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文档简介
2023-2024学年山东省青岛市即墨市中考适应性考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.若关于的方程的两根互为倒数,则的值为()A. B.1 C.-1 D.02.若a与﹣3互为倒数,则a=()A.3 B.﹣3 C.13 D.-3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中,把直线y=x向左平移一个单位长度后,所得直线的解析式为()A.y=x+1B.y=x-1C.y=xD.y=x-25.如图,二次函数y=ax1+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=1,且OA=OC.则下列结论:①abc>0;②9a+3b+c>0;③c>﹣1;④关于x的方程ax1+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣;⑤抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x1,y1),若x1<1<x1,且x1+x1>4,则y1>y1.其中正确的结论有()A.1个 B.3个 C.4个 D.5个6.已知一组数据2、x、8、1、1、2的众数是2,那么这组数据的中位数是()A.3.1;B.4;C.2;D.6.1.7.共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放1000辆单车,计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,则所列方程正确的为()A.1000(1+x)2=1000+440 B.1000(1+x)2=440C.440(1+x)2=1000 D.1000(1+2x)=1000+4408.在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的是()A.一组对边平行,另一组对边相等B.一组对边相等,一组对角相等C.一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线D.一组对边相等,一条对角线平分另一条对角线9.下列运算正确的是()A.3a2﹣2a2=1 B.a2•a3=a6 C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.(a+b)2=a2+2ab+b210.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,其顶点坐标为A(﹣1,﹣3),与x轴的一个交点为B(﹣3,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①abc>0;②不等式ax2+(b﹣m)x+c﹣n<0的解集为﹣3<x<﹣1;③抛物线与x轴的另一个交点是(3,0);④方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根;其中正确的是()A.①③ B.②③ C.③④ D.②④二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.在△ABC中,AB=1,BC=2,以AC为边作等边三角形ACD,连接BD,则线段BD的最大值为_____.12.如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点,点关于抛物线的对称轴的对称点为,点,分别在轴和轴上,则四边形周长的最小值为__________.13.如果x3nym+4与﹣3x6y2n是同类项,那么mn的值为_____.14.二次根式中字母x的取值范围是_____.15.如图,边长为6cm的正三角形内接于⊙O,则阴影部分的面积为(结果保留π)_____.16.已知(x+y)2=25,(x﹣y)2=9,则x2+y2=_____.17.在3×3方格上做填字游戏,要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等,若填在图中的数字如图所示,则x+y的值是_____.2x32y﹣34y三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转,得到矩形AB′C′D′,点C的对应点C′恰好落在CB的延长线上,边AB交边C′D′于点E.(1)求证:BC=BC′;(2)若AB=2,BC=1,求AE的长.19.(5分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段(点A,B的对应点分别为).画出线段;将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.画出线段;以为顶点的四边形的面积是个平方单位.20.(8分)已知是关于的方程的一个根,则__21.(10分)如图1,二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为D.(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示);(2)若以AD为直径的圆经过点C.①求抛物线的函数关系式;②如图2,点E是y轴负半轴上一点,连接BE,将△OBE绕平面内某一点旋转180°,得到△PMN(点P、M、N分别和点O、B、E对应),并且点M、N都在抛物线上,作MF⊥x轴于点F,若线段MF:BF=1:2,求点M、N的坐标;③点Q在抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过A、B两点,并且和直线CD相切,如图3,求点Q的坐标.22.(10分)某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.求y关于x的函数关系式;该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0<a<200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.23.(12分)如图,点A(m,m+1),B(m+1,2m-3)都在反比例函数的图象上.(1)求m,k的值;(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.24.(14分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是边AC上一点,以O为圆心,以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D,在BC的延长线上取点F,使得BF=EF.(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若∠A=30°,求证:DG=DA;(3)若∠A=30°,且图中阴影部分的面积等于2,求⊙O的半径的长.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、C【解析】
根据已知和根与系数的关系得出k2=1,求出k的值,再根据原方程有两个实数根,即可求出符合题意的k的值.【详解】解:设、是的两根,由题意得:,由根与系数的关系得:,∴k2=1,解得k=1或−1,∵方程有两个实数根,则,当k=1时,,∴k=1不合题意,故舍去,当k=−1时,,符合题意,∴k=−1,故答案为:−1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义,熟知根与系数的关系是解答此题的关键.2、D【解析】试题分析:根据乘积是1的两个数互为倒数,可得3a=1,∴a=13故选C.考点:倒数.3、B【解析】由中心对称图形的定义:“把一个图形绕一个点旋转180°后,能够与自身完全重合,这样的图形叫做中心对称图形”分析可知,上述图形中,A、C、D都不是中心对称图形,只有B是中心对称图形.故选B.4、A【解析】向左平移一个单位长度后解析式为:y=x+1.故选A.点睛:掌握一次函数的平移.5、D【解析】
根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案.【详解】解:由抛物线的开口可知:a<0,由抛物线与y轴的交点可知:c<0,由抛物线的对称轴可知:>0,∴b>0,∴abc>0,故①正确;令x=3,y>0,∴9a+3b+c>0,故②正确;∵OA=OC<1,∴c>﹣1,故③正确;∵对称轴为直线x=1,∴﹣=1,∴b=﹣4a.∵OA=OC=﹣c,∴当x=﹣c时,y=0,∴ac1﹣bc+c=0,∴ac﹣b+1=0,∴ac+4a+1=0,∴c=,∴设关于x的方程ax1+bx+c=0(a≠0)有一个根为x,∴x﹣c=4,∴x=c+4=,故④正确;∵x1<1<x1,∴P、Q两点分布在对称轴的两侧,∵1﹣x1﹣(x1﹣1)=1﹣x1﹣x1+1=4﹣(x1+x1)<0,即x1到对称轴的距离小于x1到对称轴的距离,∴y1>y1,故⑤正确.故选D.【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax1+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.本题属于中等题型.6、A【解析】∵数据组2、x、8、1、1、2的众数是2,∴x=2,∴这组数据按从小到大排列为:2、2、2、1、1、8,∴这组数据的中位数是:(2+1)÷2=3.1.故选A.7、A【解析】
根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以解答本题.【详解】解:由题意可得,1000(1+x)2=1000+440,故选:A.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.8、C【解析】A、错误.这个四边形有可能是等腰梯形.B、错误.不满足三角形全等的条件,无法证明相等的一组对边平行.C、正确.可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等.故是平行四边形.D、错误.不满足三角形全等的条件,无法证明相等的一组对边平行.故选C.9、D【解析】
根据合并同类项法则,可知3a2﹣2a2=a2,故不正确;根据同底数幂相乘,可知a2•a3=a5,故不正确;根据完全平方公式,可知(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故不正确;根据完全平方公式,可知(a+b)2=a2+2ab+b2,正确.故选D.【详解】请在此输入详解!10、D【解析】
①错误.由题意a>1.b>1,c<1,abc<1;
②正确.因为y1=ax2+bx+c(a≠1)图象与直线y2=mx+n(m≠1)交于A,B两点,当ax2+bx+c<mx+n时,-3<x<-1;即不等式ax2+(b-m)x+c-n<1的解集为-3<x<-1;故②正确;
③错误.抛物线与x轴的另一个交点是(1,1);
④正确.抛物线y1=ax2+bx+c(a≠1)图象与直线y=-3只有一个交点,方程ax2+bx+c+3=1有两个相等的实数根,故④正确.【详解】解:∵抛物线开口向上,∴a>1,
∵抛物线交y轴于负半轴,∴c<1,
∵对称轴在y轴左边,∴-<1,
∴b>1,
∴abc<1,故①错误.
∵y1=ax2+bx+c(a≠1)图象与直线y2=mx+n(m≠1)交于A,B两点,
当ax2+bx+c<mx+n时,-3<x<-1;
即不等式ax2+(b-m)x+c-n<1的解集为-3<x<-1;故②正确,
抛物线与x轴的另一个交点是(1,1),故③错误,
∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠1)图象与直线y=-3只有一个交点,
∴方程ax2+bx+c+3=1有两个相等的实数根,故④正确.
故选:D.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式,二次函数与一元二次方程等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用数形结合的思想解决问题.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、3【解析】
以AB为边作等边△ABE,由题意可证△AEC≌△ABD,可得BD=CE,根据三角形三边关系,可求EC的最大值,即可求BD的最大值.【详解】如图:以AB为边作等边△ABE,
,
∵△ACD,△ABE是等边三角形,
∴AD=AC,AB=AE=BE=1,∠EAB=∠DAC=60o,
∴∠EAC=∠BAD,且AE=AB,AD=AC,
∴△DAB≌△CAE(SAS)
∴BD=CE,
若点E,点B,点C不共线时,EC<BC+BE;
若点E,点B,点C共线时,EC=BC+BE.
∴EC≤BC+BE=3,
∴EC的最大值为3,即BD的最大值为3.
故答案是:3【点睛】考查了旋转的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,以及三角形的三边关系,恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键.12、【解析】
根据抛物线解析式求得点D(1,4)、点E(2,3),作点D关于y轴的对称点D′(﹣1,4)、作点E关于x轴的对称点E′(2,﹣3),从而得到四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′,当点D′、F、G、E′四点共线时,周长最短,据此根据勾股定理可得答案.【详解】如图,在y=﹣x2+2x+3中,当x=0时,y=3,即点C(0,3),∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x-1)2+4,∴对称轴为x=1,顶点D(1,4),则点C关于对称轴的对称点E的坐标为(2,3),作点D关于y轴的对称点D′(﹣1,4),作点E关于x轴的对称点E′(2,﹣3),连结D′、E′,D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点,四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′=DE+D′E′==∴四边形EDFG周长的最小值是.【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及两点间的距离公式,解题的关键是熟练掌握抛物线的性质,利用数形结合得出答案.13、0【解析】根据同类项的特点,可知3n=6,解得n=2,m+4=2n,解得m=0,所以mn=0.故答案为0点睛:此题主要考查了同类项,解题关键是会判断同类项,注意:同类项中含有相同的字母,相同字母的指数相同.14、x≤1【解析】
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数,即可求解.【详解】根据题意得:1﹣x≥0,解得x≤1.故答案为:x≤1【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.15、(4π﹣3)cm1【解析】
连接OB、OC,作OH⊥BC于H,根据圆周角定理可知∠BOC的度数,根据等边三角形的性质可求出OB、OH的长度,利用阴影面积=S扇形OBC-S△OBC即可得答案【详解】:连接OB、OC,作OH⊥BC于H,则BH=HC=BC=3,∵△ABC为等边三角形,∴∠A=60°,由圆周角定理得,∠BOC=1∠A=110°,∵OB=OC,∴∠OBC=30°,∴OB==1,OH=,∴阴影部分的面积=﹣×6×=4π﹣3,故答案为:(4π﹣3)cm1.【点睛】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的性质,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半;熟练掌握圆周角定理是解题关键.16、17【解析】
先利用完全平方公式展开,然后再求和.【详解】根据(x+y)2=25,x2+y2+2xy=25;(x﹣y)2=9,x2+y2-2xy=9,所以x2+y2=17.【点睛】(1)完全平方公式:.(2)平方差公式:(a+b)(a-b)=.(3)常用等价变形:,,.17、0【解析】
根据题意列出方程组,求出方程组的解即可得到结果.【详解】解:根据题意得:,即,解得:,则x+y=﹣1+1=0,故答案为0【点睛】此题考查了解二元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)证明见解析;(2)AE=.【解析】
(1)连结AC、AC′,根据矩形的性质得到∠ABC=90°,即AB⊥CC′,根据旋转的性质即可得到结论;(2)根据矩形的性质得到AD=BC,∠D=∠ABC′=90°,根据旋转的性质得到BC′=AD′,AD=AD′,证得BC′=AD′,根据全等三角形的性质得到BE=D′E,设AE=x,则D′E=2﹣x,根据勾股定理列方程即可得到结论.【详解】解::(1)连结AC、AC′,∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=90°,即AB⊥CC′,∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转,得到矩形AB′C′D′,∴AC=AC′,∴BC=BC′;(2)∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∠D=∠ABC′=90°,∵BC=BC′,∴BC′=AD′,∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转,得到矩形AB′C′D′,∴AD=AD′,∴BC′=AD′,在△AD′E与△C′BE中∴△AD′E≌△C′BE,∴BE=D′E,设AE=x,则D′E=2﹣x,在Rt△AD′E中,∠D′=90°,由勾定理,得x2﹣(2﹣x)2=1,解得x=,∴AE=.【点睛】本题考查了旋转的性质,三角形全等的判定和性质,勾股定理的应用等,熟练掌握性质定理是解题的关键.19、(1)画图见解析;(2)画图见解析;(3)20【解析】【分析】(1)结合网格特点,连接OA并延长至A1,使OA1=2OA,同样的方法得到B1,连接A1B1即可得;(2)结合网格特点根据旋转作图的方法找到A2点,连接A2B1即可得;(3)根据网格特点可知四边形AA1B1A2是正方形,求出边长即可求得面积.【详解】(1)如图所示;(2)如图所示;(3)结合网格特点易得四边形AA1B1A2是正方形,AA1=,所以四边形AA1B1A2的面积为:=20,故答案为20.【点睛】本题考查了作图-位似变换,旋转变换,能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键.20、10【解析】
利用一元二次方程的解的定义得到,再把变形为,然后利用整体代入的方法计算.【详解】解:是关于的方程的一个根,,,.故答案为10.【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.21、(1)(1,﹣4a);(2)①y=﹣x2+2x+3;②M(,)、N(,);③点Q的坐标为(1,﹣4+2)或(1,﹣4﹣2).【解析】分析:(1)将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标.(2)①以AD为直径的圆经过点C,即点C在以AD为直径的圆的圆周上,依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形,且∠ACD=90°,A点坐标可得,而C、D的坐标可由a表达出来,在得出AC、CD、AD的长度表达式后,依据勾股定理列等式即可求出a的值.②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN,说明了PM正好和x轴平行,且PM=OB=1,所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标;首先根据①的函数解析式设出M点的坐标,然后根据题干条件:BF=2MF作为等量关系进行解答即可.③设⊙Q与直线CD的切点为G,连接QG,由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ=45°,那么△QGD为等腰直角三角形,即QD²=2QG²=2QB²,设出点Q的坐标,然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长,根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标.详解:(1)∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,∴D(1,﹣4a).(2)①∵以AD为直径的圆经过点C,∴△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°;由y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣3)(x+1)知,A(3,0)、B(﹣1,0)、C(0,﹣3a),则:AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得:AC2+CD2=AD2,即:9a2+9+a2+1=16a2+4,化简,得:a2=1,由a<0,得:a=﹣1,②∵a=﹣1,∴抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+3,D(1,4).∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN,∴PM∥x轴,且PM=OB=1;设M(x,﹣x2+2x+3),则OF=x,MF=﹣x2+2x+3,BF=OF+OB=x+1;∵BF=2MF,∴x+1=2(﹣x2+2x+3),化简,得:2x2﹣3x﹣5=0解得:x1=﹣1(舍去)、x2=.∴M(,)、N(,).③设⊙Q与直线CD的切点为G,连接QG,过C作CH⊥QD于H,如下图:∵C(0,3)、D(1,4),∴CH=DH=1,即△CHD是等腰直角三角形,∴△QGD也是等腰直角三角形,即:QD2=2QG2;设Q(1,b),则QD=4﹣b,QG2=QB2=b2+4;得:(4﹣b)2=2(b2+4),化简,得:b2+8b﹣8=0,解得:b=﹣4±2;即点Q的坐标为(1,)或(1,).点睛:此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点;后两个小题较难,最后一题中,通过构建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半径间的数量关系是解题题目的关键.22、(1)=﹣100x+50000;(2)该商店购进A型34台、B型电脑66台,才能使销售总利润最大,最大利润是46600元;(3)见解析.【解析】【分析】(1)根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式;(2)根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围,再结合(1)所求函数解析式及一次函数的性质求解可得;(3)据题意得y=(400+a)x+500(100﹣x),即y=(a﹣100)x+50000,分三种情况讨论,①当0<a<100时,y随x的增大而减小,②a=100时,y=50000,③当100<m<200时,a﹣100>0,y随x的增大而增大,分别进行求解.【详解】(1)根据题意,y=400x+500(100﹣x)=﹣100x+50000;(2)∵100﹣x≤2x,∴x≥,∵y=﹣100x+50000中k=﹣100<0,∴y随x的增大而减小,∵x为正数,∴x=34时,y取得最大值,最大值为46600,答:该商店购进A型34台、B型电脑66台,才能使销售总利润最大,最大利润是46600元;(3)据题意得,y=(400+a)x+500(100﹣x),即y=(a﹣100)x+50000,33≤x≤60,①当0<a<100时,y随x的增大而减小,∴当x=34时,y取最大值,即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大.②a=100时,a﹣100=0,y=50000,即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时,均获得最大利润;③当100<a<200时,a﹣100>0,y随x的增大而增大,∴当x=60时,y取得最大值.即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大.【点睛】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用,弄清题意,找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键.23、(1)m=3,k=12;(2)或【解析】【分析】(1)把A(m,m+1),B(m+3,m-1)代入反比例函数y=,得k=m(m+1)=(m+3)(m-1),再求解;(2)用待定系数法求一次函数解析式;(3)过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,两线交于点P.根据平行四边形判定和勾股定理可求出
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