上海震旦中学2021年高二数学理联考试卷含解析

上海震旦中学2021年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（多选题）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（

）A.答对0题和答对3题的概率相同，都为B.答对1题的概率为C.答对2题的概率为D.合格的概率为参考答案：CD【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.【详解】选项，答对0题和3题的概率为，所以选项错误；选项，答对1题的概率为所以选项错误；选项，答对2题的概率为，所以选项正确；选项，至少答对2题的概率为，所以选项正确.故选:CD.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.2.某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（） A．36种 B．18种 C．27种 D．24种参考答案：C【考点】排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论． 【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：分4种情况讨论， ①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况， ②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况， ③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况， 则共有6+12+6+3=27种乘船方法， 故选C． 【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式． 3.从编号为1~60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是（

）.1，3，4，7，9

.3，13，23，33，43

.10，15，25，35，45

.5，17，29，41，53参考答案：D4.集合（其中是虚数单位）中元素的个数是（

）A．

B．

C．

D．无穷多个参考答案：C5.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有

A、100种

B、400种

C、4800种

D、2400种参考答案：D略6.已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.已知，，，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据条件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，从而得出a，b，c大小关系．【详解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故选：A．【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．8.“命题P：对任何一个数x∈R，2x2﹣1＞0”的否定是（）A．?x∈R，2x2﹣1≤0 B．?x?R，2x2﹣1≤0 C．?x∈R，2x2﹣1≤0 D．?x?R，2x2﹣1≤0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，“命题P：对任何一个数x∈R，2x2﹣1＞0”的否定是：?x∈R，2x2﹣1≤0．故选：C．9.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）A．4 B． C．4 D．参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．10.的值等于

(B)

(C)

(D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C:(x+1)2+y2=16及点A（1，0），Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M则点M的轨迹方程为____________.参考答案：略12.（原创）_____________.参考答案：13.已知是双曲线的左焦点，定点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为

参考答案：914.为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：∵函数y=sin3x+cos3x=cos（3x﹣）=cos[3（x﹣）]，∴只需将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位，得到y=cos[3（x﹣+）]=cos3x的图象．故答案为：．15.若复数，则__________．参考答案：【分析】化简复数，再计算复数模.【详解】故答案为【点睛】本题考查了复数的计算和模，属于基础题型.16.将函数f（x）=2sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为

．参考答案：考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移得到平移后的图象的解析式，再根据图象关于y轴对称可知平移后的函数为偶函数，即函数y=2sin（2x﹣+φ）为偶函数，由此可得﹣+φ=kπ+，k∈Z．即可求出φ的最小正值．解答： 解：把函数y=2sin（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到图象的函数解析式为：y=2sin[2（x﹣）+φ]=2sin（2x﹣+φ）．∵得到的图象关于y轴对称，∴函数y=2sin（2x﹣+φ）为偶函数．则﹣+φ=kπ+，k∈Z．即φ=kπ+，k∈Z．取k=0时，得φ的最小正值为．故答案为：．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了三角函数中诱导公式的应用，关键是明确函数的奇偶性与图象之间的关系，属于中档题．17.设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的

条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．参考答案：必要不充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由q?p，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：∵p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，由q?p，反之不成立．∴p是q成立的必要不充分条件；故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数，且曲线斜率最小的切线与直线平行.求：（I）的值；（II）函数的单调区间.参考答案：解：（1）----------3分--------6分（2）由（1）知：---------9分所以，增区间为（-∞,-1）和（3，+∞）；减区间为（-1,3）-------12分略19.某商品要了解年广告费x（单位：万元）对年利润y（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年利润数据作了初步整理，得到下面的表格：广告费x2345年利润y26394954

（Ⅰ）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果预报广告费用为6万元时的年利润.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考答案：（Ⅰ），，由表中数据与附中公式，得，.所以回归方程为.（Ⅱ）回归方程为.时，万元.20.设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{an}的通项公式为an=11﹣2n（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．21.如图直三棱柱ABC﹣A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB=BC=3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．（1）求证：无论E在何处，总有CB′⊥C′E；（2）当三棱锥B﹣EB′F的体积取得最大值时，求AE的长度．（3）在（2）的条件下，求异面直线A′F与AC所成角．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【专题】综合题；转化思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）先由线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直的性质证明即可．（2）利用函数求最值的方法，求解最值时符合的条件，确定E，F是AB，BC的中点，再求解．（3）根据异面直线所成角的定义进行求解即可．【解答】解：（1）连接AC′、BC′，∵BB'C'C是正方形，∴B′C⊥BC′又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C∴B′C⊥AB，BC′∩AB=B∴B′C⊥平面ABC′，又∵C′E?平面ABC′，∴B′C⊥C′E（2）设AE=BF=m，∵直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∴BB′为三棱锥B﹣EB′F的高，底面△BEF为直角三角形，∴三棱椎B′﹣EBF的体积为．当时取等号，故当，即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，此时△ABC为正三角形，则AF=3×=（3）由（2）知点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，则EF∥AC，∴∠A′FE为异面直线AC与C′F所成的角；∵，，，∴．【点评】本题考查异面直线所成的以及线面垂直的判定与性质，利用定义法是解决本题的关键．22.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．参考答案：(1)由acosC＋c＝b得sinAcosC＋sinC＝sinB．又sin