201X-201X年考研数学二真题及答案解析

..精选实用文档..精选2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，假设，均是比高阶的无穷小，那么的取值范围是()(A) (B) (C) (D)(2)以下曲线中有渐近线的是()(A) (B)(C) (D)(3)设函数具有2阶导数，，那么在区间上〔〕(A)当时， (B)当时，(C)当时， (D)当时，(4)曲线上对应于的点处的曲率半径是〔〕(A) (B) (C) (D)(5)设函数，假设，那么〔〕(A) (B) (C) (D)(6)设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，那么〔〕..精选实用文档..精选(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D)的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得(7)行列式〔〕(A) (B)(C) (D)(8)设均为3维向量，那么对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的〔〕(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件二、填空题：9答题纸指定位置上.((9)__________.(10)设是周期为的可导奇函数，且，那么__________.(11)设是由方程确定的函数，那么__________.(12)曲线的极坐标方程是，那么在点处的切线的直角坐标方程是__________.(13)一根长为1的细棒位于轴的区间上,假设其线密度,那么该细棒的质心坐标..精选实用文档..精选__________.(14)设二次型的负惯性指数为1，那么的取值范围为_______.三、解答题：答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)求极限(16)(此题总分值10分)函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.(17)(此题总分值10分)设平面区域计算.(18)(此题总分值10分)设函数具有二阶连续导数，满足，假设，求的表达式.(19)(此题总分值10分)设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：(I),(II).(20)(此题总分值11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限..精选实用文档..精选.(21)(此题总分值11分)函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.(22)(此题总分值11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个根底解系；(II)求满足的所有矩阵.(23)(此题总分值11分)证明阶矩阵与相似.2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上...精选实用文档..精选(1)当时，假设，均是比高阶的无穷小，那么的取值范围是()(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由定义所以，故.当时，是比的高阶无穷小，所以，即.应选B(2)以下曲线中有渐近线的是()(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】关于C选项：.，所以存在斜渐近线.应选C(3)设函数具有2阶导数，，那么在区间上〔〕(A)当时， (B)当时，(C)当时， (D)当时，【答案】D【解析】令，那么,,.假设，那么，在上为凸的...精选实用文档..精选又，所以当时，，从而.应选D.(4)曲线上对应于的点处的曲率半径是〔〕(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】应选C(5)设函数，假设，那么〔〕(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】因为，所以应选D.(6)设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足..精选实用文档..精选及，那么〔〕(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D)的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得【答案】A【解析】记那么,所以在内无极值，那么极值在边界处取得.应选A(7)行列式()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列.(8)设均为三维向量，那么对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的()..精选实用文档..精选(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】.记，，.假设线性无关，那么，故线性无关.举反例.令，那么线性无关，但此时却线性相关.综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件.应选A二、填空题：9答题纸指定位置上.(9)__________.【答案】【解析】(10)设是周期为的可导奇函数，且，那么__________.【答案】1【解析】且为偶函数那么又且为奇函数，故..精选实用文档..精选又的周期为4，(11)设是由方程确定的函数，那么__________.【答案】【解析】对方程两边同时对求偏导当时,故故(12)曲线的极坐标方程是，那么在点处的切线的直角坐标方程是__________.【答案】【解析】由直角坐标和极坐标的关系，于是对应于切线斜率..精选实用文档..精选所以切线方程为即(13)一根长为1的细棒位于轴的区间上,假设其线密度,那么该细棒的质心坐标__________.【答案】【解析】质心横坐标(13)设二次型的负惯性指数是1，那么的取值范围_________.【答案】【解析】配方法：由于二次型负惯性指数为1，所以，故.三、解答题：答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)求极限..精选实用文档..精选【解析】.(16)(此题总分值10分)函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.【解析】由，得………=1\*GB3①此时上面方程为变量可别离方程，解的通解为由得又由=1\*GB3①可得当时，，且有：所以在处取得极小值，在处取得极大值即：的极大值为1，极小值为0.(17)(此题总分值10分)设平面区域计算.【解析】D关于对称，满足轮换对称性，那么：..精选实用文档..精选(18)(此题总分值10分)设函数具有二阶连续导数，满足，假设，求的表达式.【解析】由，由，代入得，..精选实用文档..精选即，令得特征方程得齐次方程通解设特解，代入方程得，特解那么原方程通解为由，得,那么.(19)(此题总分值10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：〔I〕,〔II〕.【解析】〔I〕由积分中值定理，〔II〕直接由，得到〔II〕令..精选实用文档..精选由〔I〕知又由于单增，所以单调不减，取，得，即〔II〕成立.(20)(此题总分值11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.【解析】(21)(此题总分值11分)函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为,所以其中为待定函数...精选实用文档..精选又因为那么，从而.令可得，当时，或，从而所求的体积为(22)(此题总分值11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个根底解系；(II)求满足的所有矩阵.【解析】,(I)的根底解系为(II)的通解为的通解为的通解为..精选实用文档..精选〔为任意常数〕(23)(此题总分值11分)证明阶矩阵与相似.【解析】，，那么的特征值为，(重).属于的特征向量为；，故根底解系有个线性无关的解向量，即属于有个线性无关的特征向量；故相似于对角阵.的特征值为，(重)，同理属于有个线性无关的特征向量，故相似于对角阵.由相似关系的传递性，相似于...精选实用文档..精选2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析选择题：〔1~8小题,每题4分，共32分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。〕(1)以下反常积分中收敛的是(A)2+∞1(C)2+∞1【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。2+∞2+∞2+∞2=2因此(D)是收敛的。综上所述，此题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数fx=limt→0(1+(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞〞型极限，直接有..精选实用文档..精选=efx在x且limx→0fx=limx→0ex综上所述，此题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数fx=xα(A)α-β(C)α-β【答案】A【解析】易求出f'再有于是，f'(0)存在⟺α>1当α>1时，limx→0β因此，f'x在x=0连续⟺α-综上所述，此题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其 f二阶导函数f''那么曲线y=f(x)的拐点个数为 A O B (A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C..精选实用文档..精选【解析】f(x)在(-∞,+∞)内连续，除点x=0外处处二阶可导。y=f(x)的可疑拐点是f''f''x的零点有两个，如上图所示，A点两侧f''(x)恒正，对应的点不是y=fx拐点，B点两侧虽然f''0不存在，但点x=0两侧f''(x)异号，因而(综上所述，此题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数f(μ,ν)满足fx+y,yx=(A)12,0(C)-12【答案】D【解析】先求出f令μ于是f因此∂f∂f综上所述，此题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=(A)π..精选实用文档..精选(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x围成的平面区域，作极坐标变换，将DD的极坐标表示为π因此D综上所述，此题正确答案是B。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=11112a14a2,(A)a∉Ω,d(C)a∈Ω,d【答案】D【解析】Ax=b有无穷多解⇔rA是一个范德蒙德行列式，值为a-1(a-2),如果a∉Ω，A≠0，rA=3，类似的，假设d∉Ω，那么rAb=当a∈Ω,d∈Ω时，rAb综上所述，此题正确答案是D。【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。(8)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x..精选实用文档..精选x=Qy(A)2y1(C)2y1【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,那么P可见e1,e2,e3都是Q因此在正交变换x=Qy下的标准二次型为综上所述，此题正确答案是A。【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。二、填空题：(9~14)小题，每题4分，共24分。(9)设x=acrtant,【答案】48【解析】由参数式求导法dy再由复合函数求导法那么得d2y=12t(1+综上所述，此题正确答案是48。【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导..精选实用文档..精选(10)函数fx=【答案】n【解析】解法1用求函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。f其中Cnk=ff因此f解法2利用泰勒展开f=由于泰勒展开系数的唯一性，得ln可得f综上所述，此题正确答案是n【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式(11)设函数fx连续，φx=0xf【答案】2【解析】改写φxφ..精选实用文档..精选由φ1=1=01可得f综上所述，此题正确答案是2【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用(12)设函数y=yx是微分方程y''+yx取得极值3，那么y【答案】e【解析】求yxy由特征方程λ2+λ是得通解y=又C综上所述，此题正确答案是e【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程(13)假设函数z=z(x,y)由方程ed【答案】-【解析】先求z(0,0)，在原方程中令x=0,y=0e3z=1方程两边同时求全微分得e令x=0,y=0dx+2dy+3dzd综上所述，此题正确答案是-【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，B=A2-A+E..精选实用文档..精选阶单位矩阵，那么行列式|B|=【答案】21【解析】A的特征值为2,-2,1,那么B的特征值对应为3,7,1所以|B|=21【考点】线性代数—行列式—行列式计算线性代数—矩阵—矩阵的特征值三、解答题：15~23小题，共94分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)设函数fx=x+aln1+x+bxsinx,gx=kx【解析】利用泰勒公式f==当x⟶0时，fx~【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式(16)设A>0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤围成的平面区域，V1,V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积。假设【解析】V由A>0可得V=-2πA=-2πA=2πA又V1=..精选实用文档..精选【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用(17)函数ff求fx,y的极值【解析】由fxy''f又fxe得φxf对x积分得f又f0,y=所以f于是fy'x,yfyy''令fx'A=fxx''C=f由于B2-AC【考点】高等数学—多元函数微分学—二元函数的无条件极值(18)计算二重积分Dx(x+y)dxdy其中D={【解析】..精选实用文档..精选因为区域D关于y轴对称，所以Dx原式=D=2=2令x=01x22-又0所以二重积分=π【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分的计算(19)函数fx=x【解析】f'x=-1+x当x<12时，f当x>12时，f因为f1=0，所以fx又f12<f1=0,综上可知，fx有且仅有两个零点【考点】高等