四川省南充市南部县中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

四川省南充市南部县中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两不共线向量，，则下列说法不正确的是A．

B．与的夹角等于C．D．与在方向上的投影相等参考答案：B略2.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式＞0的解集是（）

A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=（

）A.－1 B.1 C.2 D.－2参考答案：A【分析】化简复数，根据纯虚数的定义即可求出实数的值。【详解】要使复数（是虚数单位）是纯虚数，则，解得：，故答案选A。【点睛】本题主要考查复数的化简以及纯虚数的定义，属于基础题。4.已知点，向量a=(1,2)，若，则实数y的值为A.5 B.6 C.7 D.8参考答案：C,因为，所以，即，选C.5.双曲线的渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.2

D．参考答案：D6.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）

A．相切

B．相交

C．相离

D．相切或相交参考答案：C7.已知（ ）

A． B． C． D．参考答案：C略8.是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线,是双曲线的两个顶点,若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：双曲线的几何性质及运用.【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和基本不等式的综合运用，属于难题．本题利用双曲线的几何特征,建立关于为变量的正切函数的函数关系式，通过计算求得,即,由此计算得双曲线的离心率．9.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则（

）A．2

B．3

C．6

D．12参考答案：C故选：C

10.已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（

）A．

B．

C．16π

D．32π参考答案：B如图：设球心到底面圆心的距离为x，则球的半径为3-x，由勾股定理得解得x=1，故半径r=2，故选B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则函数的零点个数为___________.参考答案：.函数与的图象，如图：由图可以看出，函数的零点有个.12.函数的零点在区间内，则

．参考答案：013.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是

;参考答案：0考点：算法和程序框图因为

故答案为：014.执行如图所示的程序框图，输出的S值为

．参考答案：﹣6解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次①i=1，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣1，用i+1代替i，进入下一步；②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步；③i=3，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步；④i=4，不满足i＜4，结束循环体，并输出最后一个S值故答案为：﹣6【考点】循环结构．15.已知公比q≠1的正项等比数列{an}，a3=1，函数f（x）=1+lnx，则f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=．参考答案：5【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用对数的运算性质化简，然后结合等比数列的性质求得答案．【解答】解：由f（x）=1+lnx，得：f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=1+lna1+1+lna2+1+lna3+1+lna4+1+lna5=5+ln（a1a2a3a4a5）=5+ln，∵a3=1，∴f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5+ln1=5．故答案为：5．16.如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为

．参考答案：17.已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：的离心率为，右焦点为，且椭圆上的点到点距离的最小值为2．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆及直线分别相交于点．（ⅰ）当过三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；（ⅱ）若，求的面积．参考答案：（或者分别求和的垂直平分线的交点，然后求半径可以根据具体情况按步给分）所以圆的方程为，即，…………………7分因为，当且仅当时，圆的半径最小，故所求圆的方程为．………10分（ⅱ）由对称性不妨设直线的方程为．由得，……………12分所以，，所以，化简，得，…………15分解得，或，即，或，此时总有，所以的面积为．…………16分19.已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案：【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，；（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出BD=1，AC=，SD=，由此能求出四棱锥S﹣ABCD的体积．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM与SB所成角．【解答】解：（1）∵四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，，∴BD=1，AC==，SD==，S菱形ABCD===，∴四棱锥S﹣ABCD的体积V===．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），S（0，0，），M（），B（，，0），=（），=（，﹣），设异面直线DM与SB所成角为θ，则cosθ===，，∴异面直线DM与SB所成角为．21.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.参考答案：如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.解：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.（2）解：设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°,PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz,则所以.设PB与AC所成角为θ,则.（3)解：由（2）知，设,则.设平面PBC的法向量m=(x,y,z),则,所以令,则.所以.同理，平面PDC的法向量.因为平面PBC⊥PDC，所以m·n=0,即,解得,所以.略22.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.又三棱柱为直三棱柱，∴面面，∴面，.-------2分设，