2023年宁夏开元学校高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）cm．A．12 B．16 C． D．2．若cosα=13A．13 B．-13 C．3．圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．4．角的终边过点，则等于（）A． B． C． D．5．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度6．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A． B． C． D．7．直线的倾斜角为A． B． C． D．8．某中学举行英语演讲比赛，如图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和平均数分别为（）A．84，85 B．85，84 C．84，85.2 D．86，859．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．10．已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若a、b、c正数依次成等差数列，则的最小值为_______.12．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______13．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________14．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为.15．已知，则__________.16．若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足若数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）求证：是等差数列.18．已知圆：.（1）过的直线与圆：交于，两点，若，求直线的方程；（2）过的直线与圆：交于，两点，直接写出面积取值范围；（3）已知，，圆上是否存在点，使得，请说明理由.19．正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，为中点.(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.20．已知函数.（1）求的最小正周期和上的单调增区间：（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围.21．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/h）与汽车的平均速度之间的函数关系式为：．（1）若要求在该段时间内车流量超过2千辆，则汽车在平均速度应在什么范围内？（2）在该时段内，若规定汽车平均速度不得超过，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据直观图与原图形的关系，可知原图形为平行四边形，结合线段关系即可求解.【详解】根据直观图，可知原图形为平行四边形，因为正方形的边长为2cm，所以原图形cm，，则，所以原平面图形的周长为，故选：B.【点睛】本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，由直观图求原图形面积方法，属于基础题.2、D【解析】

利用二倍角余弦公式cos2α=2【详解】由二倍角余弦公式可得cos2α=2【点睛】本题考查二倍角余弦公式的应用，着重考查学生对二倍角公式熟记和掌握情况，属于基础题．3、B【解析】

圆的标准方程为，圆心，故排除、，代入点，只有项经过此点，也可以设出要求的圆的方程：，再代入点，可以求得圆的半径为．故选．点睛：这个题目主要考查圆的标准方程，因为这是一道选择题，故根据与条件中的圆的方程可以得到圆心坐标，进而可以排除几个选项，如果正规方法，就可以按照已知圆心，写出标准方程，代入已知点求出标准方程即可．4、B【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.5、C【解析】

通过图象可以知道：最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.【详解】由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数解析式中，得，所以，而，显然由向右平移个单位长度得到的图象，故本题选C.【点睛】本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.6、B【解析】试题分析：直线的斜率，其倾斜角为．考点：直线的倾斜角．7、D【解析】

求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为，故选D.【点睛】本小题主要考查由直线一般式求斜率和倾斜角，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.8、A【解析】

剩余数据为：84.84,86,84,87，计算中位数和平均数.【详解】剩余数据为：84.84,86,84,87则中位数为：84平均数为：故答案为A【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，属于基础题型.9、C【解析】

由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．【详解】设直线的倾斜角为，由，得：，故中直线的斜率，∵，∴；故选C．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．10、C【解析】试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

由正数a、b、c依次成等差数列，则，则，再结合基本不等式求最值即可.【详解】解：由正数a、b、c依次成等差数列，则，则，当且仅当，即时取等号，故答案为：1.【点睛】本题考查了等差中项的运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题.12、①④⑤【解析】为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l(即AC1)的垂面．对比图①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．对比图③，由MP与面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．综合得本题的答案为①④⑤．解法2如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面MNP．在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面MNP．在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面MNP．在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．至此，得①④⑤为本题答案．13、9【解析】

平分圆的直线过圆心，由此求得的等量关系式，进而利用基本不等式求得最小值.【详解】由于直线始终平分圆的周长，故直线过圆的圆心，即，所以.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.14、【解析】

直接利用长度型几何概型求解即可.【详解】因为区间总长度为，符合条件的区间长度为，所以，由几何概型概率公式可得，在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为，故答案为：.【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.15、【解析】

对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【详解】因为，所以，即，所以.【点睛】本题考查了同角的三角函数关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.16、【解析】

利用换元法令（），将不等式左边构造成一次函数，根据一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】令，，则．由已知得，不等式对于任意都成立．又令，则，即，解得．所以所求实数的取值范围是．故答案为：【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查三角函数的取值范围，考查一次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(1)证明见解析【解析】

数列满足，变形为，利用等比数列的通项公式即可得出数列满足：，时，，可得，化为：，可得：，相减化简即可证明．【详解】（1）数列满足，，数列是等比数列，首项为1，公比为1．，．证明：数列满足：，时，，解得．时，，可得，化为：，可得：，相减可得：，化为：，是等差数列．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的定义通项公式、指数运算性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18、（1）或；（2）；（3）存在，理由见解析【解析】

求得圆的圆心和半径.（1）设出直线的方程，利用弦长、勾股定理和点到直线距离列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）利用三角形的面积公式列式，由此求得面积取值范围.（3）求得三角形外接圆的方程，根据圆和圆的位置关系，判断出点存在.【详解】圆心为，半径为.（1）直线有斜率，设：，圆心到直线的距离为，∵，则由，得，直线的方程为或（2）依题意可知，三角形的面积为，由于，所以，所以.（3）设三角形的外接圆圆心为（），半径为，由正弦定理得，，所以，所以圆的圆心为,所以圆的方程为，圆与圆满足圆心距：，∴圆与圆相交于两点，圆上存在两个这样的点，满足题意.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19、(1)证明见解析；(2)【解析】

(1)连接交于,连接,再证明即可.(2)根据(1)中的可知异面直线与所成角的为,再计算的各边长分析出为直角三角形,继而求得即可.【详解】(1)连接交于,连接.则为中点因为分别为中点,故为中位线,故.又面,面.故平面.(2)由(1)有异面直线与所成角即为与所成角即,设正四棱锥的各边长均为2,则,,.因为,故.则.即异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题.20、(1)T=π，单调增区间为，(2)【解析】

（1）化简函数得到，再计算周期和单调区间.（2）分情况的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.【详解】解：（1）函数故的最小正周期．由题意可知：，解得：，因为，所以的单调增区间为，（2）由（1）得∵∴，∴，若对任意的和恒成立，则的最小值大于零．当为偶数时，，所以，当为奇数时，，所以，综上所述，的范