2023年广东省深圳市福田区重点中学中考数学三模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023年广东省深圳市福田区重点中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列实数中，比−4小的数是(

)A.−3 B.3 C.−6 D.02.下列立体图形如图放置，其中同一几何体的左视图与主视图不同的是(

)A. B. C. D.3.已知月球与地球的平均距离约为378000000米，数据378000000用科学记数法表示为(

)A.0.378×109 B.3.78×108 C.4.下列运算正确的是(

)A.3ab−2ab=1 B.9=±3

C.(a−b)5.已知一组数据：7，6，8，x，3，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是(

)A.2 B.6 C.8 D.76.若x−1x−1有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是(

)A. B. C. D.7.若函数y=kx2−2x−1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是A.k≥−1且k≠0 B.k>−1 C.k>−1且k≠0 D.k≥−18.如图，在▱ABCD中，以点D为圆心，CD的长为半径作弧交AD于点G，分别以点C，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线DE交BC于点F，交CG于点O，若AB=13，GC=24，则DF的长为(

)

A.10 B.9 C.12 D.6.59.《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完.设城中有x户人家，可列方程为(

)A.x+x3=100 B.x+3(100−x)=100

C.x+10.如图，点M是矩形ABCD内一个动点，AB=AM=6，BC=4，点N为线段AM上一点，且AN=23AM，连接BN和CM，则BN+CM的最小值为(

)A.25

B.5

C.3二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.分解因式：2y3−12y212.某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面的得分分别是90，85，90，综合成绩中唱功、表情、动作分别占60%，20%，20%，则这位同学的综合成绩是______．13.若点P(5,2−b)关于原点的对称点为Q(a−2,5)，则−2a+b=______．14.如图，点B在反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象上，连接OB，将BO绕B点顺时针旋转90°得到BA，且AB=BO，BA交y轴于点C，若AC：BC=1：2，△ABO的面积为392，则k的值为______

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC上有一点D，使CD=BC，点E是线段AB的延长线上的一点，连接BD，CE，且∠AEC=45°，若AB=5，AD=5，则CE的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题5.0分)

计算：(1317.(本小题7.0分)

先化简(x+2x2−2x−x−1x2−4x+418.(本小题8.0分)

在深圳市“禁毒知识进校园”活动中，某学校进行了禁毒知识竞赛，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩分为达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，圆心角β=______度；

(2)补全条形统计图；

(3)已知学校共有1000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？19.(本小题8.0分)

如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，连结AD，作OF⊥AD于点E，交CD于点F，若∠ADC=∠AOF．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若sinC=13，BD=36，求EF的长．20.(本小题8.0分)

某商场准备购进甲、乙两种文具，若每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同．

(1)求每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元？

(2)该商场购进甲、乙两种文具共90个，且购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍.若每个甲文具的售价为8元，每个乙文具的售价为12元，问该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大？最大利润是多少元？(利润=售价−进价)21.(本小题9.0分)

“WaterSlide”(水滑梯)是广泛深受人们欢迎的娱乐项目.如图所示，该设备电脑系统会根据游客的身体各项指标喷出适量的水流，以满足游客(看成一个点)在空中和水中的运动轨迹能形成如图所示的两段抛物线，以确保安全．

如图所示：游客在高速水流和重力的作用下，从C点脱离滑道，做抛物线运动，经过最高点D后，在点E处入水，入水后的运动轨迹仍然是抛物线，且与入水前的抛物线关于点E成中心对称，经过最低点F后在H处游出水面.已知OC=5米，DN⊥x轴，ON=2米，DN=9米，FP⊥x轴，为节约用水，水池底部做成斜坡AM，坡度i=1：1，OA=2米，解答下列问题：

(1)求入水后抛物线的解析式(即E点右侧的抛物线)，不必写出自变量的取值范围．

(2)当游客与水池底部斜坡AM的竖直距离超过0.7米时，不会发生危险.问：游客在此次入水的过程中是否会发生危险？请说明理由．22.(本小题10.0分)

【问题】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是______，DG与BE的位置关系是______；

(2)如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，点E是AD边上的一个动点，

【探究】①如图2，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE，求证：DG⊥BE；

【拓展】②如图3，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DF、DG，则△DFG面积的最小值为______．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵−6<−3<0<3，

∴题目中四个实数中比−4小的数是−6，

故选：C．

根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小进行比较．

此题考查了实数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用该知识．

2.【答案】D

【解析】解：A.左视图与主视图都是三角形，故选项A不合题意；

B.左视图与主视图都是圆，故选项B不符合题意；

C.左视图与主视图都是正方形；故选项C不合题意；

D.左视图是圆，主视图都是矩形，故选项D符合题意；

故选：D．

从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案．

此题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．

3.【答案】B

【解析】解：378000000=3.78×108．

故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n4.【答案】D

【解析】解：A.3ab−2ab=ab，

则A不符合题意；

B.9=3，

则B不符合题意；

C.(a−b)2=a2−2ab+b2，

则C不符合题意；

D.(−a3)2

=(−1)2⋅5.【答案】B

【解析】解：∵这组数据共5个数，它们的平均数为6，

∴x=5×6−7−6−8−3=6，

那么将这组数据从小到大排列为：3，6，6，7，8，

则其中位数为：6，

故选：B．

结合已知条件求得x的值，然后将数据从小到大排列后求得最中间的数据即可．

本题考查平均数及中位数，结合已知条件求得x的值是解题的关键．

6.【答案】A

【解析】解：由于x−1x−1有意义．则x−1≥0且x−1≠0，

即x−1>0，

所以x>1，

将x>1在数轴上表示为：

故选：A．

根据二次根式、分式有意义的条件得出x的取值范围，再在数轴上将解集表示出来，最后判断即可．

本题考查二次根式、分式有意义的条件以及数轴上表示不等式的解集，理解二次根式、分式有意义的条件，7.【答案】D

【解析】解：当k=0时，函数为y=−2x−1，与x轴有交点，

当k≠0时，

由题意可知：Δ=(−2)2−4k×(−1)≥0

∴4+4k≥0，

∴k≥−1且k≠0，

综上，函数y=kx2−2x−1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是k≥−1．

故选：D．

根据Δ=(−2)2−4k×(−1)≥0且k≠0，解出8.【答案】A

【解析】解：连接GF，

由作图知，DE平分∠CDG，

∴∠GDE=∠CDE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC，CD=AB=13，

∴∠ADE=∠CFD，

∴∠CDF=∠CFD，

∴CD=CF=13，

∵CD=DG，

∴CF=DG，

∴四边形CDGF是菱形，

∴DF=2OD，CO=12CG=12×24=12，DF⊥CG，

∴OD=CD2−OC2=132−122=5，

∴DF=2OD=10，

故选：A．

连接GF9.【答案】A

【解析】解：由题意可得，

x+x3=100，

故选：A．

根据题意可知：户数+户数10.【答案】A

【解析】解：在AB上截取BE=MN，连接ME，CE，

∵AN=23AM，AB=AM=6，

∴AN=4，MN=2，

∴BE=MN=2，

∴AE=AB−BE=6−2=4，

∴AE=AN，

∵AB=AM，∠BAN=∠MAE，

∴△BAN≌△∠MAE(SAS)，

∴BN=ME，

∴BN+CM=ME+CM≥CE，

当C、M、E在一条直线上时，ME+CM的最小值为CE的长，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

在Rt△BCE中，BC=4，BE=2，

由勾股定理得CE=BC2+BE2=42+22=25，

即BN+CM的最小值为25，

故选：A．

在AB上截取BE=MN，连接ME，CE，先求出AN，MN的长，进而求出AE，BE的长，再证得11.【答案】2y(y−3)【解析】解：2y3−12y2+18y

=2y(y2−6y+9)

=2y(y−3)2，12.【答案】89分

【解析】解：该名同学综合成绩为：90×60%+85×20%+90×20%=89(分)，

故答案为：89分．

根据加权平均数的定义列式计算即可．

本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．

13.【答案】1

【解析】解：点P(5,2−b)关于原点的对称点为Q(a−2,5)，

∴a−2=−5，2−b=−5，

∴a=−3，b=7，

∴−2a+b=−6+7=1．

故答案为：1．

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，再代入求值即可．

本题考查了关于原点对称的点的坐标、代数式的求值，关键是掌握点的坐标的变化规律．

14.【答案】18

【解析】解：过点B作BM⊥x轴于点M，作CN垂直y轴，交BM延长线于点N，

∵AC：BC=1：2，△ABO的面积为392，

∴S△BOC=23S△ABO=13，

∵四边形OMNC是矩形，

∴S△BOM+S△BNC=S△BOC=13，

∵∠ABO=90°，

∴∠CBN+∠OBM=90°，

∵∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠CBN=∠BOM，

∠CNB=∠BMO=90°，

∴△CNB∽△BMO，

∴S△BOMS△CNB=(BOCB)2，

∵AB=BO，

∴S△BOMS△CNB=(BOCB)2=(ABCB)2=94，

∴S△BOM=9，

设B(x,y)，x>0，y>0

S△BOM=12xy=9，

∵点B在反比例函数上，

k=xy=18．

故答案为：18．

过点B作15.【答案】2【解析】解：过D作DM//BC交AB于M，

设CD=x，则BC=x，AC=x+5，

∵∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，

∴(x+5)2+x2=52，

∴x=5(舍去负值)，

∴BC=CD=5，

∴CD=AD，

∵DM//BC，

∴AM=MB=12AB=52，

∵∠BCA=90°，BC=CD，

∴△CBD是等腰直角三角形，

∴∠CBD=45°，BD=2BC=10，

∴∠E=∠CBD=45°，

∵DM//BC，

∴∠EBC=∠BMD，∠BDM=∠CBD，

∴∠E=∠BDM，

∴△ECB∽△DBM，

∴EC：BD=BC：BM，

∴CE：10=5：52，

∴CE=22．

故答案为：22．16.【答案】解：(13)−2−(2π−1)0+3tan30°−|1−【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简法则计算即可．

本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．

17.【答案】解：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x+2x3−4x

=[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]⋅x(x+2)(x−2)x+2【解析】先化简括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后从2，0，−1三个数中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键，注意选取的数要使得原分式有意义．

18.【答案】50

144

【解析】解：(1)总人数：10÷20%=50(名)，

圆心角β的度数为360°×2050=144°，

答：在这次调查中，一共抽取了50名学生，圆心角β的度数为144°．

故答案为：50，144；

(2)成绩为优秀等级的学生人数为50−2−10−20=18(人)，

补全条形统计图如下：

(3)1000×2050=400(名)，

答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为400名．

(1)根据成绩为良好等级的学生人数的扇形统计图和条形统计图的信息即可得，再利用360°乘以成绩为优异等级的学生人数所占百分比即可得β的度数；

(2)根据(1)的结果，求出成绩为优秀等级的学生人数，据此补全条形统计图即可；

(3)利用19.【答案】(1)证明：连接OD，如图，

∵OF⊥AD，

∴∠OEA=90°，

∴∠AOF+∠OAD=90°，

∵∠ADC=∠AOF，

∴∠ADC+∠OAD=90°．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA+∠ADC=90°，

∴∠ODC=90°，

∴OD⊥DC，

∵OD为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：∵sinC=13，

在Rt△ODC中，sinC=ODOC，

∴ODOC=13，

设OD=x，则OC=3x，

∴OB=OD=x，

∴CB=4x．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

∴AD⊥BD，

∵OF⊥AD，

∴OF/​/BD．

∴△COF∽△CBD，

∴OFBD=OCCB=3x4x=34，

∴OF=34BD=【解析】(1)连接OD，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质与已知条件得到∠ODC=90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可；

(2)利用直角三角形的边角关系定理得到ODOC=13，设OD=x，则OC=3x，OB=OD=x，CB=4x；利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到OF/​/BD，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得相等OF，利用垂径定理和三角形的中位线定理求出线段OE，则EF=OF−OE20.【答案】解：(1)设每个乙文具的进价为x元，则每个甲文具的进价为(x−3)元，

由题意可得，200x−3=320x，

方程两边同乘以x(x−3)，得

200x=320(x−3)，

解得x=8，

经检验，x=8是原分式方程的解，

∴x−3=5，

答：每个甲文具和每个乙文具的进价分别是5元、8元；

(2)设购进甲文具a个，则购进乙文具(90−a)个，利润为w元，

w=(8−5)a+(12−8)×(90−a)=−a+360，

∴w随a的增大而减小，

∵购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍，

∴a≥3(90−a)，

解得a≥67.5，

∴当a=68时，w取得最大值，此时w=−68+360=292，90−a=22，

答：当该商场应购进甲种文具68个、乙种文具22【解析】(1)根据每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同，可以列出相应的分式方程，从而可以求得每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元；

(2)根据(1)中的结果和题意，可以得到利润和甲种文具数量的关系，再根据购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍，可以求得甲种文具数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是多少元．

本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．

21.【答案】解：(1)由题意得：C(0,5)，D(2,9)，

设入水前的解析式为：y=a(x−2)2+9，将点C的坐标代入，

得4a+9=5，

代入得：a=−1，

∴y=−x2+4x+5，令y=0，−x2+4x+5=0，

得x1=5，x2=−1(舍)，

∴OE=5，

∵点E右侧的抛物线与入水前的抛物线关于点E成中心对称，

∴NE=PE=3，DN=PF=9，

∴P(8,−9)，

∴点E右侧的抛物线为：y=(x−8)2−9

∴入水后的解析式为y=x2−16x+55；

(2)∵坡度i=1：1，OA=2，

∴设AB=BM=a，则A(0,−2)，M(a,−a−2)，

设直线AM的解析式为：y1=kx+b，

把A(0,−2)，M(a,−a−2)代入得：

b=−2ak+b=−a−2，

解得【解析】(1)由题意得：C(0,5)，D(2,9)，求出入水前的解析式，据此求出点E的坐标，由此得到点P的坐标，即可得到入水后的函数解析式；

(2)利用待定系数法求出直线AM的解析式，求出游客与斜坡AM的竖直距离，进而可以判断是否有危险．

此题是二次函数的实际应用题，待定系数法求函数的解析式，二次函数的轴对称问题，正确理解题意求出函数解析式是解题的关键．