数学建模与图论

数学建模与图论

专题板块系列概率统计专题1优化专题2模糊方法及微分方程专题3图论方法专题4图论方法专题一图论的基本概念二最短路与最小生成树三二部图的匹配四网络流ABCD哥尼斯堡七桥示意图问题1:七桥问题能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而回到出发点？图论的基本概念七桥问题模拟图:ABDC欧拉指出：如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则从任一陆地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出发地。图论的基本概念问题2:哈密顿圈（环球旅行游戏）十二面体的20个顶点代表世界上20个城市，能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个城市恰好一次最后回到出发点？图论的基本概念问题3:四色问题对任何一张地图进行着色，两个共同边界的国家染不同的颜色，则只需要四种颜色就够了。德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日）

我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子（图1）。……图论的基本概念问题4(关键路径问题):

一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小至组装一台机床,一架电视机,都要包括许多工序.这些工序相互约束,只有在某些工序完成之后,一个工序才能开始.即它们之间存在完成的先后次序关系,一般认为这些关系是预知的,而且也能够预计完成每个工序所需要的时间.

这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才能够完成整个工程项目,影响工程进度的要害工序是哪几个？图论的基本概念定义1一个有序二元组(V,E)称为一个图,记为G=(V,E),其中①V或V(G)称为G的顶点集,V≠Φ,其元素称为顶点或结点,简称点;②

E或E(G)称为G的边集,其元素称为边,它联结V中的两个点,如果这两个点是无序的,则称该边为无向边,否则,称为有向边.图论的基本概念如果V=尾{v1,v2,…,vn}是有他限非驻空点桂集,则称G为有限类图或n阶图.如果E的每附一条抱边都牵是无留向边,则称G为无向优图;如果E的每倚一条挥边都咏是有都向边,则称G为有向牙图;否则,称G为混合枝图.记E=嫌{e1,e2,…,em}(ek=vivj).图论风的基修本概智念对于颤一个耀图G=伏(V,E),人们迹常用逐图形韵来表荡示它,称其赵为图解.凡是转有向聪边,在图继解上挣都用蜂箭头她标明笛其方俘向.称点vi,vj为边vivj的端点.有边狸联结政的两词个点罚称为相邻暑顶点,有一程个公锣共端虏点的遵边称从为相邻谈边.边和谁它的胸端点感称为互相肠关联.有向篮图中叉的关状联又塞分出关婶联和入关流联。图论临的基闯本概足念常用d(v)表示墙图G中与粮顶点v关联领的边漏的数角目,d(v)称为煮顶点v的度数.与顶绩点v出关联纸的边欲的数哈目称慈为出度，记晨作d+(v),与顶着点v入关联辞的边压的数来目称尚为入度，记牧作d-(v)。用N(v)表示烧图G中所册有与辫顶点v相邻康的顶赶点的泥集合.图论裤的基拌本概援念任意屯两顶疲点都陈相临图的简液单图贴称为完全除图.有n个顶晌点的辱完全海图记畏为Kn。几个念基本趴定理洞：图论拦的基迷本概事念用图眨论思型想求鹿解以迷下各嫩题例1、一标摆渡认人欲卖将一婶只狼浸，一捉头羊扬，一本篮菜塌从河西线渡过奖河到夺河东垄，由盒于船务小，忧一次愁只能残带一背物过河降，并号且，猎狼与刻羊，升羊与梦菜不姨能独偷处，嫩给出常渡河方敲法。图论饶的基蹲本概搜念解：用四员维0-梯1向量犹表示服（人援，狼窑，羊餐，菜均）的骑在西洗岸状态冰，（阁在西映岸则亭分量杏取1，否求则取0.）共24=1露6种状舞态，由题淹设，左状态吃（0,惩1,茎1,或0）,(贴0,隙0,降1,险1)皆,(欧0,奴1,托1,碌1)是不允许械的，从而涌对应削状态辉（1,还0,查0,病1），(1黎,1遗,0路,0绿),锻(1嫁,0私,0院,0御)也是不允蛾许的访，图论肃的基瓦本概龄念人在末河西柿：（1,蓬1,吼1,扇1）（1,捞1,旗1,宪0）（1,蜂1,技0,葵1）（1,往0,梨1,似1）（1,坊0,段1,且0）（0,股1,泄0,芬1）（0,吹1,寺0,籍0）（0,葛0,哪1,袭0）（0,血0,蜜0,冲1）（0,帅0,肢0,栽0）人在钓河东论：以十鼠个向量折作为除顶点物，将猜可能谁互相泻转移已的状父态连线痒，则其得10个顶岁点的维偶图违。问题梦：如遇何从纲状态怕（1,绕1,辱1,利1）转佛移到绣（0,淋0,相0,侦0）？方法元：从心（1,慎1,欺1,站1）开陡始，南沿关冈联边昼到达坊没有教到达的相识邻顶氏点，锐到（0,禁0,盖0,仇0）终症止，拌得到挖有向倚图即兰是。图论笋的基稼本概需念例2、考是虑中茅国象棚棋的伙如下晶问题肚：（1）下俭过奇布数盘如棋的躁人数蔬是偶钩数个样。（2）马欠有多挠少种畜跳法岭？（3）马绞跳出肃后又税跳回悉起点捎，证锣明马愚跳了语偶数卫步。（4）红餐方的孟马能编不能无在自塑己一胁方的钉棋盘兵上不核重复的跳池遍每慎一点箭，最汇后跳伟回起枝点？图论斧的基蛇本概耍念例3、证嫁明：趣在任破意6人的拥集会抽上，夏总有3人互犬相认识，伴或总伏有3人互稼相不程认识猎。解：服以顶胶点表天示人咬，以稿边表弃示认显识，栽得6个顶苏点的简惧单图G。问题传：3人互感相认发识即G包含K3为子抵图，3人互侨相不狮认识诊即G包含寄（3,甚0）图多为子飘图。图论毒的基施本概逝念图论鉴的基决本概敢念定义2若将妻图G的每警一条判边e都对业应一旦个实由数F(e),则称F(e)为该按边的权,并称铸图G为赋权侵图(网络),记为G=肃(V,E,F).定义3设G=钩(V,E)是一盾个图,v0,v1,…,vk∈V,且“1≤i≤k,vi－1vi∈E,则称v0v1…vk是G的一碰条通路.图论策的基田本概维念如果芽通路傻中没管有相凝同的饺顶点,则称迁此通糠路为路径,简称路.始点谋和终康点相罪同的漂路称很为圈或回路.定义4顶点u与v称为扬连通汪的，义如果迟存在u-姑v通路快，任轮二顶说点都匆连通尘的图蕉称为连通课图，否刺则，体称为耽不连奋通图渣。极绍大连陷通子目图称谢为连通衫支。图论劲的基醋本概登念定义5连通滴而无里圈的情图称胸为树,常用T表示埋树.树中最长粉路的卷长称筒为树番的高酬。树的亡度为1的顶倘点称岸为树霞叶。其余镰的顶口点称脖为分前枝点袖。树眨的边慕称为宵树枝损。设G是有栏向图坊，如腐果G的基眼础图痒是树睡，则青称G是有向陕树，涛也简金称树稀。⑴邻接气矩阵A=修(aij)n×n,例4：写类出右唯图的籍邻接送矩阵刻：解：图的雷矩阵锐表示⑵箩权矩标阵A=散(aij)n×n例5：写哪出右榨图的扩权矩熟阵：解：图的恢矩阵芒表示⑶关联螺矩阵A=离(aij)n×m有向图：无向翻图：图的箱矩阵市表示例6：写足出右村图与使其基区本图的关饲联矩阿阵解：克分别成为：图的赛矩阵溪表示定义1设P(u,v)是赋肉权图G=丸(V,E,F)中从点u到v的路着径,用E(P)表示忠路径P(u,v)中全部边凝的集佳合,记F(P)担=残,则称F(P)为路径P(u,v)的权或长度(距离).定义2若P0(u,v)是G中连贝接u,v的路之径,且对任意屑在G中连掠接u,v的路啦径P(u,v)都有F(P0)≤F(P),则称P0(u,v)是G中连拢接u,v的最短怖路.最短盲路重要弃性质排：若v0v1…vm是G中从v0到vm的最向短路,则对1≤k≤m,v0v1…vk必为G中从v0到vk的最短毕路.即：卡最短师路是帽一条堆路，口且最铸短路绣的任距一段也是氏最短爱路。最短资路例7对下踪蝶面的齐有向县图求圣顶点v0到其余疮顶点索的最短誉路。1445642537最短剧路Di妈jk饰st贵ra算法乐：求尾某一箭顶点颤到其慌余顶烫点的皇最短误路最短港路68－523－374例8：求兼下列隙任意任两点追的最榴短路熔和距边离。最短铃路Fl池oy筹d算法:求任确意两滨顶点娇的最籍短路设A=缎(aij)n×n为赋摔权图G=前(V,E,F)的权佳矩阵,dij表示夕从vi到vj点的错距离,rij表示饼从vi到vj点的捉最短进路中笔一个吐点的嚼编号.①赋初版值.对所眉有i,j,dij=aij,rij=j.k=喂1.转向阿②.②更新dij,rij.对所箩有i,j,若dik+dkj＜dij,则令dij=dik+dkj,rij=k,转向莲③;③终止蛙判断.若k=n终止;否则仔令k=k+警1,转向木②.最短者路线古可由rij得到.最短医路求非息负赋摇权图G中某阳一点同到其纺它各悉点最顾短路看，一岂般用Di符jk委st汁ra标号芹算法椅；Di秧jk害st绪ra标号价算法撞只适赠用于昨全部着权为框非负落情况肃。求非嘱负赋迎权图狠上任岗意两紧点间药的最久短路让，一貌般用Fl厨oyd算法.Fl泉oy无d算法些可以捏适用瓣于有内负权押的情居况，篮还能铜判断宫是否有巡寿负回拳路。这两夹种算堪法均闯适用搏于有阅向赋踢权图.最短磁路由树怨的定废义不仁难知著道,任意图一个聋连通忙的(p,q)图G适当辨去掉q-p+1条边网后,都可供以变屈成树,这棵兆树称坛为图G的生成筒树.设T是图G的一善棵生补成树,用F(T)表示百树T中所纪有边将的权喝数之仇和,F(T)称为克树T的权.一个伯连通夺图G的生非成树陕一般原不止波一棵,图G的所冈有生敞成树昼中权莲数最躁小的随生成垒树称察为图G的最小稳生成公树.最小漏生成湾树64686865505061456054例9：如顽下图G，求最本小生言成树浴：Kr碍us归ka酿l算法请：从尘最小搞边开牢始按怖最小锄权加夺边，有圈赵去掉陵。最小栋生成稿树例10杠(设备杰更新给问题)某企盲业使矩用一席台设攀备,每年泉年初,企业谷都要驶作出划决定,如果丽继续洁使用震旧的,要付刘维修祥费；齐若购号买一猜台新垦设备,要付检购买束费.试制壁定一奇个5年更铜新计职划,使总意支出迷最少.已知校设备连在每云年年娘初的漫购买什费分枪别为11驱,1李1,省1油2,销12湿,1状3.使用腔不同吓时间本设备足所需锹的维摄修费川分别悠为5,案6,堪8,求11饰,1愉8.最小景生成矛树解设bi表示共设备维在第i年年炒初的页购买柿费,ci表示鹅设备煤使用i年后买的维误修费,V={v1,v2,测…馅,v6},点vi表示榆第i年年茄初购浊进一栗台新缓设备,虚设方一个峰点v6表示鲁第5年年极底.E={vivj|辅1≤i＜j≤6}.求v1到v6的最致短路咏问题.最小鸽生成决树由实看际问创题可屯知,设备劲使用冻三年馅后应怨当更脏新,因此南删除荒该图垮中v1到v5,v1到v6,v2到v6的连逝线；财又设施备使湾用一亿年后袍就更题新则翅不划杯算,因此折再删腹除该祖图中v1v2,v2v3,v3v4,v4v5,v5v6五条舱连线定后得苦到从上偷图中忆容易绣得到v1到v6只有敌两条唯路：v1v3v6和v1v4v6.而这忍两条怕路都估是v1到v6的最榴短路.最小找生成妄树例11多阶谁段存谈储问追题某公怨司根驼据市前场情卧况，决预计增某商并品今级后六先个月梢的需要衬量，亿进货阶单价葬与存捧储单宏价如往下月份123456需要（件）607070504540单价（元）800780860860760810存储月份1~22~33~44~55~6存储单价4035352540若当稿月订闪购当蹲月所姜需商刮品不狗附加毯存储持费，股问如港何进货嗽使总遇费用恨最小馒。最小升生成远树称G=杰(X,Y,E)为二部水图.如果X中的烤每个贡点都闯与Y中的浸每个块点邻干接,则称G=缝(X,Y,E)为完备肺二部许图.若F：E→R+,则称G=着(X,Y,E,F)为二部眉赋权拣图.定义1设X,Y都是叔非空堆有限睡顶点陕集,且X∩Y=Φ,二部辫图的功匹配倡及其碧应用定义3若匹喝配M的某膊条边悦与点v关联,则称M饱和点v,并且姜称v是M的饱和夹点,否则尽称v是M的非饱和点.定义4设M是图G的一汉个匹南配,如果G的每舟一个尼点都是M的饱耀和点,则称M是完美惰匹配；如睛果G中没有炭另外方的匹展配M0,使|M0|＞|M|,则称M是最大匹概配.每个桑完美售匹配烘都是勇最大旦匹配,反之蚁不一附定成尤立.二部服图的酿匹配弄及其离应用例16：从判断膛下图怖的匹华配最大明匹配非完金美匹诸配完美歇匹配二部足图的虏匹配匆及其猫应用定义5设M是图G的的甜一个伙匹配,其边功在E\M和M中交宜错出辱现的姓路,称为G的一凤条M–交错颜路.起点和终团点都享不是M的饱副和点受的M–交错曾路,称为M–增广磨路.定理1G的一炉个匹迷配M是最朽大匹装配的充要干条件是G不包县含M–增广蛇路.二部岗图的随匹配巩及其京应用定理2设G=冻(X,Y,E)为二街部图,则①G存在饱和X的每访个点贝的匹捉配的挤充要苏条件联是对任写意S,有|N(S)航|崇≥雄|S|慰.其中,N(S)碧=凉{v|u∈S,v与u相邻}.②G存在爸完美胁匹配怪的充属要条踪蝶件是对任恢意S或S有|N(S)添|≥|S|愈.二部各图的湾匹配镇及其迈应用工作篇安排习问题浩之一给n个工抄作人别员x1,x2,…,xn安排n项工掘作y1,y2,…,yn.n个工邀作人呆员中宁每个阁人能著胜任哥一项排或几寸项工随作,但并不是斑所有丛工作裕人员僚都能染从事砖任何郑一项云工作.比如x1能做y1,y2工作,x2能做y2,y3,y4工作猴等.这样劈燕便提饶出一窜个问勺题,对所辫有的齐工作辈人员瓦能不孟能都扮分配悬一件悟他所壤能胜料任的朴工作锄？二部漂图的代匹配般及其陈应用我们荣构造肾一个歇二部佳图G=却(X,Y,E),这里X=宽{x1,x2,…,xn},Y=排{y1,y2,…,yn},并且鉴当且必仅当葛工作昏人员xi胜任遣工作yj时,xi与yj才相族邻.于是,问题爱转化辉为求口二部逼图的好一个滤完美遭匹配.因为|X|=巩|Y|,所以尊完美醋匹配涉即为龄最大配匹配.二部筑图的或匹配筐及其董应用例17：求剃下图讽完美降匹配Hun妖ga恒ri蚊an算法背：二部闷图的岭匹配现及其渐应用例18：求断下图户的最债大匹绍配。匈亚牌利算吗法：解郑①自取初竖始匹敢配M0={x2y2,x3y3,x5y5}②给X中M0的两浴个非焦饱和暴点x1,x4都给洽以标和号0和标嫩记*(如下程图所写示).00**二部雾图的昆匹配甘及其荷应用例18：求悉下图蜘的最牢大匹轿配。匈亚吹利算橡法：00③去掉x1的标钓记*,将与x1邻接穷的两木个点y2,y3都给旅以标石号1.因为y2,y3都是M0的两膊个饱拐和点,所以犁将它泻们在M0中邻裳接的缺两个欲点x2,x3都给赢以相谜应的祸标号杠和标列记*.**11*23*二部内图的微匹配段及其纲应用例18：求记下图业的最训大匹翁配。匈亚院利算购法：00*11*23*④去掉x2的标错记*,将与x2邻接评且尚珠未给桶标号齿的三岛个点y1,y4,y5都给辜以标猫号2.222二部然图的析匹配酷及其荡应用例18：求当下图题的最爸大匹牢配。匈亚好利算愧法：00*1123*222⑤因为y1是M0的非身饱和阿点,逆向衣返回,直到x1为0为止.于是仁得到M0的增虚广路x1y2x2y1,记P=窜{x1y2,y2x2,x2y1}.取M1=M0⊕P=曾{x1y2,x2y1,x3y3,x5y5},则M1是比M多一平边的蝇匹配.二部后图的冲匹配烛及其拴应用例18：求鸣下图巡寿的最鞭大匹桃配。匈亚场利算谣法：0*⑥再给X中M1的非量饱和羊点x4给以口标号0和标赠记*,然后竖去掉x4的标粪记*,将与x4邻接陪的两托个点y2,y3都给意以标递号4.44二部博图的午匹配赴及其档应用例18：求雾下图浆的最知大匹旧配。匈亚田利算按法：044因为y2,y3都是M1的两拖个饱递和点,所以突将它贿们在M1中邻蜘接的绘两个尸点x1,x3都给总以相晃应的弯标号吴和标贿记*.**23二部遇图的献匹配辜及其肃应用例18：求姓下图堪的最叉大匹守配。匈亚琴利算倾法：044**23⑦去掉x1的标捐记*,因为乓与x1邻接点的两央个点y2,y3都有裁标号4,所以螺去掉x3的标让记*.而与x3邻接称的两司个点y2,y3也都级有标猛号4,此时X中所沃有有仍标号兽的点闹都已牌去掉贪了标翻记*(如下庭图所晌示),因此M1是G的最藏大匹栗配.没有锅完美眉匹配滤。二部也图的陕匹配冠及其禁应用例18：求炭下图域的最稼大匹景配。匈亚姥利算炒法：注意哥到S=以{x1,x3,x4}时，N(乔S)偶={y1,y3,}所以洽没有漆完美般匹配焦。二部吓图的歉匹配吵及其挖应用定义6设G=浸(X,Y,E,F)为完剧备的洲二部进赋权图,若L：X∪Y→R+满足腰：对任钉意x∈X,y∈Y,L(x)雪+L(y)箭≥F(x南y),则称L为G的一坊个可行阔点标厌记,记相蔽应的理生成子图得为GL=导(X,Y,EL,F),这里EL=费{x援y∈E|L(x)吊+L(y)波=F(x忧y)}辩.定理3设L是完闹备的狭二部渔赋权校图G=害(X,Y,E,F)的可注行点片标记,若M*是GL的完调美匹码配,则M*是G的最馒佳匹德配.捷(权数牲最大弄的匹俊配)二部紫图的众匹配霉及其熟应用工作凑安排醉问题劫之二给n个工酒作人位员x1,x2,…,xn安排n项工公作y1,y2,…,yn.如果蜓每个勉工作卧人员缩慧工作价效率雕不同,要求孟工作仿分配途的同凤时考尊虑总效监率最沸高.二部乐图的另匹配齐及其拖应用我们胶构造帮一个纳二部披赋权禽图G=疗(X,Y,E,F),这里X=猫{x1,x2,…,xn},Y=潮{y1,y2,…,yn},F(xiyj)为工胃作人污员xi胜任针工作yj时的蛾工作风效率.则问萝题转光化为龟：求占二部叙赋权正图G的最苹佳匹馅配.在求G的最膛佳匹惧配时,总可投以假涌设G为完唱备二燥部赋故权图.若xi与yj不相闲邻,可令F(xiyj)=义0.同样斩地,还可哄虚设叨点x或y,使|X|=萌|Y|.如此惑就将G转化贸为完痕备二汇部赋性权图,而且纷不会足影响锻结果.二部腿图的六匹配掘及其泄应用例19：求储赋权想矩阵总为的完备观二部遵赋权旗图G=(X,洁Y,抓E,蚕F)的最阁佳匹嫩配。可行耀顶点奸标号红法：矩阵邀覆盖文法：分枝惧定界生法：二部勇图的碗匹配搞及其刘应用矩阵握覆盖蹦法：ST常EP包1：求盲等价疑分配旧矩阵截。ST迟EP堪2：求犬独立晓零元隔，画秒上框搁。（黄非同瞒列同株行的轿零）ST厘EP弃3：最曾优判露别：腥达到n个独利立零旦元。所停。ST抬EP货4：求任覆盖王线：1）封察锁没兴有画弓框零疗元的旨行，培封锁早就打排√；2）在归封锁爽行中己未画镰框零愉元的袍列也首封锁戒；3）在则封锁医列中守画框狼零元这的行冒也封礼锁；4）未影封锁侧行与摔封锁愉列画质上覆旋盖线女。ST蒜EP巾5：调泛节分锹配矩疲阵：竟在未肉覆盖宫元中上选取猴最大认元k，未覆党盖行卧加∣k∣，覆广盖列请减∣k∣。转ST驳EP爹2.二部隐图的粥匹配供及其砖应用定义1设G=晃(V,E)为有矮向图,在V中指颤定一冲点称女为发点(记为vs),和另饱一点董称为收点(记为vt),其余倚点叫会做中间喜点.对每否一条活边vivj∈E,对应货一个却非负判实数Cij,称为捕它的容量.这样才的G称为容量惯网络,简称网络,记作G=耗(V,E,C)孝.G中任询一边vivj有流丙量fij,称集两合f=多{fij}为网路络G上的郊一个流.网络轿流问冲题定义2满足霜下述户条件具的流f称为可行构流：①(容量向限制强条件)对每到一边vivj,有0≤fij≤Cij;②些(平衡笨条件)对于妨中间姑点vk有∑fik=∑fkj,即中间点vk的输辰入量=输出湾量.如果f是可林行流,则对警收、搅发点vt、vs有∑fsi=∑fjt=Wf,即从vs点发红出的泽物质右总量=vt点输钞入的劣量.Wf称为殃网络倡流f的总专流量.网络泥流问学题一个枣可行百流f=跟{fij},当fij=Cij时,则称淘流f对边vivj是饱和的;当fij＜Cij时,则称威流f对边是非循饱和的.把fij=径0的边多称为零流电边,fij＞0的边优称为非零蜜流边.若μ为网告络中绢从vs到vt的一够条链(有向革图中纳的路),定义箭链的案方向铅是从vs到vt,边的轨方向槽与链钱的方晌向相牙同称少为前向航边,前向滥边的音全体曲记为μ+;边的芒方向劳与链哈的方耳向相特反称般为后向本边,后向适边的乓全体园记为μ¯.最大踏流问谦题定义3设f是一弄个可争行流,μ是从vs到vt一条检链.如果是满足①纺当vivj∈μ+时,慰0≤fij＜Cij,即μ+中的桐每一梳条边抓都非纸饱和捧边;②当vivj∈μ¯时,狭0＜fij≤Cij,即μ¯中的朗每一谋条边并都非狸零边.则称μ为从vs到vt的关倡于f的可增灯广链.最大寸流问胆题定义4容量占网络G=樱(V,E,C),若点泥集V被剖趁分为漏两个访非空近集合S,Sc=V\S,vs,vt分属候于S,Sc.则把白边集(S,Sc)漂=含{vivj|vivj∈E,vi∈S,vj∈Sc}称为G的割集.若把诉一割挂集的旦边从界网络钱中去愤掉,则从vs到vt便不伟在相饺通,所以服割集鸣是从vs到vt的必毯经之茫路.割集(S,Sc)中所冶有边宝的容忍量之颂和,称为脸这个割集厕的容漆量,记为C(S,Sc).最大嘉流问弄题定理1设f为网虎络G=羡(V,E,C)的任隶一可采行流,(S,Sc)是剖唱分vs,vt的任业一割留集,则有Wf≤C(S,Sc).若有宫可行侮流f和割套集(S,Sc),使得Wf=C(S,Sc),则f一定赌是G的最大身流,而(S,Sc)必定块是G中所召有割婆集中伍容量标小的信一个,即最小洽割集.例20：给谋出网廉络的屈割。2343125最大即流问员题定理2(最大隙流——最小毅割定携理)任一罗个网远络中G中,从vs到vt的最大伞流的汽流量等于梳分割vs,vt的最小受割的摩容量.推论可行扎流f是最崇大流滤的充愤要条映件是含不存妻在从vs到vt的(关于f的)可增迈广链.最大雕流问雁题实际润问题会中,一个吧网络起会出陕现下雹面两姨种情涉况：⑴发点市和收员点都铺不止雪一个.解决幅的方邮法是夏再虚镇设一洞个发炒点vs和一堤个收车点vt,发点vs到所健有原仗发点翠边的礼容量出都设挎为无摘穷大,所有句原收苍点到同收点vt边的容配量都杠设为顶无穷肚大.⑵网络惑中除玻了边尖有容忽量外,点也忙有容距量.解决唤的方恒法是锡将所帽有有逐容量喷的点踪蝶分成门两个策点,如点v有容特量Cv,将点v分成娱两个旁点v'和v",令C(v'午v")和=Cv.最大然流问稻题例21：求站网络酬的最损大流煌。３５３５４探索壶：单斗向调萄整法平：双向吉调整鼻法：Fo齿rd破-F扶ul雀ke瞎rs罩on算法最大谋流问旷题例22：图6-域24表明宅一个腔网络撇及初旦始可劫行流,每条边上只的有蹈序数小表示(Cij,fij).求这设个网粉络的筋最大流.标号侮算法钞：最大炒流问固题一般我提法哪：已知蒙网络G=绳(V,E,C)屋,每条烫边vivj∈E除了瞒已给润容量Cij外,还给炮出了凝单位驳流量筐的费尸用bij(≥器0)狮.所谓须最小蓄费用舞流问甩题就倘是求店一个斑总流翅量已蕉知的墨可行雅流f=炮{fij}使得夫总费高用最小.当要储求f为最条大流哥时,此问锋题即咽为最小列费用浇最大搜流问拔题.最小旅费用坦流问个题例23：求鸦下列庄网络井的最屡小费理用流昆。3,14,23,65,24,2负回酿路算问法：迭加两算法咬：最小惜费用劫流问闭题定义：一搬个工僻程由歌若干姨相互照独立贝的活滔动组切成，畅每个晶活动歇称为工序，我裳们用顶怨点表令示工按序，如僻果工邻序i完成绒之后萍工序j才能众启动,则图经中有絮一条号有向犁边(i,j),其权wi表示忽工序i所需堡的时除间。这肉样得到的罚赋权概有向闭图G=（V,舌E）称族为PT图。PT图必廉定不欢存在筛有向圈回路条。在PT图中杠，当秤起点劳与终烛点不吩唯一瓜时，叨可增夸加两个虚拟缝结点v0和vn作为犯新的贿起点晓与终种点，v0和vn表示虚工宇序，与v0连接顽的边勇的权惠为0，与vn连接的边扯的权膊为原陪终点背工序授所需死时间未。PT图例24一项合工程贵由13道工凑序组某成,所需父时间(单位恩：天)及先蕉行工果序如呈下表嫩所示(P小17皱2)旱.工序宫序号A捷B被C服D小E朗F柏G仅H时I号J防K恶L朵M所需疏时间2炼6它3鸽2泳4鸭3控8种4起2鸣3蠢2解5宅6先行督工序-AABC,砍DDDDG,类HGH,顺EJK试问翠这项捧工程柄至少桂需要拢多少厅天才户能完幕成?那些岛工程源不能斩延误?那些产工程窑可以轰延误?最多午可延片误多惯少天?PT图工序经序号A正B优C版D验E归F棉G慨H咐I比J货K视L然M所需太时间2贪6亭3谅2辱4置3堵8升4汉2傍3关2射5歪6先行补工序-AABC,纤DDDDG,很HGH,既EJK先作版出该衬工程骨的PT图.AB22C6D3E2F2G2H2K4N3I8J8442L3M256虚拟请结点PT图这项哗工程树至少台需要多近少天给才能纽奉完成?就是共要求A到N的最盒长路,此路址径称连为关键记路径.那些敢工程夹不能安延误?那些党工程乖可以递延误?最多傅可延紧误多为少天?关键授路径昆上的菌那些倚工程电不能箩延误.PT图定理若有忌向图G中不存骡在有调向回够路,则可唱以将G的结贤点重鸣新编器号为u1,u2,套…,un,使得开对任倍意的边uiuj∈E(G),都有i＜j.关键抱路径--最长偶路算讲法各工桨序最早傻启动背时间算法荐步骤岭：①对结针点重记新编家号为u1,u2,术…,un.②赋初岩值(u1)=摘0.③依次们更新(uj),j=泛2,丢3运,楚…茂,n.(uj)=ma大x{(ui)+(ui,uj)|uiuj∈E(G)}锡.④结束.PT图此例逝不必浑重新谈编号短，只决要按侨字母脾顺序庄即可.(A培)=着0,(B参)=(C驴)=豪2,(D灶)=诸8,(E投)=ma鸣x{2跨+3判,8裁+2侧}=聚10弯,(F萝)=(G馅)=(H炎)=(D哗)+煎2=抢10绢,(I涝)=ma栋x{(G萍)+仅8,(H贵)+危4}炊=1剃8,(J始)=(G壶)+祝8=醋18船,(K添)=ma渡x{(E竹)+庄4,(H纵)+辛4}前=1曾4,(L混)=(J概)+赠3=柳21啄,(M济)=(K嫂)+着8=馒22井,(N政)=ma飘x{(F榆)+港3,(I去)+序2,(L艺)+需5,(M衰)+脆6}舰=2誉8.最早羞启动患时间:PT图这项趴工程笔至少貌需要28天才微能完界成.关键赢路径(最长律路径):A→昏B→咸D→棉E→盲K→伤M→婶NA→避B→纸D→柳H→巩K→幕M→锋N工序A,摘B,抹D,乔E,殖H,损K,充M不能窜延误.各工砍序允痰许延吃误时福间t(uj)等于竹各工任序最晚扰启动字时间(uj)减去啊各工傍序最早比启动土时间(uj).即t(uj)=(uj)-(uj).PT图最晚敢启动闯时间算法净步骤(已知捷结点惨重新喉编号)：①赋初驶值(un)=(un).②更新(uj),j=n-1,n-2,波…肉,虚1.(uj)=mi繁n{(ui)-(ui,uj)|uiuj∈E(G)}击.③结束.根据修工序uj允许萄延误码时间t(uj)是否句为0,可判浪断该优工序家是否践在关奸键路膛径上.PT图(N摆)=险28撒,(M洗)=后28饲-6山=2罢2,(L饰)=盖28缝-5议=2棋3,(K泡)=(M纯)-假8=幕14尊,(J爽)=(L督)-凉3=漆20辞,(I形)=抛28辈-2住=2专6,(H霸)=mi炉n{(K最)-担4,(I舒)-状4}乖=1想0,(G懒)=mi礼n{(J福)-疏8,(I缩慧)-良8}孩=1毒2,(F语)=28-3溉=2贴5,(E寺)=(K麦)-候4=迟10戴,(D惹)=mi润n{(E栋)-揪2,(F队)-南2,(G撤)-趋2,(H楼)-浴2}处=8碍,(C台)=(E幕)-稿3=低7,(B倒)=(D认)-雨6=武2,(A戴)=据0.最晚胶启动航时间:PT图各工坊序允许岭延误建时间如下球：t(A协)=t(B肢)=t(D恨)=t(E番)=t(H宜)=t(K胆)=t(M亡)=丢0,t(C汉)=团5,t(F添)=锹15染,t(G御)=月2,t(I右)=蝇8,t(J以)=合2,t(L辛)=概2.PT图定义粮：一志个工耕程由坦若干带相互章独立耻的活肺动组浆成，闯每个活弯动称仍为工序，相益邻两静个工太序在妙时间例上的泪分界点称此为事项，它恐表示赔紧前情工序胸的结赛束和依紧后擦工序的开侦始，悠我们用顶迫点表慎示事牺项，用有向良边表趋示工序。边俭的起识点称旗为该贼工序夕的开工匀事项，终计点称乏为完工享事项，用鼠一个旋顶点详表示崇整个贞工程徒计划遗的开鼠始，称为起点引事项，用暴另一疼个顶侮点表辣示整硬个工载程计罪划的结狂束，战称为终点蜘事项。这桃样得剑到的计赋权栗有向灶图G=（V,岂E）称为PE危RT图。PE卸RT图图中不能惑有有旺向圈构与平逃行边款。可引弹入权鬼为零诵的虚白工序掀表示亦工序茶的衔湾接关捞系。(3掩)可引代入起债点事坚项和伴终点涉事项取与相表应的舒虚工苦序。ABCA1B1A2B2(1堤)A敢,B完成砖后C才能福开始(2兔)工序B在工亡序A部分昆完工后即悦可开蜡工(分解泄为几鸡