2017年天津数学高考试题文科数学Word版含答案

2017年天津数学高考试题文科数学Word版含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。一、选择题：1.设集合$A=\{1,2,6\},B=\{2,4\},C=\{1,2,3,4\}$，则$(A\cupB)\capC=$(A)$\{2\}$(B)$\{1,2,4\}$(C)$\{1,2,4,6\}$(D)$\{1,2,3,4,6\}$2.设$x\inR$，则“$2-x\geq$”是“$|x-1|\leq1$”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(A)$\frac{4}{10}$(B)$\frac{3}{10}$(C)$\frac{2}{5}$(D)$\frac{1}{2}$4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入$N$的值为19，则输出$N$的值为1(A)1(B)1(C)2(D)35.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左焦点为$F$，点$A$在双曲线的渐近线上，$\triangleOAF$是边长为$\frac{ab}{2}$的等边三角形（$O$为原点），则双曲线的方程为(A)$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$(B)$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$(C)$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$(D)$x^2-y^2=1$6.已知奇函数$f(x)$在$R$上是增函数。若$a=-f(\log_24),b=f(\log_24.1),c=f(2)$，则$a,b,c$的大小关系为(A)$a<b<c$(B)$b<a<c$(C)$c<b<a$(D)$c<a<b$Part1:若$f(x)=2\sin(\omegax+\phi)$，其中$\omega>0,|\phi|$小正周期大于$2\pi$，则：（A）$\omega=\frac{5\pi}{11},\phi=0$；（B）$\omega=8\pi,\phi=-\frac{1}{2}$；（C）$\omega=8\pi,\phi=-\frac{1}{3}$；（D）$\omega=9\pi,\phi=\frac{1}{4}$。已知函数$f(x)=\begin{cases}|x|+2,&x<1\\2x,&x\geq1\end{cases}$，若关于$a\in\mathbb{R}$的不等式$f(x)\geq|2x+a|$在$\mathbb{R}$上恒成立，则$a$的取值范围是：（A）$[-2,2]$；（B）$[-2/3,2]$；（C）$[-2,2/3]$；（D）$[-2/3,2/3]$。Part2:9.已知$a\in\mathbb{R}$，$i$为虚数单位，若$\frac{a-i}{2+i}$为实数，则$a$的值为$\frac{2}{5}$。10.已知$a\in\mathbb{R}$，设函数$f(x)=ax-\lnx$的图像在点$(1,f(1))$处的切线为$l$，则$l$在$y$轴上的截距为$1$。11.设一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为$18$，则这个球的体积为$\frac{9}{2}\pi$。12.设抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，准线为$l$。已知点$C$在$l$上，以$C$为圆心的圆与$y$轴的正半轴相切于点$A$。若$\angleFAC=120^\circ$，则圆的方程为$\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+y^2=\frac{1}{16}$。13.若$a,b\in\mathbb{R},ab>0$，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\geq\frac{4}{\sqrt{ab}}$，且等号成立当且仅当$a=b=2$。14.在$\triangleABC$中，$\angleA=60^\circ$，$AB=3$，$AC=2$。若$BD=2DC$，$AE=\lambdaAC-AB$（$\lambda\in\mathbb{R}$），且$AD\cdotAE=-4$，则$\lambda=1$。Part3:15.（本小题满分13分）在$\triangleABC$中，内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$。已知$\sinA=\frac{4}{5}\sinB$，$ac=5(a^2-b^2-c^2)$。（I）求$\cosA$的值；（II）求$\sin(2B-A)$的值。16.（本小题满分13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline&连续剧&广告&收视人次（万）\\\hline甲&70&5&60\\\hline乙&60&5&80\\\hline\end{tabular}（I）若每次播放时间相同，求甲、乙两套连续剧的播放时长；（II）若播放时间相同，求甲、乙两套连续剧的平均收视率。（11）已知$\frac{ab}{\sinA\sinB}=5-\frac{ac}{2b+c-a}$，求$\cosA\sinB-\sinA\cosB$的值。（解析）：根据已知式，可以得到$a=2b$。代入余弦定理，可以得到$\cosA=-\frac{5}{4}$。接着，根据$\sinA=\frac{ac}{2bc}$，可以得到$\sinA=\frac{5}{\sqrt{29}}$。再根据$\sinA\sinB=\frac{ab}{4b^2}$，可以得到$\sinB=\frac{3\sqrt{29}}{58}$。因此，$\cosA\sinB-\sinA\cosB=-\frac{5}{4}\cdot\frac{3\sqrt{29}}{58}-\frac{5}{\sqrt{29}}\cdot\frac{4}{\sqrt{29}}=-\frac{5}{29}$。（15）已知$7x+6y\leq60$，$5x+5y\geq30$，$x+y\geq6$，$x\geq0$，$y\geq0$，求$z=60x+25y$的最大值。（解析）：将不等式组化为图形，可以得到如下的可行域：将$z=60x+25y$改写为$y=-\frac{12}{5}x+\frac{z}{25}$，可以得到如下的关系图：可以看出，当直线$z=60x+25y$经过可行域上的点$(6,3)$时，截距最大，即最大值为$z=315$。因此，当电视台每周播出甲连续剧$6$次、乙连续剧$3$次时，总收视人次最多，为$315$万。（17）已知$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，$AD$为$\triangleABC$所在平面外一点$D$到$\triangleABC$所在平面的垂线，$P$为线段$AD$上一点，$PB$和$PC$分别交$\triangleABC$的边$AC$和$AB$于点$E$和$F$。求证：$PE$与$PF$所成的角等于$\angleDAP$或其补角。（解析）：首先，可以通过勾股定理得到$\cosA=\frac{3}{5}$，$\sinA=\frac{4}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，$\sinB=\frac{3}{5}$。接着，可以得到$AP=\sqrt{AD^2+PD^2}=5$。因为$AD\perp$平面$PDC$，所以$AD\perpPD$。在$\trianglePDA$中，可以得到$\cos\angleDAP=\frac{AD}{AP}=\frac{3}{5}$。因为$BC\parallelAD$，所以$PD\perpBC$。又因为$PD\perpPB$，所以$PD\perp$平面$PBC$。因此，$PE$和$PF$都是平面$PBC$上的直线，且$PE\perpPD$，$PF\perpPD$。因此，$\angleEPF=\angleDPC$。又因为$AD\parallelEF$，所以$\angleDAP=\angleDPC$或$\angleDAP$的补角。因此，$\angleEPF=\angleDAP$或其补角。证毕。（Ⅲ）解：在三角形ABC中，过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则有DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角。因为PD垂直于平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的投影，所以角DFP为直线DF和平面PBC所成的角。由于AD平行于BC，DF平行于AB，故BF=AD=1。由已知，得CF=BC-BF=2。又因为AD垂直于DC，故BC垂直于DC，在直角三角形DCF中，可得DF=CD+CF=25。在直角三角形DPF中，可得sin角DFP=PD/DF=5/25=1/5。所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为1/5。18.（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q。由已知b2+b3=12，得2q+4q=12，即q=2。所以，bn=2n。由bn=an+2-an，可得3d-a1=8①。由S11=11b4，可得a1+5d=16②。联立①②，解得a1=1，d=3。由此可得an=3n-2。所以，{an}的通项公式为an=3n-2，{bn}的通项公式为bn=2n。（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn。由a2n=6n-2，有6Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n。2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1。上述两式相减，得-Tn=4+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16(1-2n)。解得Tn=(3n-4)2n+2+16。所以，数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16。19.【解析】（I）由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b，可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a))。令f'(x)=0，解得x=a，或x=4-a。由|a|≤1，得a<4-a。当变化时，f'(x)和f(x)的变化情况如下表：x区间f'(x)f(x)(-∞,a)+上凸(a,4-a)+下凸(4-a,+∞)-上凸由此可知，在区间(a,4-a)上，f(x)取得极小值，故f(x)的最小值为f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=-8a2+4a+b。又因为f(0)=b，所以-8a2+4a+b≥b，即-8a2+4a≥0，解得a≤0或a≥1/2。综上所述，a的取值范围为a≤0或a≥1/2。首先，f(x)的单调递增区间为(-∞,a)，(4-a,+∞)，单调递减区间为(a,4-a)。接着，根据题意可以得到g(x)=e^(f(x))，因此g'(x)=e^(f(x)+f'(x))。因此，我们可以得到f'(x)=e^(f(x))/(e^(f(x)+f'(x)))。由此可以得到f(x)在x=x处的导数等于0。又因为g(x)≤e，x∈[x-1,x+1]，由e>1，可得f(x)≤1。又因为f(x)=1，f'(x)=0，因此x为f(x)的极大值点，由单调性可知x=a。另一方面，由于|a|≤1，a+1<4-a，因此f(x)在(a-1,a)内单调递增，在(a,a+1)内单调递减，因此当x=a时，f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立，从而g(x)≤e在[x-1,x+1]上恒成立。接下来，由f(a)=a-6a^3(a-4)+b=1，可以得到b=2a-6a^2+1，-1≤a≤1。令t(x)=2x-6x^2+1，x∈[-1,1]，因此t'(x)=6x-12x^2，令t'(x)=0，解得x=1/2（舍去），或x=0。因为t(-1)=-7，t(1)=-3，t(0)=1，因此t(x)的值域为[-7,1]。因此，g(x)的取值范围是[-7,1]。在第二部分中，首先设椭圆的离心率为e，由已知可