北师大版高数选修2-3第4讲：随机变量及其概率分布(教师版)

随机变量及其概率分布____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.理解随机变量的概念.2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质.3.能熟练应用两点分布.4.能熟练运用超几何分布.1.随机变量:一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母)等表示，而用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称试验.(2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果.(3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种：如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.(4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举.2.随机变量的概率分布一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是且①，则称①为随机变量X的概率分布列.3.随机变量概率分布的性质(1)对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量：取这些值的概率.(2)随机事件A的概率满足0≤P(A)≤1，必然事件U的概率P(U)=1.若离散型随机变量X所有可能取的值为X取每一个值(i=1，2，…，n)的概率为eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)不满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件.(3)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.两点分布如果随机变量X的概率分布为：X10Ppq其中0<p<1，q=1-p，则称随机变量X服从参数为p的两点分布.(1两点分布又称0-1分布.(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等等，都可用两点分布来研究.5.超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))类型一.随机变量及其概率分布例1：下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数；②一个沿直线y=x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数；④1天内的温度其中是离散型随机变量的是()A.①② B.③④ C①③ D.②④[答案]C[解析]①③中的随机变量可能取的值为有限个，而②④能取到一区间内的一切值.写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：例2：(1)从一个装有编号为1到10的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；[解析](1)X的可能取值为1，2，3，…，10，X=k(k=1，2，…，10)表示取出第k号球.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，X=k表示取出k个红球，4-k个白球，其中k=0，1，2，3，4.练习1：写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X.[解析]X的可能取值为2，3，4，…，12，若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则X=2表示(1，1)；X=3表示(1，2)，(2，1)；X=4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；X=12表示(6，6).练习2：一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中同时取3个球，用表示取出的3个球中的最大号码，写出随机变量的概率分布.[解析]根据题意可知随机变量的可能取值为3，4，5.当时，即取出的3个球中最大号码是3，则其他两球的编号只能是1，2，故有当时，即取出的3个球中最大号码是4，则其他两球只能在编号为1，2，3的球中取，故有当时，即取出的3个球中最大号码为5，则其他两球只能在编号为1，2，3，4的四个球中取，故有综上可得的概率分布如下表：345P类型二.随机概率分布的性质例3：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.X-3-2-1012P0.10.20.30.20.10.2[解析]不是随机变量的概率分布，因为0.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.2=1.1≠1.练习1：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.01234P-0.300.30.50.5[解析]不是随机变量的概率分布，因为-0.3<0，不符合随机变量概率分布的性质.类型三.两点分布例4：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则等于()A.0 B. C. D.[答案]C练习1：在抛掷一枚硬币的随机试验中，令如果正面向上的概率为p；试写出随机变量X的概率分布表.[解析]由分布列的性质可知，正面向上的概率为p，则正面向下的概率是(1-p)，于是随机变量X的概率分布表是：X10Pp１－ｐ类型四.随机变量的概率分布性质的应用例5：设随机变量的概率分布为=ak(k=1，2，3，4，5).(1)求常数a的值；(2)求(3)求[解析]解：题目所给概率分布表为：Pa2345(1)由a+2a+3a+4a+5a=1(2)或(3)因为所以故练习1：袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止.求取球次数X的概率分布表.[解析]X的可能取值为1，2，3，4，5，则第1次取到白球的概率为P(X=1)=，第2次取到白球的概率为P(X=2)=第3次取到白球的概率为P(X=3)=第4次取到白球的概率为P(X=4)=5次取到白球的概率为：P(X=5)=所以X的概率分布表是：Ｘ１２３４５Ｐ类型五.超几何分布例6：设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件数的分布表.[解析]从100件产品中随机抽取20件，抽到次品件数是一个离散型的随机变量，其次品件数可能是0、1、2、3、4、5.依题意，随机变量(次品件数)服从超几何分布，所以，从100件产品中抽取20件，其中有k件次品的概率为P(=k)=(k=0，1，2，3，4，5).所以所以所以的分布表为：012345P0.31930.42010.20730.04790.00520.0002练习1：在20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？[解析]设表示二级品的件数，所以1.抛掷2颗骰子,如果将所得点数之和记为那么=4表示的随机试验结果是()A.2颗都是4点 B.1颗是1点,另1颗是3点C.2颗都是2点 D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点[答案]Ｄ2.随机变量是1个无线寻呼台1min内接到的寻呼次数;随机变量是某工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径间的尺寸误差;随机变量是测量1名学生身高所得的数值(精确到1cm);随机变量是1个沿数轴进行随机运动的质点的坐标,那么这4个随机变量中,离散型随机变量的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4[答案]Ｂ３.命题p:离散型随机变量只能取有限个值;命题q:只能取有限个值的随机变量是离散型随机变量;命题r:连续型随机变量可以取某一区间内的一切值;命题s:可以取某一区间内的一切值的随机变量是连续型随机变量,这四个命题中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4[答案]Ｂ４.已知随机变量的分布列为=()A. B. C. D.[答案]Ａ５.下列变量中，不是随机变量的是()A.某人投篮6次投中的次数 B.某日上证收盘指数C.标准大气压下，水沸腾时的温度 D.某人早晨在车站等出租车的时间[答案]Ｃ6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是()A. B. C. D.以上均不对[答案]D7.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()A. B. C. D.[答案]C8.如果随机变量的分布列2,3,4,那么______.[答案]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.如果是一个离散型随机变量，那么下列命题中不正确的是()A.取每个可能值的概率都是非负实数B.取所有可能值的概率之和为1C.取在某一范围内的值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和D.取在某一范围内的值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和[答案]Ｄ2.袋中有完全相同的5个钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为，则所有可能取值的个数是()A.25 B.10 C.7 D.6[答案]Ｃ3.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于()A.恰有1个是坏的的概率 B.恰有2个是好的的概率C.4个全是好的的概率 D.至多有2个是坏的的概率[答案]Ｂ4.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是()A.都不是一等品 B.恰有1件一等品C.至少有1件一等品 D.至多有1件一等品[答案]Ｄ5.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P0.51－2qq2则q等于()A．1 B．1±eq\f(\r(2),2) C．1－eq\f(\r(2),2) D．1＋eq\f(\r(2),2)[答案]Ｃ６.抛掷两枚骰子，所得点数之和记为那么表示的随机试验的结果是()A.2枚都是5点 B.1枚是1点，另一枚是4点C.1枚是2点，另一枚是3点D.1权是1点，另一枚是4点，或者1枚是2点，另一枚是3点[答案]Ｄ7.设随机变量的分布列k=1,2,3,则m的值为______.[答案]8.从有3个果球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________.[答案]能力提升1.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率________.[答案]2.一个筒中放有标号分别为0，1，2，…，9的十根竹签，从中任取一根，记所取出的竹签上的号数为X.(1)写出X的概率分布；(2)分别求“”；“X>7”，“3.5≤X≤6”的概率[答案](1)标号分别为0，1，2，…，9的十根竹签，每一根被取出的可能性相同，其概率均为于是X的概率分布为：X0123456789P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1(2)P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)=0.2；P(3.5X≤-6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=0.3.3.（2014陕西卷节选）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列.【答案】设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.24.（2014福建卷节选）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(1)顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)顾客所获的奖励额的分布列．[答案](1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2).即顾客所获的奖励额为60元的概率为eq\f(1,2)，(2)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即X的分布列为X2060P0.50.55.(2014天津卷节选)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布