第二章 控制系统的数学模型

第2章控制系统的数学模型建立控制系统的数学模型，并在此根底上对控制系统进行分析、综合，是控制工程的根本方法。本章主要内容:

2.I

2.2

2.3

2.4物理系统的数学模型拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数系统方块图及其简化2.１物理系统的数学模型

对于一个控制系统，在一定的输入作用下有些什么运动规律，我们不仅希望了解其稳态情况，更重要的是了解其动态过程。如果能将物理系统在信号传递过程中的这一动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。常见的数学模型有:

微分方程传递函数

状态空间方程经典控制现代控制2.１物理系统的数学模型

1数学模型的定义系统示意图系统框图2.１物理系统的数学模型

t

u2

u

ua

n

v

u

t由假设干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。数学模型：

描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。建立数学模型的方法：2.１物理系统的数学模型

数学模型的形式时间域： 微分方程 差分方程 状态方程复数域： 传递函数 结构图频率域： 频率特性2.１物理系统的数学模型

2建立数学模型的根底机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律热学： 传热定理、热平衡定律

微分方程〔连续系统〕e.g.

电气系统三元件电阻电容电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。2.１物理系统的数学模型

2.１物理系统的数学模型

RLC串联网络电路3提取数学模型的步骤划分环节写出每一环节(元件)运动方程式消去中间变量写成标准形式2.１物理系统的数学模型

单输入、单输出系统微分方程的一般形式：1、质量-弹簧-阻尼系统几个根本环节的数学模型

几个根本环节的数学模型

2、无源电路网络3、有源电路网络-几个根本环节的数学模型

2.2拉氏变换及反变换

是分析工程控制系统的根本数学方法

时域微分方程复变函数代数方程拉氏变换拉氏反变换2.2拉氏变换及反变换

一、拉氏变换定义：对于函数x(t)，满足以下条件象函数原函数复变量量纲2.2拉氏变换及反变换

二、简单函数的拉氏变换1.单位阶跃函数

0t12.2拉氏变换及反变换

2.指数函数0t12.2拉氏变换及反变换

3.正弦函数和余弦函数2.2拉氏变换及反变换

0t4.幂函数2.2拉氏变换及反变换

应记住的一些简单函数的拉氏变换：2.2拉氏变换及反变换

三、拉氏变换的一些重要性质1.叠加性质2.2拉氏变换及反变换

2.2拉氏变换及反变换

2.微分定理2.2拉氏变换及反变换

两个重要推论：2.2拉氏变换及反变换

3.积分定理2.2拉氏变换及反变换

两个推论：4.衰减定理2.2拉氏变换及反变换

5.延时定理002.2拉氏变换及反变换

2.2拉氏变换及反变换

6.初值定理2.2拉氏变换及反变换

7.终值定理2.2拉氏变换及反变换

例0t2.2拉氏变换及反变换

四、拉氏反变换拉氏反变换方法：1.利用拉氏变换表〔P21〕利用局部分式展开法，然后再利用函数的拉氏变换和拉氏变换的性质2.2拉氏变换及反变换

1.只含有不同单极点情况：2.2拉氏变换及反变换

2.含有共扼复极点情况：1-102.2拉氏变换及反变换

作业：

2-1(2)(4)(7)

2-42.3传递函数及典型环节的传递函数一、传递函数定义：在零起始条件下，线性定常系统输出象函数与输入象函数之比。2.3传递函数及典型环节的传递函数设线性定常系统的微分方程为：2.3传递函数及典型环节的传递函数二、传递函数的性质：1.传递函数是在拉氏变换根底上，以系统本身参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式，是s的有理真分式，它表达了系统内在的固有特性，与输入量无关；2.传递函数有无量纲，根据输入、输出量纲而定；3.传递函数不说明系统物理特性和物理结构。三、传递函数的优点2.3传递函数及典型环节的传递函数2.3传递函数及典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数2.3传递函数及典型环节的传递函数比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节纯微分环节2.3传递函数及典型环节的传递函数时间域方程

1.比例环节2.3传递函数及典型环节的传递函数例2.一阶惯性环节时间域方程时间常数2.3传递函数及典型环节的传递函数2.3传递函数及典型环节的传递函数例1无源滤波电路2.3传递函数及典型环节的传递函数2.3传递函数及典型环节的传递函数3.微分环节理想微分环节永磁式直流测速机2.3传递函数及典型环节的传递函数近似微分环节一阶微分环节2.3传递函数及典型环节的传递函数时间域方程4.积分环节2.3传递函数及典型环节的传递函数2.3传递函数及典型环节的传递函数5.二阶振荡环节2.3传递函数及典型环节的传递函数例RLC电路2.3传递函数及典型环节的传递函数6.延时环节〔管道传输速度为v，水管长度为l〕2.4系统方块图及其简化1.方块图单元方块图——系统中各元件的功能和信号流向的图解表示。2.比较点3.引出点-+2.4系统方块图及其简化4.串联2.4系统方块图及其简化5.并联×2.4系统方块图及其简化6.反响×-++

联立并消去中间变量_相邻求和点可以互换、合并、分解。

代数运算的交换律、结合律和分配律。!求和点可以有多个输入，但输出是唯一的2.4系统方块图及其简化7.基于相加点的简化8.基于比较点的简化2.4系统方块图及其简化9.基于引出点的简化2.4系统方块图及其简化方块图变换法那么方块图变换原那么:向前或向后移动相加点或引出点，但是相加点的移动不要越过引出点，引出点的移动不要越过相加点，可重复移动，目的是使各个回路没有交叉点。〔1〕各前向通路传递函数的乘积不变；〔2〕各回路传递函数的乘积不变。★方块图化简例如×××---2.4系统方块图及其简化2.4系统方块图及其简化<法一>引出点后移---×---××--×-2.4系统方块图及其简化×××---<法二>比较点前移××---×××---〈法三