新教材数学人教A版选择性课时素养评价3221双曲线的简单几何性质

二十四双曲线的简单几何性质(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 () QUOTE QUOTE【解析】选C.将双曲线化成标准形式为QUOTE-QUOTE=1,得2a=4.2.已知双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y+2QUOTEx=0,则双曲线C的离心率为 () B.QUOTE QUOTE 【解析】选A.由双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y+2QUOTEx=0,得QUOTE=2QUOTE,所以b2=8a2.所以c2-a2=8a2.所以e=QUOTE=3.3.双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且C经过点A(2,QUOTE),则双曲线C的方程为 ()2-y2=1 B.QUOTE-QUOTE=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-QUOTE=1【解析】选A.由双曲线C的一条渐近线方程为y=x,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,双曲线C:x2-y2=a2,将A(2,QUOTE)代入双曲线方程,解得a=1,所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.4.设F1,F2是双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角,为30°,所以|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1||F2F1|cos30°,所以(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c×QUOTE,化为e2-2QUOTEe+3=0,解得e=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)5.与双曲线x2-QUOTE=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是.

【解析】依题意设双曲线的方程为x2-QUOTE=λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得λ=3,所以所求双曲线的标准方程为QUOTE-QUOTE=1.答案:QUOTE-QUOTE=16.已知双曲线QUOTE-QUOTE=1的离心率是QUOTE,则n=.

【解析】由题意知双曲线QUOTE-QUOTE=1的离心率是QUOTE.若双曲线的焦点坐标在y轴上,可得:QUOTE=QUOTE,解得n=12,若双曲线的焦点坐标在x轴上,可得:QUOTE=QUOTE,n=-6.答案:-6或12三、解答题(每小题10分,共20分)7.焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是QUOTE,求此双曲线的标准方程.【解析】设双曲线方程为x2-y2=a2(a>0),则它的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为(QUOTEa,0),(-QUOTEa,0).所以QUOTE=QUOTE,a=QUOTE.所以双曲线的标准方程为QUOTE-QUOTE=1.8.设双曲线QUOTE-QUOTE=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为QUOTEc,求双曲线的离心率.【解析】直线l的方程为QUOTE+QUOTE=1,即bx+ay-ab=0,于是有QUOTE=QUOTEc,即4ab=QUOTEc2,两边平方得,16a2b2=3c4,所以16a2(c2-a2)=3c4,3c4-16a2c2+16a4=0,即3e4-16e2+16=0,解得e2=4或e2=QUOTE,因为b>a>0,所以QUOTE>1,e2=QUOTE=1+QUOTE>2,故e2=4,所以e=2.(15分钟·30分)1.(5分)已知双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的离心率为QUOTE,则双曲线C的渐近线方程为 ()A.y=±QUOTEx B.y=±QUOTExC.y=±QUOTEx D.y=±x【解析】选C.已知双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的离心率为QUOTE,故有QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得QUOTE=QUOTE.故双曲线C的渐近线方程为y=±QUOTEx.2.(5分)双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE+1【解析】QUOTE=2,所以e=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.(5分)若椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率为QUOTE,则双曲线QUOTE-QUOTE=1的渐近线方程为.

【解析】因为e=QUOTE=QUOTE,不妨设a=4,c=1,则b=QUOTE,所以对应双曲线的渐近线方程为y=±QUOTEx=±QUOTEx.答案:y=±QUOTEx4.(5分)已知双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的离心率是QUOTE,左右焦点分别是F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,则其渐近线方程是,∠AF1F2=.

【解析】由题意知,QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE=3,即QUOTE=QUOTE.则双曲线的渐近线方程为y=±QUOTEx;如图,不妨设A在第一象限,则|F2A|=QUOTE,|F1F2|=2c,所以tan∠AF1F2=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE×2=QUOTE.所以∠AF1F2=QUOTE.答案:y=±QUOTExQUOTE5.(10分)已知F1,F2分别是双曲线E:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48QUOTE,求此双曲线的方程.【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,则点F2到渐近线距离为QUOTE=b(其中c是双曲线的半焦距),2+b2=c2,解得b=QUOTEa,故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.(2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2①.又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2②,①②相减得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.根据三角形的面积公式得S=QUOTE|PF1|·|PF2|sin60°=QUOTE·4b2=QUOTEb2=48QUOTE,得b2=48.再由(1)得a2=QUOTEb2=27,故所求双曲线方程是QUOTE-QUOTE=1.1.设双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 () B.QUOTE QUOTE 【解析】选B.因为双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,所以渐近线方程为y=±x,所以a=b.因为顶点到一条渐近线的距离为1,所以QUOTEa=1,所以a=b=QUOTE,所以双曲线C的方程为QUOTE-QUOTE=1,焦点坐标为(-2,0),(2,0),所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d=QUOTE=QUOTE.2.已知F1,F2分别为双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,当QUOTE取最小值时,求双曲线的离心率e的取值范围.【解析】因为双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的