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文档简介
1离散数学DiscreteMathematics
汪荣贵教授合肥工业大学软件学院专用课件2011.06Chapter5graphtheory
§1引论-2
图论——计算机问题求解的描述工具实际问题数学模型求解算法(算法)编程实现用大量数据验证抽象求解测试
图论是离散数学的分支:图(graph):是一个离散集和某些两元素子集的集合。数学形象是:纸上画几个顶点,把其中一些点用曲线段或直线连起来。图显示的是点与点之间的二元关系。5CHAPTER5Graphs
5.1IntroductiontoGraphs图的概述5.2GraphTerminology图的术语5.3RepresentingGraphsandGraphIsomorphism图的表示和图的同构
5.4Connectivity连通性5.5EulerandHamiltonPaths欧拉通路和哈密顿通路5.6PlanarGraphsandGraphColoring平面图与着色5.7Trees树§1引论为什么要学习图论?可以采用图论的成果和方法;最重要的是:可以培养我们思考问题和解决问题的能力。什么是图论?-1图论诞生和孕育于民间游戏。创生:1736年瑞士数学家欧拉——图论之父;进展:1936年,匈牙利数学家寇尼希(Konig)发表名著《有限图和无限图理论》;1930年,波兰数学家库拉托父斯基(Kulatowsky)证明了平面图可以画在平面上;其后,图论在现代数学、计算机科学、工程技术、优化管理等领域有大用而得以大力发展。欧拉生平简介
莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler,)历史上最伟大的两位数学家之一(另一位是高斯)。欧拉出生于瑞士,他是一位数学神童。作为数学教授,他先后任教于圣彼得堡(1727-1741)和柏林,尔后再返圣彼得堡(1766)。欧拉的离世也很特别:据说当时正是下午茶时间,正在逗孙儿玩的时候,被一块蛋糕卡在喉头窒息而死。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人,例如:y=F(x)(函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。欧拉是有史以来最多产的数学家,他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学,对于当时新发明的微积分,他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中,欧拉的双目完全失明,尽管如此,他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。莱昂哈德·欧拉Konisberg七桥问题(Euler问题)柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。
这个问题是基于一个现实生活中的事例:位于当时东普鲁士柯尼斯堡(今日俄罗斯加里宁格勒)有一条河,河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下,回到原出发点?一、Ko蚂ni伙sb陪er存g七桥翅问题(E佛ul宋er问题)-1如何阔才能狱在所宅有桥技都恰煌巧只仅走一渴遍的号前提套下,败回到廉原出妨发点?一、Ko庙ni伐sb启er征g七桥口问题(E冬ul当er问题)-2不少耐数学若家都敬尝试循去解怎析这需个事咐例。绕而这姻些解绕析,斜最后意发展睛成为量了数耍学中塑的图亩论。莱昂荷哈德·欧拉(L到eo航nh升ar律d她Eu余le刘r)在17顺36年圆中满地余解决伙了这唱一问选题,需证明爬这种金方法并不窝存在。他在窄圣彼模得堡且科学蹄院发杂表了姥图论清史上泰第一胀篇重怨要文耍献。泼欧拉幸把实揪际的倒问题怖抽象技简化对为平农面上递的点与线组合迈,每匹一座字桥视匠为一票条线思,桥屡所连等接的福地区掘视为途点。闲这样仓若从滨某点惹出发赶后最咽后再哑回到览这点斯,则手这一坊点的俯线数算必须允是偶数。一、Ko穴ni岂sb夫er门g七桥耗问题(E相ul秆er问题)-3ACBD如何隶才能象在所浇有桥控都恰出巧只牲走一章遍的悬前提殊下,骑回到凉原出言发点?求从辣图中沫任一散点出舒发,转通过毫每条往边一骨次,炕最后争回到颗起点。ACBD桥所连接的地区视为点每一座桥视为一条线一、Ko炭ni彼sb漏er晨g七桥伴问题(E牲ul怕er问题)-4如果贺通奇嫌数座信桥的钩地方不止原两个,那处麽满题足要堂求的洗路线察便不存促在了。如果只有巡寿两个地方农通奇格数座透桥,赖则可匠从其中处一地出发漠可找移到经开过所讽有桥序的路证线。若没有息一个地方税通奇教数座满桥,谢则从任何浮一地出发将,所臣求的床路线修都能播实现谨。1420数23牛/6爪/2蜓65.菌1In他tr木od宣uc挽ti樱on船t这o柔Gr挑ap疤hsTy场pe意s血of芹G遥ra患ph难s图的怠种类Un拐di徒re伤ct屡ed剂G邀ra按ph馒s无向蜂图Si宴mp盲le驶g拒ra园ph简单龙图Mu抛lt温ig嘴ra盈ph多重喉图Ps租eu缸do姑gr翼ap缩慧h伪图1520找23男/6施/2棉65.镇1In旅tr蚂od场uc迹ti宽on很t之o矿Gr恶ap烘hs【D冒ef尖in盗it痕io耗n】Asi尘mp棕legr丛ap习hG=(V,E)态co席ns齿is胞ts镜o乡丰f雪ve惑rt绕ic驾es拿,V,纯an股d容ed奔ge情s,E,柳co粘nn贫ec究ti洞ng俯d狭is夏ti趣nc剧t拐el仔em齿en洁ts餐o为fV.简单既图G=政(V休,E宣)是由州非空诉顶点求集V和边兰集E所组中成的延,V的不留同元押素的朽无序弹对称挤为边捆。-砖no木l练oo糟ps没环-慰ca枝n‘镰t戏ha万ve涝m觉ul拒ti缴pl垦e替ed止ge孟s骆jo愚in柄in拘g肿ve闯rt川ic教es两个忍顶点你间最清多只醒有一丧条边Amu胆lt纯ig竭ra魔phal皱lo开ws男m急ul疫ti泽pl享e磁ed递ge朝s裙fo医r脸tw病o熔ve揭rt种ic轻es比.多重视图允佣许顶锻点对阶之间渣有多怒重边Aps夺eu嫁do扬gr雹ap柔his谜a割m捧ul盆ti心gr再ap你h虚wh矛ic尘h雄pe躺rm痰it昂s听lo喷op吉s.伪图粒也是词多重丙图,矩它可中以存盐在环慨。Fo俗r晨ex彼am立pl娱e,abcdabcdabcdabcd1620喜23胳/6共/2娇65.旺1In院tr孟od饲uc鼓ti捏on涨t京o妈Gr便ap旋hsTh坚e才re帮la溪ti笛on坝s籍of业d艘if职fe菜re好nt须u潜nd壳ir桂ec脸te隶d变gr畜ap欲hs各种身无向减图之奸间的败关系Pseudographs伪图Multigraphs多重图SimpleGraphs简单图1720勒23允/6茶/2叙6Di陵re占ct雪ed羞G技ra兵ph伞:In喜adi兴re蕉ct集ed扁g湖ra闲ph有向海图G体=锡(V丑,塔E)th居e认ed庄ge转s者ar法eor洽de赞re状d畅pa俭ir紧s(有勒序对荡)of源(费no赛t仁ne属ce房诚ss忘ar痕il嗽y柱di组st道in饮ct迈)堤ve蒸rt闷ic要es沙.有向昌图(V陕,E袋)是由土非空腾顶点不集V、边傻集E所组叠成的高,边V中元胞素的室有序吸对。炉允许委有环(即相减同元删素的否有序炭对),但壤不允介许在扭两个退顶点紫之间差有同盘向的礼多重御边。In证adi茫re割ct坟ed谋m如ul奔ti缓gr漂ap泛h有向掘多重岸图G归=联(V洗,薄E)th什e合ed询ge剑s半ar六e盐or谁de靠re裙d光pa蛋ir仿s耻of竟(膜no期t灾ne捧ce秃ss慈ar嫂il坚y逆di辰st拾in歼ct芳)形ve秧rt谱ic冤es犁,挖an拥d采in杰a叨dd蛛it鹿io东n罚th幼er敲e狗ma抄y火be简m蔑ul见ti零pl通e啄ed笔ge奋s.有向砌多重止图G=滤(V吸,E暖)是由斗非空停顶点情集V、边馅集E以及藏从E到{(相u,附v)昨|u耗,v∈V驻}的函钥数f所组方成的殊。若愧则露边e1和边e2是多选重边谅。5.密1In抖tr气od非uc语ti求on顷t趴o葛Gr之ap恰hs1820咱23订/6服/2画65.涂1In胞tr预od棍uc辣ti略on踢t狡o惨Gr役ap赠hsTy材pe尊s免of婚G细ra粗ph倡s蜻an捐d陪Th搬ei际r卫Pr辆op勿er天ti荷es图的罢类型知及其狮性质类型Ty德pe边Ed献ge凶s允许位多重摸边Mu衬lt迹ip括le浊E谅dg炉es代?允许台环Lo恼op暮s?si劝mp称le炸g挎ra肥ph简单券图Un份di议re镰ct互ed无向No否No否Mu在lt免ig独ra鸦ph多重畏图Un历di先re足ct乎ed无向Ye滴s是No否Ps育eu坚do奇gr猴ap谨h伪图Un演di续re旬ct某ed无向Ye谊s是Ye腰s是di晃re艳ct筐ed朗g鞠ra席ph有向冻图di欣re爆ct牺ed有向no否Ye仗s是di粪r.需M逼ul企ti零gr记ap障h有向妥多重夸图Di屿re源ct贞ed有向Ye傅s是Ye贡s是1920仔23兴/6档/2呼65.牲1In思tr则od坚uc骂ti六on弹t贴o蛛Gr穴ap嗓hsGr涨ap罪h丑Mo斯de景ls图模道型见教妖材p4订4720CH脾AP直TE施R柏5截Gr堂ap贼hs5.漫1扎I侨nt飘ro铺du烦ct麦io番n得to蚁G鲜ra掘ph衫s图的顽概述5.兵2穗G什ra突ph庸T货er奋mi瘦no仅lo碗gy图的路术语5.寸3挨R哑ep括re咏se塔nt招in响g退Gr蝇ap陷hs亏a吨nd书G验ra体ph充I疲so袖mo溪rp墓hi娱sm图的讽表示掩和图仗的同谣构5.匠4辈C促on纽奉ne鉴ct址iv鹊it巴y连通胖性5.干5驳E孔ul躲er夏a测nd园H祸am览il掩to稿n颈Pa衰th均s欧拉选通路沿和哈础密顿伞通路5.叙6慨P布la米na旨r肠Gr炕ap绍hs幻玉a咬nd撞G啄ra朴ph日C稀ol农or立in吓g平面鹿图与阁着色5.叫7危T曲re还es树2120添23侨/6消/2赏65.底2Gr伟ap岸h俯Te组rm晨in礼ol使og辛yBa田si繁c阻Te稍rm蓄in仇ol踩og顷y基本铺术语Un迈di联re躬ct刑ed甘G临ra插ph跳sG=(V,E)无向奖图Ve蚀rt侨ex材,莲e植dg闭eTw刮o论ve泊rt泰ic报es探,uan恼dvin团a关n禽un弓di结re科ct救ed饭g升ra柔phGar僻e划ca蛾ll略edad糕ja越ce绵nt(o盲rne钳ig业hb少or殊s)inG,凶if劣{u,v}腹is段a风n俘ed稳ge柏o待fG.若{u,弃v}是无相向图G的边阅,则表两个顽顶点u和v称为亮在G里邻湖接(或相丝式邻)。An滋e搂dg辨e劣e揉co栽nn虫ec类ti炮nguan治dvis爸c恨al泄le义din亲ci贪de定nt刑w步it僚h倾ve脊rt架ic发es酱u匆a库nd类v,or茎i问s霉sa歼id猾t限o狱co榴nn机ec列tuan筑dv.边e称为钩关联敞点u和v,也敲可以漆说边e连接u和vTh胡e制ve罩rt暮ic惯esuan虎dvar搞e恩ca唐ll塑eden剖dp态oi雕nt烫sof逢e该dg牢e愈{u,v}.顶点u和v称为肝边{u,v}的端恩点abcdfeg2220利23溉/6杆/2松6Th召ede柱gr躬ee炭o乳f封a指ve织rt洽ex(顶肝点的旦度)in跟a昏n稻un厨di松re苍ct比ed练g奔ra谎ph来i竹s盼th俘e洒nu和mb烘er郊o精f凑ed恩ge纸s附in趣ci燃de众nt制w秘it疗h疗it斤,猾ex异ce篮pt东t设ha荡t御a受lo玻op很a胳t赌a耕ve即rt串ex喇c恭on沃tr毁ib孔ut葬es敏t愤wi僻ce匪t另o之th链e兆de蒙gr衬ee网o巧f铜th怖at嘱v复er降te画x在无信向图蠢里顶袋点的廉度是炎与该框顶点控关联御的边两的数笨目,选例外询的情德形是宋,顶览点上修的环初为顶药点的唤度做爱出双脱倍贡赴献。No规ta萌ti办on究:所de片g(v)Ifde物g(v)樱=族0,vis鸣c秀al降le政dis舰ol耕at皂ed.孤立戴的Ifde秧g(v)舅=怜1,vis郑c善al则le海dpe叔nd以an挎t.悬挂秀的5.塑2Gr墓ap两h姓Te务rm谜in麻ol陡og平y2320窃23句/6圣/2休65.斩2Gr助ap烫h反Te絮rm依in贞ol允og境y【
Theorem1】
TheHandshakingTheorem握手理论
LetG=(V,E)beanundirectedgraphGwitheedges.Then设G=(V,E)是e条边的无向图,则Pr灾oo仪f:Ea叛ch饮e状dg袭e从re驶pr捏es驳en片ts贵c追on鹿tr后ib宏ut甜es弦t盲wi央ce匀t狭o膏th户e短de朱gr怎ee丽c估ou工nt俊o除f煮al糖l柏ve扫rt姑ic调es奋.每条舟边都饭为顶留点的漏度之足和贡零献2No内te犹:Th教is障a窝pp蓝li训es放e群ve老n育if融m垃ul庙ti吉pl昆e睡ed锹ge甘s湿an京d浆lo抱op肆s兵ar飘e永pr俩es滚en翠t.注意盼即使接出现苍多重考边和王环,寇这个惜式子群也仍亲然成艳立2420烦23横/6淹/2路6Ap役pl钉ic后at做io傅n:Th巧e亮su由m,盘o愚ve拔r由th详e技se况t罢of居p卡eo售pl洞e许at欺a活p矿ar粪ty哈,绞of怀t激he秃n稠um轰be差r启of蹲p兆eo辽pl允e至a块pe键rs并on烂h牢as单s庸ha丹ke薪n纽奉ha恢nd中s严wi叉th正,舍is根e画ve者n.5.旁2Gr垮ap葬h翻Te赚rm池in慢ol独og榜yQu唱se撤ti弊on卖:If桶a摩g湾ra孔ph剧h率as既5灾v济er舌ti潜ce辱s,促c例an慰e衔ac割h跌ve签rt骗ex孔h镜av狠e正de倘gr甩ee聚3热?宪4?Th拨e秃su摩m煮is循3绪•5预=思1个5熔wh剩ic究h棚is曲a页n备od庙d愤nu捷mb客er词.No昆t蓝po询ss烈ib县le改.Th森e积su慎m聋is锻2尤0梦=储2嫩|E|泊an杯d妇20轰/2窄=壳1捎0.Ma阻y罚be演p醒os愈si刑bl乘e.2520摸23吃/6妥/2绳65.代2Gr阅ap怖h乔Te陪rm砌in战ol彼og弯y【Th刑eo伙re替m惊2】An售u语nd良ir午ec锻te刷d劝gr盛ap垂h谢ha贯s煮an脖e粗ve家n祖nu寇mb恨er退o买fve希rt质ic垃es童o羊f蛋od亏d届de暂gr场ee疫.无向御图有价偶数膝个奇韵数度唇顶点Pr全oo栋f:Letbethesetofverticesofevendegreeandthesetofverticesofodddegree,respectively.设v1和v2分别是偶数度顶点和奇数度顶点的集合,于是Qu势se兄ti副on柔:Isit牲p密os汗si猫bl思e驼to器h牵av撞e零a幼gr漏ap牛h抓wi兴th奏3物v仿er调ti陆ce更s洪ea峰ch夹o奴f井wh俭ic弱h翼ha脆s予de炭gr兴ee治3情?2620僚23硬/6眯/2算65.页2Gr位ap驾h匙Te帽rm背in透ol白og创yDi苹re池ct册ed啄G娱ra映ph明sG=(V,E)Le液t氏(u,需v)be绢a姥n拾ed长ge猾i届nG.窜Th牙enuis植a终nin挣it古ia召l权ve谷rt遣ex起点an僻d何isad坦ja荒ce闭nt脸t腰ovan置dvis虽ate洞rm危in猴al钻v喉er畏te什x终点an片d住isad昏ja穗ce钢nt集f您ro油mu.Th霉ein兵d滤eg咐re遇e入度of掌a院v嗓er绿te叛xv,敞de肉no镜te害d芒de贫g-应(v)蝴is苹t谣he虎n艰um从be冤r绑of堤e冈dg煮es旅w恐hi坑ch疼t师er板mi固na林te毅a以tv.顶点v的入卫度是疫以v作为糠终点祝的边尊数。Si依mi址la次rl淘y,箱t卖heou英t谁de早gr触ee出度ofv,莲de患no箱te剥d严de知g+抗(v),杯i拐s拾th矛e鸣nu辩mb熟er葡o设f缝ed逃ge取s轮wh糕ic累h私in华it厨ia庸te揉a已tv.顶点v的出粥度是阅以v作为储起点钳的边俗数un敏de串rl也yi歌ng醉u欺nd陷ir充ec梦te食d窄gr坛ap减habcdf2720缩慧23计/6艘/2模6【Th照eo欧re撤m帖3】Le扬tG榨=互(V签,王E)be极a凶g崇ra渔ph找w舅it滤h烘di遮re街ct丸e炭dg质es家.Th衣en在带蚁有向况边的抛图里鲜,所赢有顶土点的榴入度硬之和简等于奋出度钩之和零。这两唇个和跌都等誓于图至的边所数。2820搅23若/6漆/2缘瑞65.亮2Gr冠ap喊h毛Te鹊rm额in肚ol再og小ySo侄me医S科pe趟ci担al哀S惨im床pl萝e纯Gr毅ap己hs一些绣特殊降的简笋单图(1踩)Co企mp欢le溜te紧G洽ra倦ph妨s完全滚图-Kn:th征e链si掘mp谜le瓣g类ra束ph岔w驴it桌h-nve粱rt紧ic牵es-丹ex揭ac显tl跌y鹿on跌e终ed草ge时b呢et拒we锤en丙e奔ve蜘ry勤p菊ai芹r舟of蜘d程is星ti树nc骄t果ve诊rt白ic招es匪.Th脏e稿gr愧ap扭hsKnfo搂rn=1蜓,2万,3列,4够,5需.n个顶犬点的伟完全扑图是俭在每款对不饲同顶刺点之禾间都闸恰有爷一条剃边的田简单亏图。K1K2K3K4K5Qu伪se融ti嫌on顷:Th筋e悬nu启mb铸er窑o志f殿ed剃ge牲s膨inKn?2920颤23揪/6瞧/2马65.随2Gr萄ap挎h鼠Te屋rm芽in稀ol春og柔y(2菊)败Cy群cl谜es圈图Cn(n>2茄)Cnis溪a肥nnve济rt我ex僵g同ra花ph览w队hi愈ch商i彼s蹄a许cy吩cl学e.C3C4C5C63020钱23砖/6彼/2宅65.嫩2Gr泊ap哑h其Te喇rm悬in负ol田og成y(3瓦)脱Wh露ee筐ls轮图Wn(n>2止)Ad蒜d趁on柳e睛ad层di边ti友on批al枪v帜er译te鲜x坊to凯t影he订c注yc乡丰leCnan伶d刚ad众d恢an勉e君dg新e缝fr肃om悟e爹ac禁h稍ve棋rt滥ex算t积o闷th登e慌ne游w励ve该rt陷ex病t须o回pr粥od才uc冻eWn.当给尝圈图造添加日另一糊个顶沃点,器而且絮把这繁个顶谷点与诊圈图饼里n个顶阴点逐筛个连活接时恒,就己得出漆轮图勤。W3W4W5W63120污23穷/6州/2狂65.绣2Gr徐ap质h闷Te且rm针in堵ol珍og逢y(4崭)n-怖Cu矿be料sQn(n>0香)设n立方煮体Qnis象t啊he乓g汉ra栋ph爬w袍it俗h制2nve尚rt预ic游es钳r奏ep俱re骑se纱nt花in科g稍bi粪t往st陵ri叛ng携s继of仅l伍en保gt倦hn.唯An街e淡dg斥e蚕ex含is常ts估b霞et衰we浇en味t客wo把v喜er申ti前ce湾s关th蓬at高d豪if技fe碌r咐by妖o尸ne屯b户it哲p乌os黑it余io惰n.n立方益体图鹅是用仅顶点排表示管个长之度为n的位要串的绑图。藏两个捎顶点怨相邻劝,当逆且仅及当他霸们所糟表示史的位为串恰村恰相弊差一坟位。Q1Q2Q301000111100000011011000100111111103220谷23踏/6据/2屡65.本2Gr来ap血h牵Te枕rm丘in弱ol跑og钓y(5迟)悬Bi奋pa闸rt灿it称e女Gr拼ap妻hs偶图惊(二撇分图土)A国si杨mp波le渐g最ra咳phGisbi闷pa昼rt掩it抗eifVca虹n因be胖p疾ar孕ti手ti锈on情ed琴i独nt测o蚀tw碎o藏di守sj磨oi蛾nt杆s赵ub昨se岗tsV1an延dV2su刊ch昼t肝ha称t观ev揪er东y风ed工ge为c圣on散ne达ct瓦s栏a势ve夫rt鲜ex朵i射nV1an搂d毛a扩ve筐rt驳ex皱i备nV2.若把辆简单蔽图G的顶巩点集渠分成朽两个束不相份交的境非空战集合V1和V2,使渠得图童里的巴每一女条边去都连抵接着V1里的伤一个物顶点捉与V2里的栗一个施顶点父,则G称为熊偶图No链te末:Th乱er平e辣ar伍e伍no运e糟dg娇es扭w协hi障ch说c素on见ne抄ct胸v顶er才ti邀ce您s蒙inV1or毅i郑nV2.Fo旁r漠ex接am捡pl萍e,3320宇23蚊/6蒜/2剃65.沟2Gr膊ap玻h糟Te美rm女in诸ol辰og猜y〖Ex脑am驴pl张e腿1〗IsC3bi托pa扣rt浮it浇e?v1v2v3No歇.3420虹23胳/6剑/2穗65.公2Gr娱ap逼h床Te建rm今in喇ol勉og俊y〖Ex馆am选pl栗e惠2〗IsC6bi顾pa阴rt局it烫e?Ye构s.Be缴ca卡us迹e隔we泻c程an捏d惭is愁pl棒ayC6li泻ke晴t光hi臭s:v5v1v2v3v4v6v1v6v2v5v3v43520笔23父/6墨/2傻65.壤2Gr蜻ap健h纺Te姐rm狱in墙ol剥og庙yTh叉eco滨mp闲le艘te仇b兄ip抗ar垮ti感te厘g栗ra老phis香t左he穿s沉im淘pl矛e迅gr刃ap评h扑th菠at澡h眼as浊i锁ts懂v能er预te辉x慨se择t蜂pa址rt感it测io篇ne甘d况in那to零t愧wo厉s弊ub竞se撒tsV1an忽dV2wi裤th之m萌a岸ndnve脚rt要ic谅es帐,轧re链sp普ec唯ti畅ve美ly尖,秧an拢dev驳er西yve沃rt膝exinV1is页c枝on嫂ne买ct尿ed跟t助oev乘e
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