第三章 离散傅里叶

第三章

离散傅立叶变换主讲温川雪主要内容几种FT变换形式离散FT的定义DFT和Z的变换关系DFT的基本性质DFT的应用Fourier变换的几种可能形式傅里叶变换傅里叶级数序列的傅里叶变换离散傅里叶变换四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)3.1离散Fourier变换的定义1.定义【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4点和8点DFT。解设变换区间N=4，则设变换区间N=8，则x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(4)x(n)=Rm(n)0<m<N(5)0≤k≤N－1CompanyLogo2．图已只知下红列X(k)，皂求x(n)=付ID狮FT杰［X(k)］解:妇（剂1）n=0补,罢1,线…缸,N－13.趋1.拴2寄D蛾FT膏与傅榜里叶饲变换半和Z絮变换械的关罗系图3.1.2x(n)及其周期延拓序列【例痰3.扑1.宣2】相设x(n)=R4(n)，X(ejω)=孤FT栋［x(n)］聚。分木别计树算X(ejω)在敞频率远区间巾［0宪，2浴π］饭上的淹16脑点和赚32泛点等驴间隔拘采样处，并错绘制X(ejω)采竖样的夏幅频旁特性晕图和链相频吧特性坐图。棋解升由翼DF登T与河傅里皂叶变章换的舅关系妨知道歇，X(ejω)在塞频率金区间漏［0赏，2执π］名上的叮16限点和辣32让点等赔间隔嗽采样缝，分载别是x(n)的伪16战点和熊32寺点D极FT郊。调煌用f晴ft竭函数刺求解貌本例唱:%叠DF武T的哀MA扩TL烦B计描算xn准=［扬1对1句1期1］流;糊%焰输入秩时域待序列缴向量秋xn伍=R袍4(宏n)锻Xk呈16记=f欺ft极(x服n,肚1猴6)下;禽%计表算x戴n的尘16蹲点D办FT妨Xk兼32体=f百ft秋(x铺n,搅3想2)林;捏%计毅算x腔n的刷32滤点D义FT药%以慰下为矛绘图粪部分瞒（省姐略，状程序汁集中牌有）ep稠31拾2.非m图3.1.3程序ep312.m运行结果ex阶31董2.岭m3.岭2远离值散傅傍里叶宪变换港的基宿本性砍质3.沸2.门2稳循环会移位科性质

定义：序列简的循码环移量位时域在循环奥移位然定理频域姥循环对移位辞定理勾如果X(k)=DF价T[x(n)]N0≤k≤N－1Y(k)=X((k+l隙))NRN(k)答3.砍2.株3巷循技环卷亦积定棕理循环写卷积设序劫列h(n)和x(n)的拼长度姨分别礼为N和M。h(n)与x(n)的L点循短环卷侦积定针义为L称为冈循环坏卷积闹区间渣长度蒸，L≥m鹿ax偏［N，M］。L循环甜卷积之过程纽奉：1）脱补零2）州周期剪延拓3）岗翻褶贝，取犁主值视序列4）俘圆周去移位5）童相乘旅相加时域撞循环炼卷积迟定理频域轮循环尸卷积怒定理3.羽2.叶4剃复沟共轭散序列轰的D堤FT设x*(n)是x(n)的毯复共从轭序葡列，疼长度炎为N，X(k)=驱DF就T［x(n)］N，则且X(战N)=杰X(狂0)西。3.梯2.片5秤D封FT田的共鄙轭对讽称性任何纷有限妥长序桐列都挪可以闷表示险成其蝇共轭船对称毫分量千和共秘轭反龙对称筛分量魔之和榨。DF街T的共芹轭对恒称性【例】婆利旋用D哈FT励的共帅轭对找称性锋，设字计一侄种高设效算供法，白通过龄计算促一个N点D冷FT趟，就娱可以咸计算口出两戏个实遍序列x1(n)和x2(n)的N点D掉FT狠。解：不1、姿直接勤求解蚀，需籍作两野次N暑点的求DF毅T.2、纽奉将两撑个实纠数序炮列合圈并为肃一个筹复数插序列对x臭(n蛙)求痛DF桃T得拾到：所以皇，由X(k)可废以求歇得两帖个实偏序列x1(n)和x2(n)的N点D够FT欧：12丽．嚼已知f(n)=x(n)+颜jy(n)，x(n)与y(n)均考为长臂度为赖N的削实序我列。渡设F(k)=厉DF挠T［f(n)］N0≤k≤N－1(1厦)试求X(k)=盛DF缺T［x(n)］N，Y(k)=索DF劈燕T［y(n)］N解:疮由D扭FT肉的共向轭对庄称性展可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)己jY(k)=Fop(k)7．形证恨明:松若x(n)为且实序授列，X(k)=佛DF厨T［x(n)］N，终则X(k)为芦共轭山对称章序列劈燕，养即X(k)=X*（N－k)；膊若x(n)实娇偶对晋称，添即x(n)=x(N－n)，割则X(k)也所实偶怖对称板；盈若x(n)实思奇对绩称，咏即x(n)=帅－x(N－n)，础则X(k)为悟纯虚闷函数拉并奇咳对称僻。(1掀)x贺(n肾)为术实序金列(2傲)x稻(n矩)为肝实偶盏序列x(n)=x(N－n)x(摘n)为实驳序列前已宴证X(脊k)奇为实闯偶序冲列x(私n)为偶住序列(3挪)x随(n籍)为娱实奇宁序列x(n)=响-x(N－n)x(舍n)为奇蛮序列x(始n)为实堆序列前已驻证X(桶k)否为纯色虚奇扒函数3.劳3券频率颠域采骡样DF讲T和Z变换回和傅滴里叶债变换然的关决系X(摘k)是在炉z违平面丈单位构圆上米对X蒸(z恼)的杆N点垄等间巧隔抽威样。X(k)是在对在N点等间隔抽样。频域赴抽样欢能否浪不失杀真恢短复原沾连续宜信号？x(张n)遮傅里非叶变谢换F弱T离散睁傅里缴叶变倚换D皆FTX(摆k)瓶的I巩DF如T是斜x(稍n)璃周期宫延拓誓后取唇主值酱区间频域鲁采样价定理若x张(n罗)为致长度品M的滴有限敲长序饲列，籍则要叼使频持域抽承样后控的序喉列能阅不失革真地电还原央，则僵频域胖[0微,2兼）内古采样蜜的点肢数必伏须满其足N深≥M【例桂3.研3.锣1】棕长度侦为2战6的劝三角少形序渣列x(n)如稼图3令.3叔.1碑(a秃)所逼示。凡编写动MA刊TL谨AB好程序晶验证颤频域倘采样蠢理论伤。MA法TL哭AB升求解提程序片ep馒33联1.暮m如漠下：案%《处数字乌信号亡处理辜(第瓶三版蒜）》让第3骨章例垃程序乓ep器33植1.%凡频域喂采样秧理论赞验证针M=扶26智;乳N=灾32值;纤n=绝0:丹M;例xa揉=0涂:M碎/2背;兽xb扯=白ce么il径(M爹/2独)-爆1:裁-1萌:0衰;陡x鸦n=煌［x邪a,算x倒b］缓;%产臂生M堡长三赚角波冷序列渔x(扛n)股Xk高=f珍ft夺(x盗n,锻5窄12秋);眠%飞51炊2点掏FF跃T［撤x(献n)母］X3辟2k线=f森ft问(x冶n,泄3栗2)丑;币%扩32沈点F优FT单［x突(n搏)］弯x3知2n午=i纽奉ff梅t(寇X3排2k脊);距%3驾2点冤IF朗FT侧［X稿32踪蝶(k势)］供得到兆x3卡2(箱n)煌X1握6k泳=X隆32门k(原1:弟2:现N)捞;厚%隔娇点抽纯取X歇32欢k得霸到X怎16锤(k咸)x1制6n乏=i颈ff祥t(挎X1丘6k天,回N/因2)峡;筛%个16岂点I仿FF升T［培X1绝6(弃k)寒］得下到x壳16兴(n称)以下交绘图驻部分心省略丝式。ep笛31枯2.咸m符合牌频域应抽样常，能县不失狮真恢吨复原农连续伶信号3.距4技DF他T的浇应用局举例LS录I系循统的锁输出思为输劲入序脉列与呈系统往的单钞位抽抹样响秒应的局线性轰卷积秒，即贡：能否云用D以FT着计算纵线性桂卷积？3.仓4.始1份用碍DF范T计雪算线个性卷滥积用DF蝇T计算杆循环魂卷积循环独卷积党在一逝定条师件下疾等价炼于线艘性卷诉积用DF敏T计算闭线性保卷积设h(n)和x(n)的长敬度分洗别为N和M,其L点循叫环卷烟积为且L则由递DF呢T的欢时域醋循环点卷积酱定理拌有循环冒卷积脚与线赶性卷喉积相绝等的懒条件循环摆卷积而与线嘴性卷敞积之婶间的赏关系结论茶：L滔点循感环卷行积等阻于线点性卷飘积以跪L为稼周期什的周深期延素拓序觉列的倾主值轿序列循环招卷积完与线德性卷设积相需等的书条件结论季:若L≥N1胶+N雷2-我1，则加L点渗循环锣卷积负能代镜表线字性卷影积。图3.4.2线性卷积与循环卷积波形图ex袋3功25刻.m雁或金ex控32苏4.允m重叠丛相加诵法计塘算线扶性卷闻积适用沸条件裕：两驶序列硬长度信相差诊很大设序谈列h逗(n趋)长拢度为抚N，装x屠(n苹)为简无限偿长序坟列。冒将劈燕x(车n)选均匀窄分段隐，昂每段摧长度未取M施，泼则于是均，伴h(作n)假与x粒(n坊)的您线性坛卷积筐可表币示为【例辨3.请4.莲1】挥假设h(n)=R5(n)，x(n)=订［c签os价(πn/1对0)匠+杨co泪s(星2πn/5劲)］u(n)，婆用重虏叠相气加法可计算y(n)=h(n)*x(n)，足并画挂出h(n)、x(n)和y(n)的味波形梯。解h(n)的舰长度登为N=5岂,挪对x(n)进屡行分品段，践每段处长度复为M=1刘0。回计算h(n)和x(n)的查线性奥卷积冠的M运AT妖LA呢B程俗序如搅下：Lx杏=4蜜1;誓N放=5舞;好M=柱10姿;沾%L僚x为信尼号序颈列x(龙n)长度抄hn=o帽ne撤s(斩1,施N演);进h惑n1路=［hnze维ro沟s(攀1,谱L役x-员N)］;%产生h(智n)，其怒后补逐零是眼为了吸绘图狗好看湾n=药0:涂L-南1;鲜xn=co六s(扣pi*n尘/1匠0)杠+c匪os壮(2败*p索i*牺n/遭5)娘;鸦%产生x(为n)的Lx个样剑值yn=ff捞tf穴il包t(荷hn,xn,拌M)验;逆%调用ff乏tf以il宵t用重鸡叠相喜加法谁计算颈卷积3.烫4.食2赏用D遇FT盾对信缺号进遵行谱奥分析用D拖FT膊对连召续信匹号进恰行谱锄分析所谓赴信号壮的谱截分析裂就是监计算统信号员的傅应里叶皆变换润。用D晌FT吃对序哗列进梅行谱影分析周期咳