数学课件（新教材人教A版强基版）第十章计数原理概率随机变量及其分布106离散型随机变量及其分布列数字特征

离散型随

机变量及

其分布列、

数字特征第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有

的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.唯一3.离散型随机变量分布列的性质(1)pi____0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝

.4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn1≥(1)均值(数学期望)(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_____________为随机变量X的方差，并称

为随机变量X的

，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的

.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平标准差偏离程度5.均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX＋b)＝

.(2)D(aX＋b)＝

(a，b为常数).aE(X)＋ba2D(X)1.E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数.2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).3.D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4.若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.(

)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(

)X25P0.30.7√×√×因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示A.甲赢三局

B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局二次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次√2.已知X的分布列为√设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为3.若离散型随机变量X的分布列为则X的方差D(X)＝______.∴X的分布列为探究核心题型第二部分由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝，P(X<2)＝，故当P(X<a)＝时，实数a的取值范围是(1,2].例1

(1)若随机变量X的分布列为则当P(X<a)＝时，实数a的取值范围是A.(－∞，2] B.[1,2]

C.(1,2] D.(1,2)√题型一分布列的性质X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1(2)(2022·桂林模拟)若随机变量X的分布列为则P(|X|＝1)等于√由随机变量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.思维升华跟踪训练1

(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为√则q的值为(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝

(i＝1,2,3)，则k＝____；

P(X≥2)＝____.∴随机变量X的分布列为由已知得随机变量X的分布列为下列结论正确的有例2

(1)(多选)已知随机变量X的分布列为题型二离散型随机变量的分布列及数字特征√√√(2)(多选)(2023·郑州模拟)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则A.E(X)＝E(Y) B.E(X)≠E(Y)C.D(X)＝D(Y) D.D(X)≠D(Y)√√由题意得，随机变量X的所有可能取值为1,2,3，随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，故E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y).求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).思维升华跟踪训练2

(1)(2022·怀化模拟)已知ξ的分布列如表所示.其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤

正确的个数是√ξ012P？！？设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0,1]，2a＋b＝1.①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；②D(ξ)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正确；(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为

设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________.由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，题型三均值与方差中的决策问题(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

[切入点：X的取值情况](2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.[关键点：均值大小比较]随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.思维升华跟踪训练3

某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目.每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合格的概率为，三步上篮考核合格的概率为，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－＝，P(X＝4)＝×(1－0.7)＝，P(X＝10)＝×＝，所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值E(X)＝0×＋4×＋10×＝，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－＝，P(Y＝6)＝×(1－0.8)＝，P(Y＝10)＝×＝，则Y的均值E(Y)＝0×＋6×＋10×＝，因为E(X)>E(Y)，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核.课时精练第三部分依分布列的性质可得＋a＋＝1，解得a＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.3.1.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的均值E(X)等于1234567891011121314√基础保分练X012P0.2a0.5由题意得，离散型随机变量X的方差为1，即D(X)＝1，则D(3X－1)＝32×D(X)＝9×1＝9.2.已知离散型随机变量X的方差为1，则D(3X－1)等于√1234567891011121314设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，3.随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝

，E(X)＝1，则D(X)等于√123456789101112131412345678910111213144.某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为√由题意得，比赛一局得分的均值为3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1，1234567891011121314规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大A.FDE B.FED C.DEF D.EDF5.(2023·长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：1234567891011121314√商品DEF猜对的概率0.80.50.3获得的奖金/元100200300按照FDE的顺序获得的奖金的均值为300××＋400×××＋600×××＝138(元)；按照FED的顺序获得的奖金的均值为300××＋500×××＋600×××＝132(元)；按照DEF的顺序获得的奖金的均值为100××＋300×××＋600×××＝196(元)；按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200××＋300×××＋600×××＝176(元)，综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大.12345678910111213146.(多选)设0<m<1，随机变量ξ的分布列为当m在(0,1)上增大时，则A.E(ξ)减小

B.E(ξ)增大1234567891011121314√√所以当m在(0,1)上增大时，E(ξ)增大，故A错误，B正确；1234567891011121314所以当m在(0,1)上增大时，D(ξ)先减小后增大，12345678910111213147.已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示.123456789101112131411所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11.12345678910111213148.某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为

且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则P(X＝2)＝______，E(X)＝______.12345678910111213141234567891011121314当日需求量n≥16时，利润y＝80；当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.9.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；1234567891011121314(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、均值及方差.1234567891011121314X的所有可能取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝，P(X＝70)＝，P(X＝80)＝0.7.则X的分布列为X607080P0.10.20.7故E(X)＝60×＋70×＋80×＝76.D(X)＝(60－76)2×＋(70－76)2×＋(80－76)2×＝44.1234567891011121314若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.10.某中药种植基地有两个种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：1234567891011121314周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X(单位：万元)的分布列及基地的预期收益；1234567891011121314周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元X2015107.5P0.360.240.240.16设下周一无雨的概率为p，由题意知，p2＝，则p＝，基地收益X(单位：万元)的所有可能取值为，则P(X＝20)＝，P(X＝15)＝，P(X＝10)＝，P(X＝7.5)＝，所以基地收益X的分布列为1234567891011121314基地的预期收益E(X)＝20×＋15×＋10×＋×＝14.4(万元)，所以基地的预期收益为万元.1234567891011121314(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由.1234567891011121314周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元设基地额外聘请工人时的收益为Y(单位：万元)，则其预期收益E(Y)＝20×＋10×－a＝(16－a)万元，E(Y)－E(X)＝－a，综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人；当成本低于万元时，外聘工人；当成本恰为万元时，是否外聘工人均可以.123456789101112131411.现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为

没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为

若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为1234567891011121314综合提升练√记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15，123456789101112131412.冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的中心落在圆O中得3分，冰壶的中心落在圆环A中得2分，冰壶的中心落在圆环B中得1分，其余情况均得0分.12345678910111213141234567891011121314因为甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，12345678910111213141234567891011121314123456789101112131413.(多选)核酸检测有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在