河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含答案

2023年秋期高中一年级期中质量评估数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据运算先求出集合，再利用交集运算求解即可.【详解】因为集合，,所以,故选：B2.命题“方程有一个根是偶数”的否定是（）A.方程有一个根不是偶数B.方程至少有一个根不偶数C.方程至多有一个根不是偶数D.方程的每一个根都不是偶数【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】命题“方程有一个根是偶数”的否定是：方程没有一个根是偶数，只有D符合．故选：D．3.若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象上特殊点检验即可得解.【详解】对于A，，与图象不相符，故错误；对于B，无意义，与图象不相符，故错误；对于D，无意义，与图象不相符，故错误；对于C，函数定义域为，，，函数为奇函数，符合图象，故C正确.故选：C4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算性质及所给数据计算可得.【详解】因为，，所以，则.故选：C5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断．【详解】，又，指数函数是增函数，所以，即，，而，幂函数是增函数，所以，即，所以，故选：A．6.通过北师大版必修一教材页的详细介绍，我们把称为取整函数．那么“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据给定的信息，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】若，则可设，则，，其中，∴，而，∴，即“”能推出“”；但当时，不一定相等，例如，，满足，但，即“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.7.若关于的不等式的解集是，则下列式子中错误的是（）A. B. C.， D.，【答案】D【解析】【分析】解不等式，根据不等式的解集确定的值．【详解】不等式可化为，若，则不等式化为，解集不可能是，因此，A正确；不等式化为，由题意中一个为1，一个为3，而，因此有，BC均正确，D错误．故选：D．8.已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，由图象得出具有的关系、范围，从而再由函数的单调性得出结论．【详解】作出函数的图象，如图，在上它关于直线对称，时，，且为增函数，，则，，，，所以，故选：A．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.满足函数在区间上不单调的实数的值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解出即可.【详解】由题得，解得，则ABC符合题意，D错误.故选：ABC.10.下列函数中，具备奇偶性的函数是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，先求出定义域，定义域符合条件再判断的关系得解.【详解】对于A，的定义域，不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数，故错误；对于B，定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数，故B正确；因为的定义域为，关于原点对称，当时，则，，当时，则，，当时，，综上，当时，都有，故函数为偶函数，故C正确；因为，所以，解得且，所以函数定义域为，关于原点对称，由定义域可知，所以，故函数为奇函数，故D正确.故选：BCD11.已知二次函数满足，且对，，都有，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】可以知道二次函数是以为对称轴，且在区间上为增函数，从而在上为减函数，根据单调性可判断A的真假，根据离对称轴越近，所对应的函数值越大，可判断C的真假，因为无法确定的符号，所以D无法判定.【详解】∵为二次函数，由得函数的对称轴为，即：，故B正确；由对任意，都有，所以在上为增函数，从而在上为减函数，因为：，所以，故A正确；又因为：，所以，故C正确；因为没有条件涉及，所以的符号无法判断，故D无法判断真假.故选：ABC.12.已知，，，则下列结论成立的是（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AB【解析】【分析】由基本不等式判断AB，利用函数的单调性判断CD．详解】，则由题意，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，，A正确；，B正确；，函数在时是减函数，因此它没有最小值也没有最大值，C错误；，而函数在上是减函数，没有最小值也没有最大值，D错．故选：AB．第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.幂函数的图象经过点，则______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义可求出的值，再由可求出的值，由此可得出的值.【详解】因为幂函数的图象经过点，则，即，可得，则，又因为，解得，因此，.故答案为：.14.若函数的定义域是，则函数的定义域是______．【答案】【解析】【分析】由已知求得的定义域，再由分母中根式内部的代数式大于0求解.【详解】函数的定义域是，所以，即，所以的定义域为，所以函数有意义需满足，解得，即数的定义域为，故答案为：.15.已知，则不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】将改写成分段函数，然后根据分段函数的解析式，分和两种情况讨论求解【详解】对于，当时，，当时，，所以，当时，即时，不等式可化为，即，解得，所以；当时，即时，不等式可化为，即，解得，所以；综上，不等式的解集为，故答案为：.16.如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为______．【答案】4【解析】【分析】作于，于，设，，故，得到，，利用均值不等式计算得到答案.【详解】如图所示：作于，于，则，，设，，故，在中：，即，当且仅当，即，时等号成立，.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）已知，求是值（2）计算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质运算即可得解；（2）利用指数和对数的运算性质求解.【详解】（1）由于，因为，所以（2）原式，．18.已知函数．（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数的值域．【答案】18.在上是增函数，证明见解析19.【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明即可.（2）令，换元法结合单调性求函数的值域.【小问1详解】在上是增函数，证明如下：任取，，且，∵，，且，，，∴即，∴函数在上是增函数．【小问2详解】令，则，于是的值域即为求的值域，由（1）知函数在是单调递增的，所以当时，即，即时，取最小值，所以，所以函数的值域为19.已知集合，．（1）若且，求实数的取值范围；（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】19.20.【解析】【分析】（1）利用元素与集合的关系列出不等式组，求解不等式组即得.（2）由必要不充分条件的定义，利用集合的包含关系列式求解即得.小问1详解】依题意，，解得，所以的取值范围为.小问2详解】由是的必要不充分条件，得真包含于，而，不等式，显然，即，解得，则，因此，于是，解得，所以的取值范围为.20.为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：．（1）设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）每件的销售利润乘以每月的销售量即为利润，据此列方程即可；（2）设政府每个月为他承担的总差价为元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【小问1详解】依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件，所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为【小问2详解】由每月获得的利润不小于元，得：化简，得．解得．又因为这种节能灯销售单价不得高于元，所以．设政府每个月为他承担的总差价为元，则．由，得．故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元．21.已知，，其中．（1）求实数，的值；（2）若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意，令，利用，求出关系，结合，求出，的值.（2）将，的值代入，换元令，转换为在指定区间为增函数问题，分类讨论即可.【小问1详解】设，则，因为，所以，则．又，所以，即，又，解得，．【小问2详解】由（1）得，令，，则，．为使在上为增函数，则或或，解得或或，综上，的取值范围为22.已知函数的定义域为．当时，，．（1）若函数为奇函数，求函数的表达式；（2）若函数是奇函数且在上单调，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于的方程有三个不等的实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）