内蒙古自治区赤峰市巴林右旗索博力嘎苏木中学高二数学理下学期期末试题含解析

内蒙古自治区赤峰市巴林右旗索博力嘎苏木中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f(x)＝(a＞0)在[1,+∞)上的最大值为，则a的值为()A.＋1 B. C. D.－1参考答案：D【分析】先由题，对函数进行求导，讨论a的取值研究在[1，＋∞]的最值，反解求得a的值.【详解】，当x＞或时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，若时，当x＝时取最大值，此时f(x)＝＜1，不合题意．若时，此时f(x)max＝f(1)＝－1，故选：D.【点睛】本题考查了导函数的应用，理解单调性和极值以及掌握好分类讨论是解题关键，属于中档题.2.下列四个选项中正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，过点F1的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a，可求出在△AF1B的周长，则第三边的长度等于周长减另两边的和．【解答】解：∵A，B两点在椭圆+=1上，∴|AF1|+|AF2|=8，|BF1|+|BF2|=8∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16∴|AF1|+|BF1|+|AB|=16∵在△AF1B中，有两边之和是10，∴第三边的长度为16﹣10=6故选：D．4.“a=1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C5.设函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd∈（0，1）和命题q：a+b+c+d∈[e+e﹣1﹣2，e2+e﹣2﹣2）真假的判断，正确的是（）A．p假q真 B．p假q假 C．p真q真 D．p真q假参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，根据a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），令a＜b＜c＜d，根据对数的运算性质，及c，d的取值范围得到abcd的取值范围，再利用对勾函数的单调性求出a+b+c+d的范围得答案．【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，不妨设a＜b＜c＜d，图中实线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈（﹣2，﹣1]，则a，b是x2+2x﹣m﹣1=0的两根，∴a+b=﹣2，ab=﹣m﹣1，∴ab∈[0，1），且lnc=m，lnd=﹣m，∴ln（cd）=0，∴cd=1，∴abcd∈[0，1），故①正确；由图可知，c∈（]，又∵cd=1，a+b=﹣2，∴a+b+c+d=c+﹣2，在（，]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e+﹣2，e2+﹣2），故②正确．∴p真q真．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，是中档题．6.已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x)，且(a+b)⊥a，则x=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2、a+1、c成等差数列，则

:等于

A．2:1

B．:1

C．1:1

D．1:2参考答案：B略8.已知双曲线的渐近线为，且焦距为10，则双曲线标准方程是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D9.过椭圆内的一点的弦，恰好被点平分，则这条弦所在的直线方程是

(

)（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A10.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若抛物线

=2（>0）上一点M到准线和到对称轴的距离分别是10和6，则该抛物线的方程是_____参考答案：

=4或

=3612.若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[-2,4]【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．【解答】解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[-2,4]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．13.若不等式在上恒成立，则的取值范围是

参考答案：略14.二次方程,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a的取值范围是_______________参考答案：（－1,0）15.如图，F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°，得c2=7a2，则．故答案为：．16.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用线面垂直的判定与性质定理、圆的性质即可得出．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵AE?平面PAC．∴BC⊥AE．因此①正确．④由①可知：AE⊥BC，又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC．因此④正确．②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．因此②正确．③AF⊥BC不正确；用反证法证明：假设AF⊥BC，又AF⊥PB，PB∩BC=B．∴AF⊥平面PBC．这与AE⊥平面PBC相矛盾．因此假设不成立．故③不正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、圆的性质，属于中档题．17.若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=．参考答案：R（S1+S2+S3+S4）【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆过点，且与圆关于直线对称。（1）求圆的方程。（2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，且直线的倾斜角互补，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由。

（1）故根据对称，可求得圆C的方程为。（2）设两直线的倾斜角分别为a和b，k1=tana;k2=tanb因为a+b=180°，由正切的性质，k1+k2=0不妨设第一条直线斜率是k即PA:y=kx+1-k则PB:y=-kx+k+1让两直线分别于圆联立：PA与圆相联立,化简得因式分解得：(x-1)[(k^2+1)x-(k^2-2k-1)]=0所以A的横坐标为,代入PA直线，解得A的坐标为,同理联立PB与圆，解出B的坐标求得AB的斜率,所以OP‖AB参考答案：略19.如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．（Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；（Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D﹣CE﹣M的大小为时，求出AE的长．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．利用正方形的性质可得AF=FM，利用三角形的中位线定理可得：EF∥BM．利用线面平行的判定定理可得：BM∥平面NDE．（II）由DM⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得：DM⊥平面ABCD，DM⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则，解得．取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．根据二面角D﹣CE﹣M的大小为时，可得=，解出b即可．【解答】（I）证明：如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．∵四边形ADMN是正方形，∴AF=FM，又AE=EB，∴EF∥BM．∵BM?平面NDE，EF?平面NDE，∴BM∥平面NDE．（II）解：由DM⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，∴DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DC，又AD⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3）．=（3，b﹣6，0），=（0，﹣6，3）．设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，则z=2，x=．∴=．取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．∵二面角D﹣CE﹣M的大小为时，∴==，解得b=（0≤b≤6）．∴二面角D﹣CE﹣M的大小为时，AE=．20.（12分）(1)求边AC所在的直线方程；(2)求AC边上的中线BD所在的直线的方程。参考答案：(1)直线AC的方程为x-2y+8=0(2)设D点的坐标为（x,y）由中点坐标公式可得x=-4，y=2.容易得BD所在直线的方程为2x-y+10=021.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点．

（Ⅰ）若CP＝CQ，且△CPQ的面积为，求∠BCP的大小；（Ⅱ）若△APQ的周长为2，求∠PCQ的大小．参