第2章一元二次函数、方程和不等式（基础、典型、易错、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第2章一元二次函数、方程和不等式（基础、典型、易错、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间.【详解】导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为m．由题意可得．故选：C.2．（2021·全国·高一课时练习）已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为（

）A．a＋b>c B．C． D．【答案】D【分析】任意两边之和，任一边都作为第三边，因此出现三个不等式．【详解】由任意两边之和大于边，可任选一边为第三边，其余两边之和大于此边，有三个不等式，故选：D．3．（2022·全国·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题设条件可得关于的不等式，求解后可得正确的选项.【详解】由，得，即，故选：B．4．（2021·全国·高一课时练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等式的性质即得.【详解】由得.故选：C.5．（2022·新疆昌吉·高一期末）某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（

）A．7 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】利用不等式的性质求出参加各项比赛的最少人数即可求出.【详解】设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为，，，且，，为正整数，则由题意得，，，可得，即，所以，，故参加这三项比赛的人数至少为．故选：C.6．（2021·全国·高一专题练习）足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满.则A队有出租车（

）A．11辆 B．10辆C．9辆 D．8辆【答案】B【分析】设A队有x辆车，由题设有求的解集，即可确定A队有出租车数量.【详解】设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得：，解得，∴，而x为正整数，故x＝10.故选：B.二、多选题7．（2022·湖南怀化·高一期末）集合也可以写成（

）A． B．C．或 D．【答案】ABD【分析】先将题中集合化为最简形式，再将选项中各集合化简并与题中集合比较即可.【详解】对于集合，解不等式，即，解得，所以.对于A选项，，故A正确；对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；对于D选项，等价于，故D正确.故选：ABD8．（2022·全国·高一专题练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】ACD【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况.【详解】选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；选项B：当时，，B错误；选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；选项D：，，两边同除以得，，D正确.故选：ACD.9．（2022·广西梧州·高一期中）如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.【详解】取，则，，故AC不正确；因为，所以，故B正确；因为，所以，故D正确.故选：BD10．（2022·全国·高一）下列不等式的解集为R的有（

）A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1【答案】AC【分析】利用判别式的正负，即可判断选项.【详解】A中.满足条件；B中，解集不为R；C中，满足条件；D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选：AC11．（2022·全国·高一）下列命题中正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】ABCD【分析】直接使用基本不等式可判断ACD；根据，使用基本不等式可判断B.【详解】A中，因为，由基本不等式可知成立；B中，因为，所以，所以，所以成立；C中，因为，由基本不等式可知成立；D中，因为，由基本不等式可得成立.故选：ABCD三、填空题12．（2021·全国·高一专题练习）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________【答案】【分析】运用不等式的性质可得答案.【详解】若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：，因为，所以成立.故答案为：.13．（2021·全国·高一课时练习）当x___________时，代数式的值是非负数.【答案】≤5【分析】由已知可得，解不等式即可.【详解】因为代数式的值是非负数，所以，则去分母得，3(x+3)-(5x-1)≥0，则x≤5.故答案为：≤514．（2021·全国·高一课时练习）某商品包装上标有重量克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．【答案】【分析】根据已知条件可得出不等式.【详解】因为某商品包装上标有重量克，若用表示商品的重量，则，故有.故答案为：.15．（2021·全国·高一课时练习）一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．【答案】【分析】根据已知条件可得出不等式组.【详解】由题意可得．故答案为：．16．（2021·全国·高一课时练习）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2100h；预计此产品明年销售量至少80000袋；每袋需用4h；每袋需用原料20kg；年底库存原料600t，明年可补充1200t．试根据这些数据预测明年的产量x(写出不等式(组)即可)为________．【答案】【分析】根据题意直接从时间和原料方面列不等式组即可【详解】由题意可得故答案为：17．（2021·全国·高一课时练习）（1）当，代数式有______（大或小）值，此值为______．（2）当，代数式有______（大或小）值，此值为______．【答案】

小

6

大

-6【分析】（1）利用基本不等式进行求解即可；（2）利用基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，所以代数式有最小值，此值为；（2）因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，所以代数式有最大值，此值为，故答案为：小；；大；四、解答题18．（2020·重庆市育才中学高一开学考试）今年10月份，学校从某厂家购进了A、B型电脑共250台，A、B两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A型、B型电脑的总金额和为205万元.（1）求学校10月份购进A、B型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A、B两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A型电脑的单价下降了a%，A型电脑数量增加了，B型电脑的单价上升了元，B型电脑数量下降了，这次采购A、B两种型号电脑的总金额为205万元，求a的值.【答案】（1）100台，150台；（2）50.【分析】（1）设学校月份购进型电脑台，结合总金额列方程，由此求得型电脑购进的台数.（2）结合采购的总金额列方程，由此求得的值.【详解】（1）设学校10月份购进A型电脑x台，则学校购进B型电脑台，由题意得：，解得：，则学校10月份B型电脑为（台）；答：学校10月份购进A、B型电脑各100、150台.（2）根据第（1）可得学校10月份购进A、B型电脑的单价各为7000元、9000元，由题意可得：令，方程整理得，（舍），∴.即a的值为50.19．（2021·江苏·高一课时练习）重新考查不等式.这个不等式的左边可分解因式为.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）.的两个解集的并集不等式组（1）的解为，不等式组（2）无解，从而不等式的解集为.试用上述方法解下面的不等式：（1）；

（2）；（3）；

（4）.【答案】（1）或，（2），（3），（4）或【分析】直接利用实数乘除法的符号法则分别解不等式【详解】（1）由，得或，解得或，所以原不等式的解集为或，（2）由，得或，解得或，所以原不等式的解集为，（3）由，得或，解得或，所以原不等式的解集为，（4）由，得或，解得或，所以原不等式的解集为或20．（2021·江苏·高一课时练习）当时，请填下表：判别式方程的根二次函数的图象二次函数的零点【分析】方程的根与函数的零点，以及二次函数图像与x轴交点个数之间可以相互转化，它们之间存在紧密联系.【详解】判别式方程的根2个不等实根两个相等实根无实根二次函数的图象与x轴有两个交点与x轴有一个交点与x轴无交点二次函数的零点2个零点1个零点无零点21．（2021·江苏·高一课时练习）制作一个高为20的长方体容器，底面矩形的长比宽多10，并且容积不少于4000.问：底面矩形的宽至少应是多少？【答案】底面矩形的宽至少【分析】设底面矩形的宽为，列出不等式即可求出的取值范围.【详解】设底面矩形的宽为，由题意可得，整理可得，解得（舍），或，所以底面矩形的宽至少.22．（2022·湖南·高一课时练习）比较与的大小．【答案】<【分析】做差比较大小即可.【详解】,<.【典型】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（

）A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定【答案】A【分析】设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意得到的取值范围，利用待定系数法将表示为的线性组合，然后利用不等式的基本性质和作差法比较的大小关系即可.【详解】解：设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意可得：（*），令，则，解得：，，由（*）得,,,，因此．所以2枝红玫瑰的价格高．故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于中档题．将表示为的组合是关键，在利用不等式的基本性质求差的取值范围时，要化成同向不等式才能相加.2．（2022·北京·清华附中高一阶段练习）设a，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；由，而，可得C错；利用基本不等式可得D正确．【详解】，，故A错；，，即，可得，，故B错；，，而，则，故C错；，，，等号取不到，故D正确；故选：D3．（2022·湖南·高一课时练习）若不等式

的解集为，则的值为（

）A．5 B．-5 C．-25 D．10【答案】B【分析】根据题意可知和3是方程

的两个根，由此利用根与系数的关系求解即可．【详解】解：由题意可得：和3是方程

的两个根，，解得，，所以．故选B．【点睛】本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，属于基础题．4．（2022·全国·高一专题练习）已知，，则、的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】对、运用作差法得，再根据,和，可得结论.【详解】，,，又，，.故选C.【点睛】本题考查运用作差法比较代数式的值的大小，作差法常运用的步骤是：作差、通分、分解因式或配方，关键在于能判断每一个因式的符号，属于基础题.二、多选题5．（2022·江苏泰州·高一期末）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BC【分析】利用函数的图象，数形结合得到关于的不等式组，解得的取值范围，进而作出判定.【详解】画出函数的图象，关于的一元二次不等式的解集为函数图象在轴下方的部分对应的点的横坐标的集合，由函数的图象的对称轴为,所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得，解得,故选：BC.6．（2022·海南·高一期末）已知，是正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则有最小值2B．若，则有最大值5C．若，则有最大值D．有最小值【答案】AC【分析】将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC选项；利用特值法判断选项D。【详解】对于A，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；对于B，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；对于C，，，，，当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：AC7．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知不等式的解集是，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据已知条件，利用二次不等式的解集与二次函数的的图象的对应关系，借助韦达定理和不等式的基本性质作出判断.【详解】由已知得的两根为和2，∴∴∴∴,故选：BCD.8．（2022·江苏南通·高一期末）已知命题p：关于x的不等式的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】求出命题p成立时的取值范围，再根据必要不充分条件的定义逐个判断选项，得出答案．【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，且，故选：CD三、填空题9．（2022·全国·高一专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】设不等式的解集为集合，不等式的解集为集合，根据题意可得，根据一元二次不等式的解法分别求出集合，从而可得出答案.【详解】解：由，得或，即不等式的解集为或，由，得，若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为，若，则不等式的解集为或，若，不等式的解集为或，若“”是“”的必要不充分条件，则，则当时，不满足条件．当时则满足，即，得，当时，则满足，得，得，综上实数的取值范围.故答案为：.10．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集为___________.【答案】【分析】将分式不等式移项通分分解因式化为，然后转化为整式不等式组，进而利用数轴标根法求解.【详解】等价于，即，即，又等价于，利用数轴标根法解得或,所以原不等式的解集为，故答案为：11．（2022·江苏·高一单元测试）若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．【答案】25【分析】设矩形的一边为xm，面积为ym2，进而可得另一边的表示，利用基本不等式求解可得矩形场地的最大面积．【详解】设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，∴y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．故答案为：2512．（2022·江苏·高一）设，，则，的大小关系为_______.【答案】【解析】先分别将平方，再进行大小比较即可．【详解】，两式的两边分别平方，可得，，显然.所以.故答案为：【点睛】此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题.13．（2022·全国·高一单元测试）有下面四个不等式：①；②；③；④．其中恒成立的有______个．【答案】2【分析】①使用作差法证明．②利用二次函数的性质．③使用基本不等式证明．④ab＜0时，即可判断出正误.【详解】解：①因为2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正确．②因为，所以②正确．③当a，b同号时有，当a，b异号时，，所以③错误．④ab＜0时，不成立.其中恒成立的个数是2个．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的性质及证明，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．四、解答题14．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．(1)求函数的解析式；(2)若，，求：①的最小值；②讨论关于m的方程的解的个数．【答案】(1)(2)①；②答案见解析【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得；（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数.（1）由得，对称轴为，设，∴，得，∴．（2）①，，对称轴，ⅰ当即时，在单调递增，，ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，∴，ⅲ当即时，在单调递减，，综上：②画出函数的图象图下图所示：利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.15．（2022·安徽·霍邱县第一中学高一开学考试）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶120千米，按交通法规限制（单位：千米时）假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时50元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式：(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】(1)，x∈[50，100]；(2)当x＝2千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为8元.【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.(1)设所用时间为t＝(h)，y＝×６×＋50×，x∈[50，100].所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝==，x∈[50，100]；(2)y＝≥8，当且仅当，即x＝2（满足）时等号成立.故当x＝2千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为8元.16．（2022·全国·高一专题练习）解不等式：.【解析】本题首先可讨论这种情况，将不等式化为并求解，然后讨论、这两种情况，此时，最后根据两个实根的大小关系即可得出结果.【详解】①当时，不等式为，解集为，②当时，，恒有两个实根，，当时，，解集为或；当时，，解集为，综上所述：时，解集为；时，解集为或；时，解集为.【点睛】本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论．分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，第三层次就是比较两根的大小，是中档题.17．（2022·全国·高一期末）（1）解关于x的不等式（2）若对任意a∈[-1，1]，恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）不等式等价于，分四种情况讨论求不等式的解集；（2）不等式转化为，恒成立，通过设函数，由恒成立思想建立不等式求的取值范围.【详解】（1）不等式化简为，当时，不等式等价于，当时，即时，不等式的解集是或，当时，即时，不等式的解集是，当时，即时，不等式的解集是或，当时，不等式等价于，不等式的解集是.综上可知：时，不等式的解集是或，时，不等式的解集是，时，不等式的解集是或，当时，不等式的解集是.（2）不等式整理为，恒成立，设，可得：，即（1）解得：，（2）解得：或，所以不等式的解集是【点睛】本题考查含参不等式的解法，不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的思想和构造法，逻辑推理和计算能力，属于中档题型.【易错】一．选择题（共6小题）1．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，6] B．（﹣∞，﹣1] C．[6，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）【分析】由￢p是￢q的充分条件，根据逆否命题与原命题的真假关系，我们可以得到q⇒p为真，即p为q的必要不充分条件，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，两个不等式解集的关系，然后根据集合包含关系的运算，求出实数a的取值范围．【解答】解：不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0，可化为（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得2＜x＜3，解不等式﹣4＜x﹣a＜4，得a﹣4＜x＜a+4，因为￢p是￢q的充分条件，由定义知￢p⇒￢q，它等价于q⇒p，所以，解得﹣1≤a≤6，所以实数a的取值范围是[﹣1，6]．故选：A．【点评】本题考查了根据充分条件求参数的范围和一元二次不等式的解法，属基础题．2．已知x＞0，y＞0且x+y＝1，则的最小值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】结合题意，利用基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：因为x＞0，y＞0且x+y＝1，所以＝（+）（x+y）＝4+1++≥5+2＝9，当且仅当x＝、y＝时“＝”成立，所以的最小值是9．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用问题，基本不等式成立的条件是“一正，二定，三相等”，是基础题．3．若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（）A．（6，7] B．[﹣1，0） C．[﹣1，0）∪（6，7] D．[﹣1，7]【分析】讨论m的取值范围，求出不等式的解集，根据解集中恰有3个整数，由此求出m的取值范围．【解答】解：不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0可化为（x﹣3）（x﹣m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，所以﹣1≤m＜0；综上知，m的取值范围是{m|﹣1≤m＜0或6＜m≤7}，即为[﹣1，0）∪（6，7]．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．4．已知正数m，n满足m+n＝1，则的最小值为（）A．3 B．3+2 C．3 D．3+2【分析】化简＝＝+，再结合基本不等式求最值．【解答】解：∵m+n＝1，m＞0，n＞0，∴＝＝＝+＝（+）（m+n）＝++3≥2+3＝3+2，当且仅当＝，即m＝﹣1，n＝2﹣时，等号成立；故的最小值为3+2，故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．5．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，下列结论正确的是（）A．的最大值为9 B．a2+b2的最小值为 C．log2a+log2b的最小值为﹣3 D．2a+4b的最小值为【分析】A中，利用基本不等式求出+是最小值是9；B中，由a+2b＝1得a＝1﹣2b，代入a2+b2，利用二次函数的性质求出它的最小值；C中，利用对数的运算性质和基本不等式，即可求出log2a+log2b的最大值为﹣3；D中，根据指数函数的性质和基本不等式，即可求出2a+4b的最小值为2．【解答】解：对于A，+＝（+）（a+2b）＝1+4++≥5+2＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，选项A错误；对于B，由a+2b＝1，得a＝1﹣2b，且b∈（0，），所以a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1＝5+≥，当a＝，b＝时“＝”成立，选项B错误；对于C，log2a+log2b＝log2（ab）＝log2（•a•2b）＝log2+log2（a•2b）≤﹣1+log2＝﹣1+log2＝﹣3，当且仅当a＝2b时“＝”成立，选项C错误；对于D，2a+4b＝2a+22b≥2＝2＝2，当且仅当a＝2b时“＝”成立，选项D正确．故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用问题，利用基本不等式时应注意等号成立的条件，是基础题．6．下列命题为真命题的是（）A．函数f（x）＝x+1与函数是同一函数 B．设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“0＜x＜2”的必要而不充分条件 C．函数的最小值为2 D．命题“∀x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∃x∉R，x2+x+1≥0”【分析】对于选项A，求两个函数的定义域即可判断；对于选项B，求x2﹣5x＜0的等价条件0＜x＜5，从而可判断“x2﹣5x＜0”是“0＜x＜2”的必要而不充分条件；对于选项C，利用换元法得μ＝（μ≥3），再利用对勾函数的单调性求最小值即可；对于选项D，利用含量词的命题的否定可得命题“∀x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≥0”，从而判断．【解答】解：对于选项A，函数f（x）＝x+1的定义域为R，函数的定义域为{x|x≠1}，故函数f（x）＝x+1与函数不是同一函数，故命题为假命题，故错误；对于选项B，化简x2﹣5x＜0得0＜x＜5，∵0＜x＜2可推出0＜x＜5，0＜x＜5推不出0＜x＜2，∴“x2﹣5x＜0”是“0＜x＜2”的必要而不充分条件，故命题为真命题，故正确；对于选项C，令μ＝（μ≥3），则函数可化为y＝μ+，∵y＝μ+在[3，+∞）上是增函数，故y＝μ+的最小值为3+＝，故函数的最小值为，故命题为假命题，故错误；对于选项D，命题“∀x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≥0”，故命题为假命题，故错误；故选：B．【点评】本题考查了命题的真假性的判断，函数的定义，充分必要条件的判断，对勾函数性质的应用，含有量词的命题的否定，属于中档题．二．多选题（共1小题）（多选）7．已知x＞0，y＞0且3x+2y＝10，则下列结论正确的是（）A．0＜y＜5 B．的最大值为 C．x2+y2的最小值为 D．xy的最大值为【分析】由不等式的性质可得3x＝10﹣2y＞0，从而判断选项A；由不等式可得（）2≤2（3x+2y），从而化简判断选项B；由3x+2y＝10化简y＝，从而化简x2+y2＝x2﹣15x+25，利用二次函数的性质求最小值即可判断选项C；由基本不等式得2≤3x+2y，从而化简判断选项D即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，3x+2y＝10，∴3x＝10﹣2y＞0，故0＜y＜5，故选项A正确；∵（）2≤2（3x+2y），即（）2≤20，∴≤2，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，故的最大值为2，故选项B正确；∵3x+2y＝10，∴y＝，故x2+y2＝x2+（）2＝x2﹣15x+25，由二次函数的性质知，当x＝时取得最小值×（）2﹣15×+25＝，故选项C正确；∵x＞0，y＞0，3x+2y＝10，∴2≤3x+2y，即2≤10，即≤5，故xy≤，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，故xy的最大值为，故选项D错误；故选：ABC．【点评】本题考查了不等式的性质，基本不等式及其变形，二次函数的性质的应用，属于中档题．三．解答题（共4小题）8．在①函数y＝f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣1只有一个交点；②函数y＝f（x）过点（1，﹣1），且不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞），这两个条件中选择一个补充在下面问题中，并解答：已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且____．（1）求f（x）的解析式；（2）若方程mf（2x）﹣2x+1﹣2＝0有且仅有一个实根，求实数m的取值范围．【分析】（1）选①时，由f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，代入f（x）＝ax2+bx+c可得a＝1，b＝﹣2；再由函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣1只有一个交点知顶点为（1，﹣1），从而求得；选②时，由不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）知方程f（x）＝ax2+bx+c＝0的解为0，2，从而写出f（x）＝ax（x﹣2），再结合题意得f（1）＝﹣a＝﹣1，从而求得；（2）换元2x＝t（t＞0），从而转化为方程mf（t）﹣2t﹣2＝0在（0，+∞）上有且仅有一个实根，再化为m＝在（0，+∞）上有且仅有一个实根，再换元t+1＝n（n＞1），从而化简m＝＝，结合对勾函数的性质可得g（n）＝n+﹣4在（1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，从而可得当g（n）＝2﹣4或g（n）＞0时，m＝在（1，+∞）上有且仅有一个实根，从而求得．【解答】解：（1）选①，∵f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x﹣1，即2ax+a+b＝2x﹣1，故，解得，a＝1，b＝﹣2；故f（x）＝x2﹣2x+c，又∵函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣1只有一个交点，∴f（1）＝﹣1，即1﹣2+c＝﹣1，解得，c＝0，故f（x）＝x2﹣2x；选②，∵不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴f（x）＝ax2+bx+c＝0的解为0，2，故f（x）＝ax（x﹣2），又∵函数y＝f（x）过点（1，﹣1），∴f（1）＝﹣a＝﹣1，解得，a＝1，故f（x）＝x2﹣2x；（2）令2x＝t（t＞0），∵方程mf（2x）﹣2x+1﹣2＝0有且仅有一个实根，∴方程mf（t）﹣2t﹣2＝0在（0，+∞）上有且仅有一个实根，即m（t2﹣2t）﹣2t﹣2＝0在（0，+∞）上有且仅有一个实根，即m＝在（0，+∞）上有且仅有一个实根，令t+1＝n（n＞1），则m＝＝，∵g（n）＝n+﹣4在（1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴当n∈（1，）时，g（n）∈（2﹣4，0），当n∈[，+∞）时，g（n）∈（2﹣4，+∞），故当g（n）＝2﹣4或g（n）＞0时，m＝在（1，+∞）上有且仅有一个实根，当g（n）＝2﹣4时，m＝＝﹣2﹣，当g（n）＞0时，m＝＞0，故m的取值范围为{﹣2﹣}∪（0，+∞）．【点评】本题考查了二次函数及对勾函数的性质，同时考查了转化思想及换元法的应用，属于难题．9．f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）≤0的解集为[1，3]．（1）求实数b，c的值；（2）x∈[0，3]时，求f（x）的值域．【分析】（1）利用一元二次不等式与对应方程的关系，由根与系数的关系求出b和c的值；（2）根据二次函数的图象与性质，即可求出x∈[0，3]时f（x）的值域．【解答】解：（1）因为f（x）＝x2+bx+c，且不等式f（x）≤0的解集为[1，3]．所以1和3是方程x2+bx+c＝0的实数根，由根与系数的关系知，，解得b＝﹣4，c＝3．（2）因为f（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，所以x＝2时f（x）取得最小值为f（2）＝﹣1，x＝0时f（x）取得最大值为f（0）＝3，所以x∈[0，3]时f（x）的值域为[﹣1，3]．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应函数的应用问题，也考查了函数的图象与性质应用问题，是基础题．10．设a∈R，关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A，集合B＝{x|1＜x＜2}，满足A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【分析】根据关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A知a≠0，求出对应方程的解，讨论a＞0和a＜0时，求出A，根据A∩B≠∅求出实数a的取值范围．【解答】解：因为关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A，集合B＝{x|1＜x＜2}，所以a≠0，且对应方程ax2﹣2x﹣2a＝0的解为x1＝﹣，x2＝+，由此可知x1＜0，x2＞0，①当a＞0时，A＝{x|x＜x1或x＞x2}，因为A∩B≠∅的充要条件是x2＜2，即+＜2，解得0＜a＜或a＞；②当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}，因为A∩B≠∅的充要条件是x2＞1，即+＞1，解得a＜﹣2；综上知，实数a的取值范围是{a|a＜﹣2或0＜a＜或a＞}．【点评】本题考查了一元二次不等式与集合的运算性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．11．已知关于x的不等式ax2+x+b＞0的解集为（﹣1，2）（a，b∈R）．（1）求a，b的值；（2）解关于x的不等式：（x+a）（x﹣k）＜0（k∈R）．【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，代入方程组成方程组求出a、b的值；（2）不等式化为（x﹣1）（x﹣k）＜0，讨论1与k的大小，从而求出不等式的解集．【解答】解：（1）因为关于x的不等式ax2+x+b＞0的解集为（﹣1，2），所以﹣1和2为方程ax2+x+b＝0的两个根，即，解得：a＝﹣1，b＝2；（2）由（1）知，不等式（x+a）（x﹣k）＜0，即为（x﹣1）（x﹣k）＜0，因为方程（x﹣1）（x﹣k）＝0的两根为x＝1，x＝k，①当k＞1时，解不等式得1＜x＜k；②当k＝1时，不等式为（x﹣1）2＜0，解得x∈∅；③当k＜1时，解不等式得k＜x＜1；综上所述，当k＞1时，不等式的解集为（1，k）；当k＝1时，不等式的解集为∅；当k＜1时，不等式的解集为（k，1）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．【新文化】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据图形，求出圆的半径以及.再利用勾股定理求得,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.【详解】设，可得圆的半径为，又由，在直角中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.2．（2022·云南昆明·高一期末）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意得，则，当且仅当，即时取等号，所以三角形面积的最大值为.故选:B3．（2022·新疆·高一期末）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号，以他名字命名的“高斯函数”是数学界非常重要的函数．“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数．例如，则函数的值不可能为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】设,利用基本不等式结合不等式的性质求出函数的取值范围，即得解.【详解】解：设，因为（当且仅当时等号成立），所以，所以，所以有可能为.故选：D二、多选题4．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为C．若，则D．若实数a，b满足，则的最小值为2【答案】CD【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D【详解】对于A，若，则，A错误；对于B，∵，∴，，∴（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；对于C，∵，∴，，又，（当且仅当，即时取等号），C正确；对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．故选：CD5．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（

）A．若，则与的大小关系随m的变化而变化B．若，则C．若，则D．若，则一定有【答案】CD【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；举反例，如，即可判断B；若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；利用不等式的性质即可判断D.【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误；对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误；对于C，若，则，根据“糖水不等式”，，即，故C正确；对于D，若，则，所以，所以，故D正确.6．（2021·全国·高一专题练习）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】由，并展开右式即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：，∴，∴，∴，，，.故选：AC【压轴】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（

）A．