合律单位元：存在一个单位元，使得任何元素与它运算都得到本身逆元：每个元素都有一个逆元，使得它与逆元运算得到单位元性质群具有许多重要性质，例如：单位元是唯一的每个元素的逆元是唯一的运算满足消去律群的子群定义一个群的子群是一个非空子集，在这个子集上群运算封闭且满足群的公理.例子整数集在加法运算下构成一个群，偶数集是它的一个子群.性质子群的交集也是子群，但是并集不一定.群的生成元和循环群1生成元一个群中的生成元是指一个元素，通过它可以生成群中的所有元素。2循环群如果一个群的所有元素都可以由一个元素生成，那么这个群被称为循环群。3性质循环群具有许多独特的性质，例如，循环群一定是交换群。群的同构与同余关系同构两个群的结构相同，但元素不同。例如，循环群和加法群同构。同余关系群中的元素之间存在等价关系，形成等价类。拉格朗日定理子群数量子群数量子群数量子群数量子群数量拉格朗日定理揭示了有限群的子群数量与群的阶数之间的关系同态和等价1同态的概念同态是将一个代数结构映射到另一个代数结构，同时保持代数运算的性质。2同态的类型同态可以是单射、满射或双射，分别对应着同构、满同态和同构。3等价关系等价关系是将一个集合中的元素划分为等价类，满足自反性、对称性和传递性。正规子群定义若一个群G的子群N满足：对于任意g∈G，有gN=Ng，则称N为G的正规子群。重要性质正规子群的陪集构成一个群，称为商群。正规子群是群的同态像。商群定义商群是指一个群除以它的一个正规子群所得的群.构造通过定义一个等价关系，把群中的元素划分成若干个等价类，这些等价类构成商群的元素.应用商群在群论、抽象代数和拓扑学等领域中有着广泛的应用.同构定理第一同构定理设G是一个群，N是G的一个正规子群，则G/N与G在N中的商群同构。第二同构定理设G是一个群，H和K是G的两个子群，其中K是G的正规子群，则H/(H∩K)与(HK)/K同构。第三同构定理设G是一个群，N和M是G的两个正规子群，且N包含于M，则(G/N)/(M/N)与G/M同构。群的直积定义多个群的直积是将这些群的元素组合成新的元素形成的群。运算直积群的运算定义为对应元素的运算。性质直积群具有结合律、单位元、逆元等性质。群的同胚同胚关系是指两个群之间存在一个双射，这个双射保持了群的运算性质。同胚是群论中一种重要的关系，它可以帮助我们理解不同群之间的联系。通过研究同胚关系，我们可以将不同的群进行分类和比较。群的表示矩阵表示通过矩阵运算来表示群元素。置换表示通过置换操作来表示群元素。线性表示通过线性变换来表示群元素。对称群定义对称群是指一个集合上的所有置换构成的群，它是一个重要的数学结构。性质对称群拥有许多独特的性质，比如它是非交换群，而且它的阶数等于集合元素的阶乘。应用对称群在密码学、组合数学、物理学等领域都有广泛的应用。循环群定义由一个元素生成的群称为循环群，该元素称为群的生成元。性质循环群是交换群，且其所有子群也是循环群。例子整数加法群、模n加法群都是循环群。平移群1定义平移群是指由所有平移变换组成的群。它是一个无限群，其元素是平移向量。2运算平移群的运算为向量加法，即两个平移向量的合成。3性质平移群是一个交换群，这意味着平移向量的加法满足交换律。矩阵群定义由可逆矩阵组成的集合，在矩阵乘法运算下构成群。性质矩阵群满足群的公理，例如封闭性、结合律、单位元和逆元存在。应用广泛应用于线性代数、几何学、物理学等领域，用于描述线性变换、旋转、平移等。酉群定义酉群是指由所有酉矩阵构成的群，酉矩阵是指其共轭转置等于其逆矩阵的矩阵。性质酉群具有许多重要的性质，例如，其元素都是酉矩阵，其运算满足群的公理，并且酉群是紧致群。应用酉群在量子力学、信号处理等领域有着广泛的应用。正交群定义正交群是指由欧几里得空间中所有保持向量长度和角度的线性变换组成的群。性质正交群的元素可以理解为旋转、反射和它们的组合。李群李群是一个光滑流形，同时也是一个群。李群的元素可以表示为矩阵，并且群运算可以用矩阵乘法表示。李群在物理学中有着广泛的应用，例如描述旋转、平移、缩放等变换。特殊线性群1定义特殊线性群是指所有行列式为1的n阶可逆矩阵构成的群，记为SL(n,F)。2性质特殊线性群是一个非交换