琴生不等式的高维推广

1琴生不等式的高维推广李世杰吴光耀(衢州市教育局教研室浙江324002)单保良(衢州职业技术学院，浙江324000)摘要：将琴生(Jensen)不等式作了高维推广，并由它得到了m维空间的一系列不同类型的函数不等式，它们是算术——几何平均值不等式、柯西不等式等的联合推广.关键词：琴生不等式，函数不等式，高维推广.播Hi票gh候er额D昂im柴en福si伴on傅al瑞Ge膀ne振ra谎li宵za堂ti仿on婆o觉f废Je梨ns遍en顽I摧ne才qu瓣al蛙it谢y牙Li丛动Sh垒ij照ie论Wu晚G生ua箩ng贤ya范o托〔D监ep献ar关tm午en泉t祝of载满Te星ac浆hi兰ng就R燕es片ea茫rc尝h，鸣Qu勉zh倡ou找E爸du五ca赴ti邮on喂C屿om捕mi寨tt低ee瓦，Z肾he仔ji景an修g，侍3俩24泽00碌2，绳Ch岔in辛a〕死Da吊n诸B拐ao辨li搬an滔g辈〔密Qu貌zh滩ou妖C锄ol什le炮ge琴o驴f伯V姑oc荷at幻io斑na烤l天T季ec罗hu怠ol做og赢y劈，前Zh假设ej斤ia赛ng胆，别3烟24扔00烘0去，绣Ch纸in布a币〕滴Ab劫st鸭ra广ct察：T敲he如h输ig虽h睬er左d元im版en至si弟on养al加ge和ne津ra跌li倡za现ti袍on搭o劳f冤Je冤ns拖en排’患i危ne睛qu发al托it吩y肤is溪润es援ta未bl效is违he脂d.宅A南s螺by例-p假ro品du枝ct驾s,平壤a赢se缠ri宇es乘o泉f谁di银ff耀er割en目t讯fu书nc迷ti凡on液i想ne堪qu幕al突it拾ie洗s厦on总很m亩-d坐im煌en爸si袜on件al维s奥pa求ce净i场s雷o奴bt岂ai绩ne阶d赤wh紧ic姑h旋ex而te轻nd衔t签he谜A股-G资m犯ea吵n纳i享ne孕qu惹al改it维y低an碍d膀Ca较uc希hy集’s县炮i员ne煎qu鬼al吹it沾y.踩彻Ke谈y失wo扬rd睛s变：皆Je怖ns赚en湿’的挎in似eq折ua脱li商ty吉；税fu克nc层ti遗on白情in讯eq包ua依li宪ty单；h前ig窝h翅er纽d阀im职en随si匙on六al延ge涉ne偶ra滚li扫za盟ti惑on到1．乳引言皮19榨05逮年，精丹麦田数学闻家琴觉生〔默Je责ns气en富，卸18哨59垃－1植92牛5〕普证明耳了如块下著竖名的恢琴生炉不等昂式[这1]舟：谨设感f失(贞x喷)是误定义环在实蜜数集淡M守上的范函数绵，且洒对任玉意的蕉x宗l馋、且x井2蹄∈律M吸，都辣有偷，顶唉完挠养苏希蒙鸽营援(1叨.1屯)期那么对稻任意服的提x获i掌∈惑M壁〔系i纯=陕1，涉2，缠…踢，嘱n锐〕，刚有承，桃仇顶巾港掉娇市贫员像眨县(甘1.支2)应在文馒[2嫁]中殖，李剩世杰衔证明蚁了如批下的齐“州母溉〞率函数仰不等抖式：签设里f猾(假设x伴)的次定义源域为器垄M欠〔葬M浸为[挺a臂，关b饭]，伞或〔界a栏，帅b悼〕，替或无搬穷区隔间〕辱，巩(烟x圆)是固刮M妈上的赛连续瞒函数改，且烈存在懂反函尚数．摆假设对捐任意绒的位x足l帅、染x佛2扇∈耗M窗，都保有贷，奉捧诚灭城论触需络野嫂(1摇.3建)伸那么对蓬任意竖的啦x贪i天∈那么M伙〔词i蓝=哭1，棉2，归…授，印n鸟〕，灯有切，秆咐恶土跌牢具铃煮敌抖抬置(1乘.4开)辟假设糠(1植.3赌)笛中等搞式成赔立的香条件盒是东x势1钢=僵x杀2绍，那么去(夜1.筋4)荷中偏等式污成立洲的条恼件是姥教x垒1骆=忘x柿2淡=拳…会=叶x犁n虹．局本文僻下面塔先给录出不业等式穴(焦1.世4)抓的箩一个案高维塔推广柴，为肉方便饭计，秩引入菊以下昏记号鞭:缎设喊M步=柴M忽1咽×慨M蕉2绍×…领×股M辟m口〔讨M绘i层为券[慌a榴i寺，妈b傻i苹]，迅或〔胳a退i煮，锡b裕i野〕，蚁或无熟穷区夫间，载m裙≥套1〕惨.纲特别党地，汗收稿帐日期斤：活[作瞒者简止介]休：李完世杰化，触(免19寄6耻0-对)，统男，商浙江屯东阳茧人，缝汉,续中学贫高级谢教师泰，理活学士淘,撇研究忙方向疫：解挣析不从等式循及数允学教母学职假设脏M乐i爆=念R滥+糖=贵，袋i骨=家1，弯2，虾…事，偷m猫，那么碰M乓记作气.钻对于达，品表示辽m搭维向确量:岩其它迁符号下意义魄依次雁类推贩.坏2．踢主要舌结论黎定理踪1该设房f逐(逃X率)的炕定义中域为听筋M扣，栗i政(叉x篮)是沫定义堤在姿M统i扫上的很连续狡函数屋，且孩存在果反函老数，猛i桑=管1，趋2，似…奇，首m那．假设今对胜X侍1煮、市X废2北∈占M奖，醒，顽和常仆数浴，都镜有油，复且围，猫捞拴暂(毯2.渴1)权等式匠成立骑的条笑件是鞭X删1腿=度X叔2扭.漫那么寄对厅X洁i颜∈才M获(渴，飘n捏≥丈2届)，尸，培，都浇有碧搅吨溉垃猎密忧(冠2.姥2)太这里带p良是满罪足锹的整模数，针，(栋2.能2)稳中等挎式成校立的数条件形是馒X微1巷=辱X稳2塞=茧厘…旷=狗X讨n粱．贝下面裙用反帐向数灶学归过纳法绣证明缘这一甲不等窄式.膨证明翻首疫先证殖明伤n放=2忧杀p变(板p射∈步N教，朵p黄≥生2舒)始时，角结论嘱成立母.浩当骂n背=蓄2时败，由验(罢2.拐1)截及灭其等腊式成殖立的春条件暑知结外论成劫立.但假设透n身=2互翻k虾(蒙k腹∈尺N编，毫k复≥潮2库)绘时，境结论谷成立萝，即痛对方X尽i寄∈劫M后(衰)，足有趁，旺丢聚液锐聋洗薄缩(2高.3凯)衬等式尊成立种的条造件是滚X哭1财=名X俯2热=帽饺…撕=记.些那么皱对蚀X撇i亲∈渐M摩(反牙)，报有号，往卧斗洞寄找廊(2偿.4锯)独等式串成立狱的条傲件是蓄…焰．陡又宵根据捎n汤=执2时猛的结相论，蠢在送(2么.1航)主中作贤置换，，可得+即拿+妇，凑(2传.5茶)续等式副成立逼的条五件是史，仔.丈联合宰(2铸.3符)、薯(2驶.4蚕)、堤(2诉.5饥)得稳箩裂变稿珠代下佣辞腿傍碗(2勉.6垦)弹等式笼成立姜的条或件是流斜壳姓守宽务，严由于胡存在床反函束数，库必一专一对苦应，族故由六上面问方程掀组可里推得丽不等茧式匠(2兰.6雨)中爷等式酱成立牧的条棒件是求X笔1户=鉴X逃2效=磨滩…划=异．因钻此对椅n琴=2奸廊p命(概p料∈滩N柿，浪p缝≥爸2泄)结婶论恒艺成立织.葛当筐时，肺前面光已证公成立赛结论柱:胃个白歇陷越到傻(2迹.7辉)葛当高时，芬取笋X烦n似+叨1亡=蜘X恰n首+婆2眠=库…帝，那么骂X携n霸+银1喘=义X还n想+爬2宝=茅…昆，代袋入〔悦2.明7〕快式化踢简后支即可强得到限〔2拆.2万〕式任.诸综上孩，我谁们就贿证明捏了不岗等式快〔2壮.2机〕结益论对即n再≥扩2恒券成立裹.概定理损2偿奇设破f浊(派X抢)的老定义饱域为租凡M因，齿i骗(都x纷)是崖定义智在维M汁i姑上的哈连续苍函数部，且烫存在粮反函假数，木i狐=养1，妖2，董…嗽，陕m蚊．假设泳对忌X啄1监、配X羊2智∈禾M时和常辫数珠，都带有伪，且态，缝姻赴疲伤当尾(赏2.苦8)缠等式脉成立君的条击件是罗X池1锄=含X协2萍.趋那么握对平X惯i渡∈鞭M耀(雁，装n目≥金2峰)，之有扇来晶泊端岁顽胞懂(2搂.9统)努这里焦p梯是满很足分的整裙数，论(2我.9港)中腿等式广成立钳的条五件是怒X裂1番=锯X贤2顿=淹跃…轨=粒X厦n紧．骗证明焰与蜻定理们1相瓜似，倾首先庙证明唉n朱=2半兵p姨(溜p凳∈抓N搂，叹p航≥撕2临)倘时结思论成谁立，逆再如码对(用2.闪7)洽式取床特值码，即滔可获窗证，驾过程冷略去蒜.哀定理夫3比迫设滴f酱(筹X服)的乡定义阵域为你铁M旅，驼i陆(迁x脆)是游定义峰在岗M亏i哪上的轨连续陪函数安，且景存在桐反函暗数，往i聚=丘1，介2，氧…蜂，立m侦．假设捉对欺X伪1凯、冤X贸2蝇∈王M狡，蚁和常激数狱，都行有砌，且宋，叼精添遣骂址筑等式蓝成立萌的条糠件是糠X痰1腿＝植X士2更.课那么本对任房意的吊X披i婚∈宜M独(项，锤n溉≥没2米)，鼻有克这里乘p存是满战足遣的整获数，武等式孟成立押的条柱件是叙X丸1本=菊X斥2脖=搜…逼=毅X矛n竞．瑞证明印思与定凝理1登相似樱，略秘.甩3．币应用坐定理期4依设立f腊(朱X讯)的既定义苏域为谦百M妥，崖i器(递x呈)是狸定义究在锈M式i似上的犬连续桂函数男，且贺存在亲反函奶数，纽i壶=明1，排2，欺…华，丑m妻．假设胡对求X互1羞、盒X是2替∈那M星，拦，辰，都局有壁，猜删旋喇买〔接3.解1〕锅等式鉴成立胡的条救件是嘱X红1犬=共X惰2剖.痰那么顷对侍X赔i蹦∈闹M虏(榴，肾n眠≥行2腿)，旧，描，都落有馒覆弊潮酱竿啊织(犹3.绩2)嘱等式绘成立敞的条袄件是粮X薯1乳=辅X削2医=逮蕉…示=飘X计n哥．签证明样妨在定定理1彼中，锯取专，由盆于摊i驴(需x坡)是泄定义兄在寿M芽i号上的扎连续姜函数旷，必乘有渡故由钟定理窑1即芽可得假定理按4中旧结论幻.商定理慧5盏泼设钟f尾(报X拐)的岔定义这域为鸭宫M串，偿i哄(搬x际)是业定义会在垦M石i嘴上的钞连续权函数奖，且禾存在呼反函寻数，秩i赚=渡1，射2，悟…碰，缓m咏．假设缎对糊X庙1船、弃X洲2仅∈效M脚，都概有转，婆亚绒租喊秤药(炉3.刃3)宫等式骆成立汉的条晌件是队X潜1良=浮X姻2天.对那么倾对臣X傻i翻∈读M拣(架，毫n厚≥甘2年)，虑有芝土访泉破摔吴须耍圈当(3斗.4医)谢这里逗p沿是满曾足造的整贝数，县(3曲.4功)中夏等式坦成立尘的条心件是终X沈1育=钱X认2损=深兆…渐=秒X塘n她．青证明昨玻同定故理4限证明马过程嗽，在矛定理恢2中蹄取惕即可伐得证摸.滔取誉i挥(刮x亭)=颜x蔬，昆，定差理5拆就变蜘成琴罗生〔沿J疗en搬se浮n〕胳不等罚式〔穗1.易2〕织.绪定理之6涉〔均装值型喇函数拾不等艳式〕麻设密f妈(扬X乏)简的定银义域寇为孕，锤假设对掘任意胳的怖X钓1间、去X电2腊∈索，都表有叼，璃〔3文.5薄〕柜等式创成立械的条会件是狗X酸1末＝剖X搜2弄.化娱那么对葡于碍X缸i侍∈络(炕血，喜n对≥怪2捏)辫，有恩，您呼变施火参(耀3.雅6睡)吴等式指成立棉的条考件是扇X戚1县＝斧X效2假=锦圣…虑＝构X窃n酱.归证明闹在评定理榨5迹中令百，叠,丝那么见代入增定理介5中驼(3请.3吸)(可3.丑4)叙式即甩可得缎(3胆.5餐)(合3.凝6)里.吸注洞在定厌理6梁中假设梨令夺，尚由于但对正尘数紧，由培于戏不等花式贴恒成炎立，程定理戴6就技变为冤算术寿——脊几何管平均纹值不逆等式谈：，显同理懒，假设周再令嫂，句由著墨名的布柯西智〔棒Ca准uc丹hy钳〕不讽等式踏可得纵其推午广形挠式各取亲，得屋文[肤3]搞中证床明的铅新的指函数梯不等赢式.禾定理追1和因定理号2边中的梢函数惑不等命式是萄m型维空耀间某梢些函红数不警等式算的一搂个共团同来斧源，衰我们作可把叨它们扇称为惕高维聚的恼“失母奏〞隆函数弹不等猴式.表由它傍们我调们还笑可得诉到乘尚积型再、方迷幂型假设函数士不等欢式等逝，倒限于眠篇幅挑，这葡些结葡果就夜不再颗一一拥列出筐了.菌摄参考辣文献粗[薄1佩]百匡继蛾昌.舒常用餐不等泼式〔陆第三姑版〕畅.山径东科撤学技制术出嫩版社卸，醉20缎04剃年歼1萝月稻.伙P3珠48蹈-3侨80昆.棚[2轧]李雅世杰虚.一行个重择要的谢“解母率〞栗函数残不等标式怨[J止].绵抚州形师专伐学报巾，1疗99泊9〔那么3〕热：3男7搭—相40醒.抗[3赛]黄四仁寿派.一松个新依的函晌数不琴等式棋[J敏].抛数学军通讯字，1塌99俩3〔活6〕蜂：2闻3.改[4海]谦CO半NS枯TA斥NT西IN暮P线,刺Co与nv跃ex桃it始y殖Ac不co墙rd锅in幻g啄t柿o弄th亦e鸣ge徐om弯et泥ri站c咽me报an旱[J纳].怒Ma岩th螺em虚at陶ic喷al策I捎ne飞qu妙al狮it渔ie炮s脆＆悲A危pp器li祸ca锅ti泽on朽s响,2享00怀0,昆(2度):满15肝5-诸16屿7.养[将5亲]李孔世杰拢.凸狮函数班Je暑ns源en阻不等隙式的葬一个绑推广境及应料用[筹J]小.江胖西:纵抚州粥师专陆学报顽〔自兆然科丈学版系〕,骑19茄88卵,(恶3)创:3储0—管37互.室作者败简介猪：李辅世杰危，华1椒96拣0年阿1氧2月痒生，勒男，俩浙江