八年级数学下册知识点复习专题讲练全套含解析

目录TOC\o"1-1"\h\u19109一、勾股定理的逆定理 427813二、实际应用定理中的注意问题 411117三、勾股定理逆定理的几种典型应用 419114利用勾股定理计算角度 515467开放性试题 64657（答题时间：45分钟） 7883一、选择题 715584二、填空题 731280三、解答题 84583函数中的动点问题 1230334利用动点形成的函数图象求解析式 1413688动点综合型问题 158830（答题时间：45分钟） 1619709一、选择题 1627262二、填空题： 189712三、解答题： 1914057解析平方根和立方根 24318751.算术平方根 2415060（3）被开方数与算术平方根的关系 2410363当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。 2491922.平方根 24271123.立方根 257870（3）被开方数与立方根的关系 257334当被开方数扩大时，它的立方根也扩大；当被开方数缩小时，它的立方根也缩小。 2531459（答题时间：30分钟） 274289一、平行四边形的性质 3721526二、平行四边形的面积法使用 3730523平行四边形的面积问题 394749平行四边形中的折叠 403526（2）∵∠1＝∠2，∴EG＝GF，∵AB∥DC， 4025149（答题时间：45分钟） 4018789二、填空题 42372三、解答题 4232541剖析不等式（组）的解集 472386一、一元一次不等式（组）的解： 4717174二、利用数轴求不等式组的解集分以下四种情况： 479943三、常考题型 4714812（答题时间：45分钟） 5012711一、选择题（共8小题） 5013478二、解答题（共4小题） 5113751一、选择题（共8小题） 5230921二、解答题（共4小题） 5328533巧用勾股定理解决几何问题 5521437一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧 5530256二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律 5626724分类讨论求值 5728366生活中的勾股定理方案设计 5818290（答题时间：45分钟） 5812554一、选择题 5813351二、填空题： 5923508三、解答题： 6016308一次函数中的分段函数 6531116收费问题中的分段计算 6830988（答题时间：45分钟） 696953一、选择题 697145二、填空题： 7118832三、解答题： 7116720图甲 图乙 7226278用坐标表示旋转 7625814一、选择题 789181二、填空题 7928022三、解答题 808784一、选择题 837615二、填空题 8312464三、解答题 8411920不等式组的解题技巧 8632135一、一元一次不等式组的解法 8612495二、用数轴表示不等式组的解集 862204三、求不等式组的特殊解 8630138（答题时间：45分钟） 8813441一、选择题 8831418二、填空题 898596三、解答题 8931975一、选择题 911527二、填空题 9114752三、解答题 914679二次根式基本定义及其应用 9319680一、二次根式的定义 9312574二、二次根式的判定 9325397三、二次根式有意义的条件 938108估算二次根式的值 9425737求最值问题 944057（答题时间：45分钟） 959759一、选择题 9518653二、填空题： 9625958三、解答题： 968493一、二次根式具有双重非负性 996815二、二次根式整数部分、小数部分 9917704双重值非负性的应用 10026975特殊根式化简 1006133（答题时间：45分钟） 10126228一、选择题 10110339二、填空题 10126048三、解答题 10216855勾股定理的综合使用 10522524一、勾股定理 1058577二、定理适用范围及应用 10516260分类讨论思想的应用 10723158图形变换的证明 10715517（答题时间：45分钟） 1081891一、选择题 10829907二、填空题： 1097913三、解答题： 110勾股定理及逆定理的综合应用一、勾股定理的逆定理逆定理如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。逆定理说明：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。②在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形。二、实际应用定理中的注意问题1.定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；2.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。三、勾股定理逆定理的几种典型应用总结：1.理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；2.掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。例题1如图，△ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线，且AD=8.5，则BC的长为（）A.15B.16C.17D.18解析：延长AD至E使ED=AD，利用好“AD是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD的长度了，再根据BC=2BD，所以BC的长也就求出了。解：延长AD至E，使DE=AD；连接BE，∵AD=8.5，∴AE=2×8.5=17，在△ADC和△EDB中，AD＝DE∵∠ADC＝∠EDBBD＝CD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=8，BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289，∴∠ABE=90°，∵在Rt△BED中，BD是中线，∴BD=AE=8.5，∴BC=2BD=2×8.5=17。故选C。例题2勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A.50B.52C.54D.56解析：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解。解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=2+3=5，所以，KL=2+5=7，LM=3+5=8，因此，矩形KLMJ的面积为7×8=56。故选D。利用勾股定理计算角度例题如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置。若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度。解析：首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，进而得出答案。答案：解：连接EE′，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，∴EE′=2，∠BE′E=45°，∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9，∴E′E2+E′C2=EC2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=135°。故答案为：135。开放性试题开放性试题是与封闭性试题相对的、没有固定答案或唯一结论的一种试题形式，它在很大程度上弥补了封闭性试题的种种不足，特别在考查学生思维的灵活性和广泛性，考查学生的实践能力和创新意识，以及情感、态度、价值观等方面有着封闭性试题所无法取代的优点。可使同学们的主观能动性得到极好的发挥。例题如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形。请给出4种不同拼法，并求所拼等腰三角形的周长。解析：根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；利用图形，分别求得每一个等腰三角形的周长。答案：解：4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形如图所示：图1：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+=20+4；图2：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12=32；图3：根据图示知，64+x2=（x+6）2，解得，x=，∴拼成的等腰三角形的周长为2×（+6）+10=26；图4：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8=36。（答题时间：45分钟）一、选择题1.有下面的判断：①若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形。②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2。③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形。④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a－b）=c2。以上判断正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2.若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定*3.已知正实数a、b、c满足=k，以2k，2k+1，2k－1为三边的三角形面积是（）A.12 B.6 C. D.3**4.如图，以△ABC的每一条边为边作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF。已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，则∠FCE=（）A.130° B.140° C.150° D.160°**5.如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A.10个 B.12个 C.14个 D.16个二、填空题*6.如图，Rt△ABC中，∠C=90度。将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为。*7.如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为个。**8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2=。三、解答题9.阅读以下解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状。错解：∵a2c2－b2c2=a4－b4…①，∴c2（a2－b2）=（a2－b2）（a2+b2）…②，∴c2=a2+b2…③问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误？请写出该步的代号。（2）错误的原因是。（3）本题正确的结论是。*10.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5。（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数。**11.如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°。试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由。**12.已知：△ABC的周长是4+2，AB=4，AC=+。（1）判断△ABC的形状；（2）若CD是AB上的中线，DE⊥AB，∠ACB的平分线交DE于E，交AB于F，连接BE。求证：DC=DE，并求△DBE的面积。

1.C解析：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a－b）≠c2，故错误。共2个正确。故选C。2.C解析：△ABC是直角三角形。理由是：∵a2+b2+c2=10a+24b+26c－338，∴（a－5）2+（b－12）2+（c－13）2=0，∴a－5=0，b－12=0，c－13=0，即a=5，b=12，c=13。∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形。故选C。3.B解析：∵，∴c（b+c）=a（a+b），b（a+b）=c（a+c），化简后得：（c－a）（a+b+c）=0，（c－b）（a+b+c）=0，∵a+b+c≠0，∴a=b=c，∴k=2，∴以2k，2k+1，2k－1为三边分别为4，5，3；∵32+42=52，∴三角形为直角三角形，直角边的长分别为3，4，根据直角三角形的面积公式，∴S=×3×4=6。故选B。4.C解析：由题意，得S△ACF+S△BCE=S△ABD，即AC2+BC2＝AB2。从而AC2+BC2=AB2。所以∠ACB=90°，∠FCE=360°－（90°+60°+60°）=150°。故选C。5.C解析：可得到14个直角三角形，分别为△ABE、△ADE、△ABD、△BED、△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF。故选C。6.6解析：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE，得∠A=∠ABE。根据折叠，得∠ABE=∠CBE，再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°∴CE=BE=2，则AC=4+2=6。7.6解析：如图，根据勾股定理知AB2=12+32=10。∵12+32=10，（）2+（2）2=10，（）2+（）2=10，∴符合条件的点C有6个。8.100解析：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100。9.解：（1）∵c2（a2－b2）=（a2－b2）（a2+b2）∴应有c2（a2－b2）－（a2－b2）（a2+b2）=0得到（a2－b2）[c2－（a2+b2）]=0，∴（a2－b2）=0或[c2－（a2+b2）]=0，即a=b或a2+b2=c2，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，知三角形为等腰三角形或直角三角形。故填③。（2）不能确定a2－b2是否为0。（3）△ABC为等腰三角形或直角三角形。10.解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC，BD=BE，又因为∠DBE=∠ABC=60°，所以△ABC和△DBE均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又因为CD=5，所以DE2+EC2=32+42=52=CD2；故△DEC为直角三角形。（2）因为△DEC为直角三角形，所以∠DEC=90°，又因为△BDE为等边三角形，所以∠BED=60°，故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°。11.解：以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形。理由如下：以BC为边作等边△BCE，连接AE、AC。如下图所示。∵∠ABC=30°，∠CBE=60°，∴∠ABE=90°，∴AB2+BE2=AE2①，∵AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，在△DCB和△ACE中，DC=AC，∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB=∠ACE，又∵BC=CE，∴△DCB≌△ACE，∴BD=AE，∵BC=BE，由①式，可得BD2=AB2+BC2。∴以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形。12.（1）解：△ABC是直角三角形。∵△ABC的周长是4+2，AB=4，AC=+，∴BC=（4+2）－4－（+）=−，∵（+）2+（−）2＝42，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）证明：过点C作CM⊥AB交AB于M，∵DE⊥AB，∴CM∥DE，∴∠DEF=∠MCF，又∵AD=CD，∴∠A=∠ACD，∵∠BCM=∠A，∴∠ACD=∠BCM，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∴∠DCF=∠MCF，∴∠DCF=∠DEF，∴DC=DE=AB=2，∴△DBE的面积=2×2÷2=2。

函数中的动点问题1.点在线段上运动：根据线段长或图形面积求函数关系。如：如图所示，点P在线段BC、CD、DA上运动，△ABP的面积变化情况的图象是什么样的？解析：看清横轴和纵轴表示的量。答案：2.双动点变化：两动点同时运动，分析图形面积变化图象。如图1，在矩形ABCD中，点E是对角线AC的三等分点（靠近点A），动点F从点C出发沿C→A→B运动，当点F与点B重合时停止运动。设点F运动的路程为x，△BEF的面积为y，那么图2能表示y与x函数关系的大致图象吗？图1图2解析：动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况。答案：能。3.图形运动变化所形成的函数问题：图形整体运动时，形成的函数问题；如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，阴影部分面积为S，那么S与t的函数图象大致是什么？解析：图形运动变化所形成的函数问题．关键是理解图形运动过程中的几个分界点。答案：4.实际问题中的运动变化图象如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）解析：解决实际问题中的运动变化图象，要根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义选出正确的图象。答案：总结：研究在不同位置时点的运动变化所产生的线段、面积的变化关系是重点。例题如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A⇒B⇒C⇒D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为y，点P运动的路程为x，则表示y与x的函数关系的图象为（） A. B. C. D.解析：分别求出P在AB段、BC段、CD段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断。解：点P在AB段时，函数解析式是：y＝AP•AM＝×2x＝x，是正比例函数；点P在BC段时，函数解析式是：，是一次函数；则，。在单位时间内点P在BC段上的面积增长要大于点P在AB上的面积增长，因此函数图象会更靠近y轴，也就是图象会比较“陡”，故A、B选项错误。点P在CD段时，面积是△ABC的面积加上△ACP的面积，△ABC的面积不变，而△ACP中CP边上的高一定，因而面积是CP长的一次函数，因而此段的面积是x的一次函数，应是线段。故C错误，正确的是D。故选D。点拨：主要考查了函数的性质，注意分段讨论是解决本题的关键。利用动点形成的函数图象求解析式例题（翔安模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止。设点P运动的路程为xcm，△ABP的面积为ycm2，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y关于x的函数关系式为。解析：根据图2判断出矩形的AB、BC的长度，然后分点P在BC、CD、AD时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式。答案：解：由图2可知，x从4到9的过程中，三角形的面积不变，所以，矩形的边AB＝9－4＝5cm，边BC＝4cm，则点P运动的总路程为9＋4＝13cm，分情况讨论：①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度xcm，y＝AB•PB＝×5x＝；②点P在CD上时，4<x<9，点P到AB的距离为BC的长度4cm，y＝AB•BC＝×5×4＝10；③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度（13－x）cm，y＝AB•PA＝×5（13－x）＝（13－x）；综上，y关于x的函数关系式为。故答案为：。动点综合型问题例题（苏州中考）如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止。已知△PAD的面积y（单位：cm2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，试解答下列问题：（1）求出平行四边形ABCD的周长；（2）请你利用图①解释一下图②中线段MN表示的实际意义；（3）求出图②中a和b的值。解析：（1）由图②知点P在AB上运动的时间为10s，根据路程＝速度×时间列式，求出AB＝10cm，又AD＝9cm，根据平行四边形的周长公式即可求解；（2）由线段MN∥x轴，可知此时点P虽然在运动，但是△PAD的面积y不变，结合图①，可知此时点P在BC边上运动；（3）由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，a为点P由A→B→C的时间；分别过B点、C点作BE⊥AD、CF⊥AD，易证△BAE≌△CDF，由此得到AE＝DF＝6cm，AF＝15cm，从而可求得CA＝17cm，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36。答案：解：（1）由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），而AD＝9cm，则平行四边形ABCD的周长为：2·（AB＋AD）＝2×（10＋9）＝38（cm）；（2）线段MN表示的实际意义是：点P在BC边上从B点运动到C点；（3）由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F。由图②知S△ABD＝36cm2，则×9×BE＝36cm2，解得BE＝8cm，在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝6cm。易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8cm，AE＝DF＝6cm，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15cm。在Rt△ACF中，由勾股定理，得CA＝＝17cm，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36。（答题时间：45分钟）一、选择题1.（静海中考）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.2.（营口中考）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点E应运动到（）A.点C处 B.点D处 C.点B处 D.点A处3.（绥化中考）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是（） A. B. C. D.*4.（荆门中考）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（） A. B. C. D.**5.（河池中考）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AD＝6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示是（） A. B. C. D.二、填空题：*6.如图，是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息填空：（1）汽车在整个行驶过程中，最高速度是千米/时；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是；（3）汽车出发后，8分钟到10分钟之间的运动情况如何？。*7.如图，在正方形ABCD中，边长为2，某一点E从B－C－D－A－B运动，且速度是1，试求：（1）△BEC的面积S和时间t的关系。**8.（随州中考）在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线BCDA由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△PAB的面积为y，y与x的函数图象如图所示。给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△PAB面积为4时，点P移动的距离是2。你认为其中正确的结论是。（只填所有正确结论的序号例如①）**9.已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB＝6cm，试回答下列问题：（1）图甲中BC的长度是。（2）图乙中a所表示的数是。（3）图甲中的图形面积是。（4）图乙中b所表示的数是。 图甲 图乙三、解答题：10.（潜江）如图，有一边长为5的正方形ABCD与等腰三角形CEF，其中底边CF＝8，腰长EF＝5，若等腰△CEF以每秒1个单位沿CB方向平移，B、C、F在直线L上，请画出0＜t＜6时，两图形重叠部分的不同状态图（重叠部分用阴影标示），并写出对应t的范围。**11.如图①，在矩形ABCD中，AB＝30cm，BC＝60cm。点P从点A出发，沿A→B→C→D路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止。若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB－BC－CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象。（1）请解释图中点H的实际意义；（2）求P、Q两点的运动速度；（3）将图②补充完整；（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值。

1.B解析：①当P在AB上运动时，所求三角形底为AP，高为M到AB的距离也就是AD长度因此S△APM＝AD•AP＝x，函数关系为：y＝x（0＜x≤1）；②当P在BC上运动时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM，S△ABP＝AB•BP，BP＝x－1，则S△ABP＝x－，S△PCM＝PC•CM，CM＝＝，PC＝3－x，S△PCM＝，S梯形ABCM＝（AB＋CM）•BC＝，因此S△APM＝－－＝－＋（1＜x≤3）；③当P在CM上运动时，S△APM＝CM•AD，CM＝－x，S△APM＝（－x）×2＝－x＋（3＜x＜7/2）。故该图象分三段。故选B。2.B解析：当E在AB上运动时，△BCE的面积不断增大；当E在AD上运动时，BC一定，高为AB不变，此时面积不变；当E在DC上运动时，△BCE的面积不断减小。∴当x＝7时，点E应运动到高不再变化时，即点D处。故选B。3.D解析：∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P点在AB上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，P点在BC上，此时纵坐标为定值1。当P点在CD上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，P点在AD上，此时纵坐标为定值2。故选D。4.A解析：①当直线经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线经过AD段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合。故选A。5.D解析：连接AC，过点C作CE⊥AD于点E，过点M作MF⊥AB于点F，易得CE＝2，MF＝5，当点P与点B重合，即x＝2时，y＝AP·MF＝×2×5＝5；当点P与点C重合，即x＝6时，y＝＝××6×2＝3；结合函数图象可判断选项D正确。故选D。6.100千米，22分－24分，8分到10分之间停止解析：（1）依题意得：最高速度是100千米每小时；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是22分－24分；（3）汽车出发后，8分到10分之间是停止的。7.解析：（1）∵在正方形ABCD中，边长为2，某一点E从B－C－D－A－B运动，且速度是1，∴当E在BC上时，B，E，C无法构成三角形，此时0≤t≤2，∴S＝0，（0≤t≤2）；当E在CD上时，△BEC的面积为：S＝BC×CE＝×2×（t－2）＝t－2，（2＜t≤4）；当E在AD上时，△BEC的面积为：S＝BC×CD＝×2×2＝2，（4＜t≤6）；当E在AB上时，△BEC的面积为：S＝BC×BE＝×2×[2－（t－6）]＝8－t，（6＜t≤8）。8.①③解析：∵AB边的长为4，设动点P沿折线B⇒C⇒D⇒A由点B向点A运动，点P运动的距离为10，∴四边形ABCD的周长为10＋4＝14，①成立。当点P在BC上运动时，面积在不断增加，当移动的距离是3，面积为6时，面积不再变化，说明CD∥AB，此时BC＝3，△ABP面积＝×4×高＝6，那么高＝3，说明BC⊥AB。当点P运动7时，面积停止变化，此时CD＝7－3＝4，那么CD＝AB。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形。根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到四边形ABCD是矩形，③对。由图中可以看出，面积为4的点可在图中找到两处，那么就有相应的两个距离值，④不对。故答案选①③。9.8cm；24；60cm2；17解析：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝2cm/秒×4秒＝8cm。故题图甲中BC的长度是8cm；（2）由（1）可得，BC＝8cm，则：题图乙中a所表示的数是：×BC×AB＝×8×6＝24（cm2）。故题图乙中a所表示的数是24；（3）由题图可得：CD＝2×2＝4cm，DE＝2×3＝6cm，则AF＝BC＋DE＝14cm，又由AB＝6cm，则甲中的梯形面积为AB×AF－CD×DE＝6×14－4×6＝60（cm2）。故题图甲中的图形面积为60cm2；（4）根据题意，动点P共运动了BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝（BC＋DE）＋（CD＋EF）＋FA＝14＋6＋14＝34（cm），其速度是2cm/秒，34÷2＝17（秒）。故题图乙中b所表示的数是17。故答案为8cm；24；60cm2；17。10.解：∵等腰三角形CEF，其中底边CF＝8，腰长EF＝5，∴等腰三角形底边上的高线平分底边，即分为两部分都是4，当0＜t≤4时，如图1所示；当4＜t≤5时，如图2所示；当5＜t＜6时，如图3所示。11.解答：（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；（2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点S的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120－75－30＝15（cm/s），即P点速度为30cm/s，Q点速度为15cm/s；（3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，还需要运动120－45＝75（cm），则运动时间为：75÷15＝5（s），画出图象即可；（4）如图1所示，当QP＝PC，此时QC＝BP，即30－30t＝（30－15t），解得：t＝，故当时间t＝s时，△PCQ为等腰三角形，如图2所示，当D、P重合，QD＝QC时，Q为AB中点，则运动时间为：（15＋60＋30）÷15＋1＝8（s），故当时间t＝8s时，△PCQ为等腰三角形。若PC＝CQ故90－30t＝30－15t解得：t＝4则4＋1＝5（S）综上所述：t＝或t＝5或t＝8秒时，△PCQ为等腰三角形。

解析平方根和立方根1.算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。即：如果（x≥0），则。a的算术平方根记为，读作“根号a或二次根号a”，a叫做被开方数，2叫根指数，可以省略，简写为。规定：0的算术平方根是0。（2）性质：①正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。②注意：的双重非负性，即（3）被开方数与算术平方根的关系当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。一般来说，被开方数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，如：＝5，＝50。2.平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。即：如果，那么x叫做a的平方根，表示为，其中a叫做被开方数。（2）性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根。（3）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。注意：①开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义；②乘方与开方互为逆运算。3.立方根（1）定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即：如果，那么叫做的立方根，记作，读作：“三次根号”。其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。（2）性质：①正数有一个正的立方根；②0的立方根是0；③负数有一个负的立方根。注意：任何数都有唯一的立方根。公式：；。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。（3）被开方数与立方根的关系当被开方数扩大时，它的立方根也扩大；当被开方数缩小时，它的立方根也缩小。一般来说，被开方数扩大（或缩小）a倍，立方根扩大（或缩小）倍，如：，。例题1已知：是a＋8的算术平方根，是b－3的立方根，求M＋N的平方根。解析：由算术平方根及立方根的意义可知，a＋b－2＝2①，2a－b＋4＝3②，联立①②解方程组，得：a＝1，b＝3；代入已知条件得：，所以，故M＋N的平方根是。答案：根据题意得：，解得：a＝1，b＝3，把a＝1，b＝3代入M，N得，所以M＋N的平方根是。点拨：正确理解算术平方根和立方根的意义是解决本题的关键。例题2已知，求x＋y的算术平方根与立方根。解析：根据算术平方根和立方根的定义，可知x＋2y＝9①，4x－3y＝－8②，联立①②解方程组，得：x＝1，y＝4，即可求得x＋y的算术平方根与立方根。答案：根据题意得解得：x＝1，y＝4∴，点拨：本题主要考查学生对算术平方根和立方根的应用，正确理解算术平方根和立方根的定义是关键。例题3若一个正数a的两个平方根分别为x＋1和x＋3，求的值。解析：根据一个正数a的两个平方根分别为x＋1和x＋3，可得出x＋1和x＋3互为相反数，可求出x，即可得到a的值，然后代入即可得出的值。答案：根据题意得x＋1＋x＋3＝0，解得x＝－2，则x＋1＝－1，x＋3＝1，所以a＝1，即点拨：本题考查了平方根的定义，知道一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。都具有非负性，这个性质是我们解题的一个重要工具，巧妙的运用这个非负性，往往能起到至关重要的作用。例题已知，则求m－n的值。解析：根据确定m的范围，从而去绝对值符号，整理后，根据算术平方根和平方的非负性求出的值。答案：∵，且∴，∴即，解得，。点拨：此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，根据题意得出n，m的值是解决问题的关键。（答题时间：30分钟）1.的平方根是（）A.3 B. C. D.2.计算的结果是（）A. B. C. D.33.下列各式中，正确的是（）A. B. C. D.**4.若＝0，则＝________。*5.一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是_______。6.已知（2a－1）的平方根是，（3a＋b－1）的平方根是，求a＋2b的平方根。*7.若2m－4与3m－1是同一个数的两个平方根，求m的值。*8.已知实数x、y满足，则x＋y的值为（）A.－2 B.2 C.4 D.－4**9.已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A.m>6 B.m<6 C.m>－6 D.m<－6*10.若与互为相反数，则x＋y的值为（）A.3 B.9 C.12 D.27**11.设a、b、c都是实数，且满足，求代数式的值。**12.已知实数x，y满足，求代数式的值。

1.D解析：因为，所以就是求3的平方根，为。2.D解析：一个数的立方根只有一个，。3.B解析：A.，故错误；B.，故正确；C.，故错误；D.3，故错误。4.1解析：∵，∴，解得a＝1，，。5.2解析：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以可知（2a－2）＋（a－4）＝0，解得：a＝2。6.解：∵2a－1的平方根为，3a＋b－1的平方根为，∴2a－1＝9，3a＋b－1＝16，解得：a＝5，b＝2，∴a＋2b＝5＋4＝9，∴a＋2b的平方根为7.解：由题意得：2m－4＝－（3m－1），解得m＝18.A解析：∵，∴x－1＝0，y＋3＝0，解得：x＝1，y＝－3，即x＋y＝－2。9.A解析：∵，∴x＋2＝0，3x＋y＋m＝0，∴x＝－2，y＝6－m，又∵y是负数，∴6－m<0，即m>6。10.D解析：∵与互为相反数，∴＋＝0又∵，，∴得，解得：x＝15，y＝12，即x＋y＝2711.解：∵，∴2－a＝0，，c＋8＝0，∴a＝2，b＝4，c＝－8，12.解：∵，∴x－5＝0，y＋4＝0，解得：x＝5，y＝－4∴＝1

平方根与立方根的综合运用平方根和立方根的区别与联系：平方根立方根定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。其中正数a的正的平方根称算术平方根。如果一个数的立方等于a，那么这个数就称为a的立方根，例如：x的立方＝a，x就是a的立方根。性质（1）正数的平方根都有两个，它们互为相反数。（2）0的平方根是它本身。（3）负数没有平方根。（1）任何数都有立方根，且都只有一个立方根。（2）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。个数有2个，并且互为相反数（0的只有一个）。只有唯一一个取值范围非负数所有实数表示方法记为“”读作“根号a”，其中叫被开方数，2叫根指数，通常省略不写。例如：±表示9的平方根，表示是9的算术平方根。记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根。运算方式开方运算，是乘方运算的逆运算，可以通过平方来检验。开方运算，是乘方运算的逆运算，可以通过立方来检验。例题1的立方根是（）A.－8 B.－4 C.－2 D.不存在解析：先根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义进行计算。答案：解：∵－＝－8，∴－的立方根是－2。故选C。点拨：本题考查了立方根的定义、算术平方根的定义，先化简－是解题的关键。例题2（高淳一模）在①2的平方根是；②2的平方根是±；③2的立方根是；④2的立方根是±中，正确的结论有几个（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：根据立方根、平方根的定义分别求出2的平方根与立方根，则可求得答案。答案：解：∵2的平方根是±，2的立方根是，∴②③正确，①④错误；∴正确的结论有2个。故选B。点拨：此题主要考查了平方根与立方根的定义和性质。注意熟记定义是解此题的关键。满分训练判断下列各式是否正确成立。（1）＝2（2）＝3•（3）＝4（4）＝5判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论。解析：经过对上述式子的计算，可得出式子均正确，故可得出结论为＝n。答案：解：能。由已知（1）＝2（2）＝3•（3）＝4（4）＝5经观察发现，上述的等式均满足这样的规律：＝n，故推广后可得＝n。点拨：本题要求学生具有一定的观察能力和总结规律的能力。1.如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（）A.±1 B.0 C.1 D.0和12.如果是数a的立方根，－是b的一个平方根，则a10×（－b）9等于（）A.2 B.－2 C.1 D.13.要使，则a的取值范围是（）A. B. C. D.任意数4.下列说法：（1）1的平方根是1；（2）－1的平方根是－1；（3）0的平方根是0；（4）1是1的平方根；（5）只有正数才有立方根。其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.（黄冈）下列说法中正确的是（）A.是一个无理数B.函数的自变量x的取值范围是x＞1C.8的立方根是±2D.若点P（－2，a）和点Q（b，－3）关于x轴对称，则a＋b的值为56.一个自然数a的算术平方根为x，则a＋1的立方根是（）A. B. C. D. 7.若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根为____________。8.已知x＝是M的立方根，是x的相反数，且M＝3a－7，那么x的平方根是______。9.的平方根是____________；（－5）2的算术平方根是____________。10.一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，求这个数。11.已知：x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根。12.王老师有两个棱长为40cm的正方体纸箱，都装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的正方体木箱中，正好装满，那么这个木箱的棱长大约是多少？想想看。（结果精确到0.01cm）

1.B解析：根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是0。所以，0的平方根和立方根相同。故选B。2.B解析：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的性质符号相同。先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入所求代数式中计算即可求解。由题意得，a＝－2，b＝所以a10×（－b）9＝（－2）10×（－）9＝－23.C解析：此题主要考查开立方。求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的符号相同。由立方根的定义可知，此时根式的值应为4－a，再由题意可得a－4＝4－a，由此即可求出a的值。故选C。4.B解析：此题主要考查了平方根的定义，注意：一个非负数的平方根有两个，一正一负。正值为算术平方根。（1）根据平方根的定义即可判定；1的平方根是±1，故说法错误；（2）根据平方根的定义即可判定；－1的平方根是－1，负数没有平方根，故说法错误；（3）根据平方根的定义即可判定；0的平方根是0，故说法正确；（4）根据平方根的定义即可判定；1是1的平方根，故说法正确；（5）利用立方根的定义分析即可判定。只有正数才有立方根，不对，负数也有立方根，故说法错误。故选B。5.B解析：判断一个数是否是无理数，应先化简后判断；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不等于0；掌握立方根的性质和关于x轴对称的两点的坐标之间的关系。A.＝2，是一个有理数，故A错误；C.正数有一个正的立方根，故C错误；D.两点若关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，得a＝3，b＝－2，则a＋b＝1，故D错误；B.根据二次根式和分式有意义的条件得x＞1，故B正确；故选B。6.D解析：此题考查了立方根及算术平方根的知识，关键是根据这个数的算术平方根表示出这个数，难度一般。根据这个数的算术平方根可得出这个数a，继而可得出下一个a＋1的立方根。由题意得这个数为：x2，故a＋1为：x2＋1，a＋1的立方根为：，故选D。7.4解析：此题主要考查了立方根、平方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。∵（±8）2＝64，∴64的立方根为4。故答案：4。8.±解析：由于x＝是M的立方根，所以a＋b＝3①，而是x的相反数，所以M＝－（b－6），而M＝3a－7，代入M＝－（b－6），得3a－7＝－（b－6）②，联立①②解方程组即可求出a、b，然后就可以求出x的平方根。∵x＝是M的立方根，∴a＋b＝3①，而是x的相反数，∴M＝－（b－6），而M＝3a－7，代入M＝－（b－6），得3a－7＝－（b－6）②，联立①②得：解之得：，∴M＝3a－7＝8，∴x＝＝2，∴x的平方根是±。故答案为：±9.±，5解析：根据立方根的定义求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可求解；先求出（－5）2的值是25，再根据算术平方根的定义进行计算。∵73＝343，∴＝7，∴的平方根是±；∵（－5）2＝25，又52＝25，∴（－5）2的算术平方根是5。故答案为：±，5。10.0或64解：设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可。设这个数为x，则，∴＝，∴，。故这个数是0或64。11.x2＋y2的算术平方根为10解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可。解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6，∵2x＋y＋7的立方根是3∴2x＋y＋7＝27把x的值代入解得：y＝8，∴x2＋y2的算术平方根为10。12.50.40cm解析：此题主要考查了立方根的定义。解此题的关键是要理解改变前后体积不变，还应掌握正方体的体积公式。由于新制的正方体木箱的体积＝2个原来的正方体木箱的体积，根据正方体的体积公式可以列出方程求解即可。解：设这个木箱的棱长为xcm。依题意得x3＝2×403，解得。答：这个木箱的棱长大约是50.40cm。

平行四边形性质专题一、平行四边形的性质1.平行四边形的性质平行四边形对边相等，如：AD＝CB，AB＝CD；平行四边形对角相等，如：∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD；平行四边形对角线互相平分，如：AO＝CO，BO＝DO。2.扩展性质平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的四个小三角形，如：＝＝；平行四边形对角线把平行四边形分成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差，如：（c表示周长）；平行四边形对角线的一半和大于任意一边长，如：；过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分。二、平行四边形的面积法使用①如图也就是，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。如图：平行四边形ABCD与平行四边形EBCF有公共边BC，则。拓展知识：两条平行线间的距离处处相等。总结：（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。（2）平行四边形中对角线是常用辅助线。例题1如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（）A.4 B.3 C. D.2解析：根据平行四边形性质得出AB＝DC，AD∥BC，推出∠DEC＝∠BCE，求出∠DEC＝∠DCE，推出DE＝DC＝AB，得出AD＝2DE即可。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵AD＝2AB＝2CD，CD＝DE，∴AD＝2DE，∴AE＝DE＝3，∴DC＝AB＝DE＝3，故选B。点拨：本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE＝AE＝DC。例题2如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F。下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABE＝S△CDE；⑤S△ABE＝S△CEF。其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.①②⑤ D.①③④解析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，又因为AE平分∠BAD，可得∠BAE＝∠DAE，所以可得∠BAE＝∠BEA，得AB＝BE，由AB＝AE，得到△ABE是等边三角形，则∠ABE＝∠EAD＝60°，所以△ABC≌△EAD（SAS）；因为△FCD与△ABD等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），所以S△FCD＝S△ABD，又因为△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC＝S△DEC，所以S△ABE＝S△CEF。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAD＝∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵AB＝AE，BC＝AD，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确。∵AD与AF不一定相等，∴③不一定正确；∵BE不一定等于CE，∴④不一定正确。故选C。点拨：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质。此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析。平行四边形的面积问题例题如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连接AC、CE，使AB＝AC。（1）求证：△BAD≌△ACE；（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积。解析：（1）根据平行四边形的性质得出，再利用全等三角形的判定方法得出即可；（2）首先根据勾股定理得出BG＝x，进而利用BG－DG＝BD求出AG的长，进而得出平行四边形ABDE的面积。答案：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，AE＝BD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠B，在△DBA和△EAC中，，∴△DBA≌△EAC（SAS）；（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G。设AG＝x，在Rt△AGD中，∵∠ADC＝45°，∴AG＝DG＝x，在Rt△AGB中，∵∠B＝30°，∴BG＝x，又∵BD＝10。∴BG－DG＝BD，即x−x＝10，解得AG＝x＝＝5＋5，∴S平行四边形ABDE＝BD•AG＝10×（5＋5）＝50＋50。平行四边形中的折叠例题如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边DC、AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B、C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG、B′G。求证：（1）∠1＝∠2；（2）DG＝B′G。解析：（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2＝∠FEC，由折叠得出∠1＝∠FEC＝∠2，即可得出答案；（2）求出EG＝B′G，推出∠DEG＝∠EGF，由折叠求出∠B′FG＝∠EGF，求出DE＝B′F，再证△DEG≌△B′FG即可。答案：证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2＝∠FEC，由折叠得：∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2，∴EG＝GF，∵AB∥DC，∴∠DEG＝∠EGF，由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG＝∠EGF，∴∠＝∠，∵DE＝BF＝B′F，∴DE＝B′F，在△DEG和△中，∴△DEG≌△B′FG（SAS），∴DG＝B′G。（答题时间：45分钟）一、选择题1.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A.18 B.28 C.36 D.462.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5*3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H。则下列结论：①AG平分∠DAB，②CH＝DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH＝S四边形ABCH。其中正确的有（）A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③**4.如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）A.3：4 B.:2 C.:2 D.2:**5.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G。若使EF＝AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A.∠ABC＝60° B.AB：BC＝1：4 C.AB：BC＝5：2 D.AB：BC＝5：8**6.如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边△；④CG⊥AE。则四个结论一定正确的是（）A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④二、填空题*7.如图，过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM