河北省衡水市衡水中学2023年高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）A．1 B． C． D．2．已知数列的前项和为，且，，则（）A．200 B．210 C．400 D．4103．已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（）A．－1或2 B．－1 C．0或1 D．24．已知向量若与平行，则实数的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．25．设等比数列满足，，则（）A．8 B．16 C．24 D．486．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为()A． B． C．1 D．37．在中，分别是角的对边,若,且，则的值为()A．2 B． C． D．48．函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．9．在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为()A． B． C． D．10．函数的最小值为(

)A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式的解集为________.12．如图，正方形中，分别为边上点，且，，则________.13．用数学归纳法证明不等式“（且）”的过程中，第一步：当时，不等式左边应等于__________。14．已知，，，则在方向上的投影为__________．15．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是________.16．已知正方形，向正方形内任投一点，则的面积大于正方形面积四分之一的概率是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，某小区有一块半径为米的半圆形空地，开发商计划在该空地上征地建一个矩形的花坛和一个等腰三角形的水池EDC，其中为圆心，在圆的直径上，在半圆周上.（1）设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；（2）当满足取得最大值时，建造效果最美观.试求的最大值，以及相应角的值.18．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．（1）求证：；（2）求证：．19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价（单位：元）和销售量（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价/元销售量/万件（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在内，已知该产品的成本是元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：参考公式：20．设为正项数列的前项和，且满足．（1）求证：为等差数列；（2）令，，若恒成立，求实数的取值范围．21．（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；（2）求过点、和的圆的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选D．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．2、B【解析】

首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果．【详解】由题，，又因为所以当时，可解的当时，，与相减得当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，所以当为正整数时，，则故选B.【点睛】本题考查的知识点有数列通项公式的求法及应用，等差数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题．3、A【解析】

【详解】，选A.【点睛】本题考查由两直线平行求参数.4、D【解析】

因为，所以由于与平行，得，解得.5、A【解析】

利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，则，解得所以.故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.6、B【解析】

根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.【详解】设，所以所以故选B.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.7、A【解析】

由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．【详解】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8、D【解析】，当时，对于∵对任意，存在，使得成立，，解得实数的取值范围是．

故选D．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，9、A【解析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.10、C【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【详解】，时等号成立.故答案选C【点睛】本题考查了均值不等式，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

将三阶矩阵化为普通运算，利用指数函数的性质即可求出不等式的解集.【详解】不等式化为，整理得，，，即，，即不等式的解集为故答案为：【点睛】此题考查了其他不等式的解法，指数函数的性质，以及三阶矩阵，是一道中档题.12、（或）【解析】

先设，根据题意得到，再由两角和的正切公式求出，得到，进而可得出结果.【详解】设，则所以，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记公式即可，属于常考题型.13、【解析】

用数学归纳法证明不等式（且），第一步，即时，分母从3到6，列出式子，得到答案.【详解】用数学归纳法证明不等式（且），第一步，时，左边式子中每项的分母从3开始增大至6，所以应是.即为答案.【点睛】本题考查数学归纳法的基本步骤，属于简单题.14、【解析】

根据数量积的几何意义计算．【详解】在方向上的投影为．故答案为：1．【点睛】本题考查向量的投影，掌握投影的概念是解题基础．15、或【解析】

讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设，过点，则，即；当直线不过原点时，设，过点，则，即；综上所述：直线方程为或.故答案为：或.【点睛】本题考查了直线方程，漏解是容易发生的错误.16、【解析】

向正方形内任投一点，所有等可能基本事件构成正方形区域，当的面积大于正方形面积四分之一的所有基本事件构成区域矩形区域，由面积比可得概率值.【详解】如图边长为1的正方形中，分别是的中点，当点在线段上时，的面积为，所以的面积大于正方形面积四分之一，此时点应在矩形内，由几何概型得：，故填.【点睛】本题考查几何概型，利用面积比求概率值，考查对几何概型概率计算.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)最大值为，此时【解析】

（1）连接，在中，求出，进而求出面积以及角的范围；（2）令，再求出的范围，转化为二次函数即可求出最大值，以及相应角的值.【详解】（1）连接，在中，，（2），令，因为，所以，所以因为在上单调递增，所以时有最大值为，此时【点睛】本题主要考查三角函数与实际应用相结合，最终转化为二次函数进行求解，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查解决问题的能力、仔细理解题，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.18、(1)见详解；（2）见详解.【解析】

（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是菱形，由其性质可得AC1⊥A1C，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根据线面垂直的判定定理可证A1C⊥平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1⊥A1C．【详解】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19、（1）；（2）8.75元.【解析】

(1)根据最小二乘法求线性回归方程；(2)利用线性回归方程建立利润的函数，再求此函数的最大值.【详解】（1）关于的回归方程为.（2）利润该函数的对称轴方程是，故销售单价定为元时，企业才能获得最大利润.【点睛】本题考查线性回归方程和求利润的最值，属于基础题.20、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据与的关系，再结合等差数列的定义，即可证明；（2）由（1）可求出，采用裂项相消法求出，要恒成立，只需即可求出．【详解】（1）由题知：，当得：，解得：当，①②得：，即．是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）知：所以即．【点睛】本题主要考查与的关系，等差数列的定义，裂项相消法以及恒成立问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21、（1）；（2）【解析】

（1）由直线AB的斜率，中点坐标，写出线段AB中垂线