第一章图论的基本概念

1.图论问题的起源

18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块,它们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民热衷于这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发，经每座桥一次且仅一次回到出发点？”SNAB七桥问题的分析

七桥问题看起来不难，很多人都想试一试，但没有人找到答案.后来有人写信告诉了当时的著名数学家欧拉.千百人的失败使欧拉猜想,也许那样的走法根本不可能.1876年,他证明了自己的猜想.Euler把南北两岸和四个岛抽象成四个点,将连接这些陆地的桥用连接相应两点的一条线来表示,就得到如下一个简图:SNAB欧拉的结论欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次回到出发点的路线的充要条件是:1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接起来;2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数.由此得出结论:七桥问题无解.欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇之作,因此称欧拉为图论之父.4.图的作用

图是一种表示工具.改变问题的描述方式,往往是创造性的启发式解决问题的手段.一种描述方式就好比我们站在一个位置和角度观察目标,有的东西被遮挡住了,但如果换一个位置和角度,原来隐藏着的东西就可能被发现.采用一种新的描述方式,可能会产生新思想.图论中的图提供了一种直观,清晰表达已知信息的方式.它有时就像小学数学应用题中的线段图一样,能使我们用语言描述时未显示的或不易观察到的特征、关系,直观地呈现在我们面前,帮助我们分析和思考问题,激发我们的灵感.5.图的广泛应用图的应用是非常广泛的,在工农业生产、交通运输、通讯和电力领域经常都能看到许多网络,如河道网、灌溉网、管道网、公路网、铁路网、电话线网、计算机通讯网、输电线网等等.还有许多看不见的网络,如各种关系网,像状态转移关系、事物的相互冲突关系、工序的时间先后次序关系等等,这些网络都可以归结为图论的研究对象----图.其中存在大量的网络优化问题需要我们解决.还有象生产计划、投资计划、设备更新等问题也可以转化为网络优化的问题.6.基本的网络优化问题基本的网络优化问题有:最短路径问题、最小生成树问题、最大流问题和最小费用问题.图论作为数学的一个分支,已经有有效的算法来解决这些问题.当然这当中的有些问题也可以建立线性规划的模型,但有时若变量特别多,约束也特别多,用线性规划的方法求解效率不高甚至不能在可忍受的时间内解决.而根据这些问题的特点,采用网络分析的方法去求解可能会非常有效.例如,在1978年,美国财政部的税务分析部门在对卡特尔税制改革做评估的过程中,就有一个100,000个约束以上,25,000,000个变量的问题,若用普通的线性规划求解,预计要花7个月的时间.他们利用网络分析的方法,将其分解成6个子问题,利用特殊的网络计算机程序,花了大约7个小时问题就得到了解决.由于后续学习的需要,我们补充离散数学中的一些基本内容:关系与函数.第一章图的基本概念(1)定义1图图G是一个三元组,记作其中(1)V(G)={v1,v2,…,vn},称为图G的结点集.(2)E(G)={e1,e2,…,em}是G的边集合,其中ei为{vj,vt}或<vj,vt>.若ei为{vj,vt},称ei为vj和vt为端点的无向边;若ei为<vj,vt>,称ei为vj为起点,vt为终点的有向边;(3)称为关联函数.第一章图的基本概念(2)定义2.邻接结点:关联于同一条边的两个结点.孤立结点:不与任何结点相连接的结点.邻接边:关联于同一顶点的两条边.环:两端点相同的边称为环或自回路.平行边:两个结点间方向相同的若干条边称为平行边或重边对称边:两端点相同但方向相反的两条有向边.第一庄章撕图的怖基本漂概念(3附)定义3无向奇图:每条之边都养是无杠向边嘱的图.有向稻图:每条诊边都补是有喘向边柿的图.混合耕图:图中庆不全蓄是有偏向边,也不火全是汁无向呢边的赞图.平凡驴图:只有幅一个号孤立馅结点雨的图.定义4.多重亡图:含有背平行橡边的还图.简单乡丰图:无环配且无眠平行充边的太图.完全旨图:任何墨不同萝结点滩之间板都有耍边相很连的提简单欣无向事图.第一置章肥图的洪基本凉概念(4泛)说明:(支1)在简横单图揪中,以x为起珠点y为终上点的色边至旷多有暗一条,因此,图中欧的边戚可直沈接用痛顶点瓶对表唇示,而关骄联函逝数挽就敬可以晶直接裂表示辟在其减边集菌中,故可萍简记宿为G=赖<V敞(G蓝),衡E(棚G)纸>.(2壶)对无错向图G,将G中的闸每条妙边用监两条富与e有相县同端辽点对属称边e和e’来代板替后悼得到矩一个跨有向搁图D,这样猫得到椒的有猾向图D称为G的对号称有宰向图.由此遮可见,无向壮图可痛视为坛特殊熟的有阻向图.(3幼)n个结遗点的玩完全扮图记励为Kn,完全绘图Kn有效条边.完全映图的绘对称揪有向毕图称肆为完探全有佩向图,记作.(4钻)图G的顶挽点个醉数还嗓称为搅图G的阶.(5乎)对于流有向做图D,去掉瓜边上肯的方揭向得致到的蛇无向右图G称为D的基迈础图.反之,任一到个无顷向图G,将G的边插指定每一个琴方向钻得到途一个浩有向内图D,称D为G的一纲个定橡向图.例博证明:在任弓意六腐个人未的聚收会上,要么部三个挑曾相劲识,要么寒三个灰不曾仿相识.证明:用A,堂B,胡C,邪D,特E,典F代表尊这六灶个人,若两田人曾阻相识,则在份代表订该两腔人的赏顶点锣间连兆一条捞红边;否则厦连一渣条蓝翼边.于是,原问慰题等翠价于陵证明轻所得么图中疑必含合有同亲色三小角形.考察仔某一鸽顶点,设为F.与F关联线的边辛中必餐有三枝条同碧色,不妨改设它袜们是示三条减红边FA惨,F冶B,王FC厉.再看怠三角初形AB绸C.若它择有一恰条红灶边,设为AB铺,则FA拾B是红躺边三廊角形;若三蹄角形AB筑C没有喘红边,则其稿本身咱就是私蓝边铜三角勾形.第二牺节勾图色的顶萍点度泪和图列的同侧构(1望)定义1设G是任粮意图,x为G的任皇意结核点,与结辆点x关联配的边数(一条涌环计恶算两血次)称为x的度亡数.记作de胳g(筛x)或d(轧x)鱼.定义2设G为无饼向图,对于G的每践个结陡点x,若d(朝x)族=K散,则称G为K正则山的无阿向图.设G为有极向图,对于G的每协个结写点x,若d+(x兔)=棉d-(x替),则称G为平衡服有向些图.在有加向图G中,若伍则侄称G为K正则董有向牢图.定理1(握手则定理往，图韵论基即本定圈理)每个画图中,结点疑度数者的总酒和等士于边队数的阔二倍,即定理2每个零图中,度数众为奇屈数的毕结点版必定缝是偶镜数个.第二论节贺图誓的顶遮点度薪和图沃的同母构(2徐)定理3在任袭何有暑向图顿中,所有滑结点辩入度胞之和竞等于重所有闻结点钥出度停之和.证明酸因燃为每驾条有题向边只必对壤应一疏个入肢度和额出度,若一夜个结与点具膀有一赶个入吵度或诉出度,则必锻关联手一条裂有向超边,因此,有向亲图中杂各结金点的朋入度轻之和墙等于目边数,各结杀点出吗度之贿和也吸等于嫂边数.定义简度瓦序列,若V(垫G)锡={杂v1,v2,…蝴,vp},称非荒负整恳数序劳列(d渡(v1),累d(阀v2),赵…,d(谣vp))为图G的度难序列.第二稿节遣图奸的顶跪点度富和图租的同猾构(3恩)推论1非负片整数岁序列遇是某默个图拳的度色序列棒当且鹅仅当旬是涂偶数.证明:由定暗理1知必漏要性绞成立.对于草充分处性取p各相弃异顶预点v1,v2,…润,vp,若di是偶津数,就在vi处作di/2个环;若di是奇季数,在vi处作(di-1虎)/昌2个环,由于薯是偶换数,故挽中由挂偶数歌个奇丈数顶纷点,从而迈将所滚有与唇奇数di相对应丘的顶沫点vi两两惰配对滤并连靠上一息条边.最后师所得移的序议列就修是.第二秃节疑图放的顶艇点度箩和图果的同洽构(4仙)图序殊列:简单尼图的激度序备列.定理4非负棍整数下序列携是图罗序列暮当且跳仅当貌是尺偶数,并且掌对一蕉切整毁数k,有定义3设G1=<匠V1,E1>和G2=<坑V2,E2>是简旺单图,若存白在一以个从V1到V2的双井射函鹿数f,且f具有升这样沫的性论质,对V1中的黄所有x和y,招x和y在G1中相邻,当且尽仅当f(尝x)和f(饶y)在G2中相邻,就说G1和G2是同构叙的,记作G1∽G2.例1画出悦所有析不同萍构的茶具有5个结留点,3条边恐的简攀单无仿向图.例2是否龙可以个画一仆个简吃单无浪向图,使各分点度顷数与言下列也的序庙列一海致:(烂1)洞2,肆2,涉2,遍2,蛋2,逮2宫(2损)2鸽,2务,3后,4余,5轨,6乳(勇3)颂1,咐2彩,3毫,4艺,4惕,5第三候节颠图葬的运剃算(一）定义1设拖与永是或任何说两个核图.若且械是继在些上的耐限制,则称是G的子苏图,记作称G为G1的母喂图.若丑且,则称纷是G的生回成子摩图或眼支撑助子图.设,以V1为顶点,以两深端点拍均在V1中的钟全体保边为边境集的G的子图,称为V1的导出啄子图,记作G[商V1].设,以E1为边集,以E1中的轿边关果联的沟全部虑顶点集的G的子图,称为E1的导出湿子图,记作G[蒙E1].特别,若,则以G-承V1表示智从G中删拐去V1内的笑所有坛点以骆及与杰这些姜顶点种关联含的边戒所得矮到的爆子图,若V1={准v}脂,常把G-舅{v驾}简记幅为G-纳v,桃,类似懂地,设,G浅-E1表示盖在G中删眠去E1中所止有边照所得宜的子厉图,同样G-随{e防}简记午为G-缎e.第三秃节谈图毛的运柄算(二）定义2设G＝<V，E>是n阶无形向简恩单图,以V为顶械点集,以所港有能旬使G成为完全询图Kn的添乖加边津组成吵的集躁合为芹边集芹的图,称为G相对董于完全壳图Kn补图,简称G的补皆图,记作.定义3设G1和G2都是锐图G的子耐图.G1和G2的并:仅由G1和G2中所有夏边组最成的黄图.G1和G2的交:仅由G1和G2的公溪共边栗组成提的图.G1和G2的差G1-G2:仅由G1中去掉G2中的忠边组简成的乞图.G1和G2的环和:在G1和G2的并省中去掉G1和G2的交般所寸得到衡的图.定义4.自补暴图:若简取单图G同构进于G的补爆图,则称G为自倘补图.(1霸)证明:自补各图的稿阶数掏为n=吗4k或n=烫4k浅+1僵,k为某自个自病然数.(自己鲜查阅)(2及)找出淋所有4阶和5阶的辛自补要图.例.在一俱次舞泄会上,A安,B两国六留学拼生各n人,A国每电个学疮生都忍与B国一丧些学族生(不是极所有)跳过宝舞.B国每控个学捕生至裁少与A国一烟个学蠢生跳绑过舞.证明:一定跳可以榜找到A国两是个学爹生a1忧,a评2及B国两纯个学绣生b1滴,b浩2,使得a1和b1久,a聪2和b2跳过自舞,而a2和b1炭,a薪1和b2没有皂跳过庄舞.(自己轿思考)图的运算(三)定义别四:设G1和G2是任两个销无向怨图,苍G1和G2的笛范卡儿晨积为友图,其中G满足:银V(戒G)倦=V洞(G1)满V(驾G2);光G中的汤两顶膨点<a兔,b宏>和<c钥,d授>是邻觉接的洋当且铲仅当a=锯c且{b,设d}塑E逆(G2)或者b=霉d且{a粮,c薯}师E园(G1).说明:(炊1)通过瓶图的抗笛卡阵儿积费运算,可归绝纳地叙定义接一个傍重要摔的图漏类--棵-n立方捡体Qn(n1献):当n=围1,决Qn=K2;当n>恶1,共Qn=Qn-扭1K2.(2恒)n立方观体Qn也可翅以看址作是蚊用顶罚点表坦示2n个长斧度为n的位枝串图.两个堵顶点别相邻,当且警仅当捏它们堆所表问示的举位串川恰恰篮差一稻位.第四趟节昏路俱与连献通图(一)定义1设u和v是任承意图G的顶蓄点,图G的一笔条u-捧v是有不限的涨顶点呀和边骗交替烛序列u0e1u1e2…un-蓄1enun(u前=辆u0,v看=un),其中电与边ei(1i国吼n)相邻存的两唯顶点ui-凶1和ui正好恼是ei的两防个端童点.数n(链中者出现据的边币数)称为幸链的迷长度.u波(u0)和v(敬un)称为肉链的密端点,其余驾的顶想点称害为链满的内爪部点.一条u-雾v链,当uv时,称它开为开傻的,否则毅称为舅闭的.边互失不相标同的乐链称暖为迹,内部啦点互筹不相裂同的械链称拐为路.注释1.(1味)在一购条链忽中,顶点续和边爹可以哨重复.(2愚)若G是简熔单图,G中的亲链u0e1u1e2…un-脊1enun还可冠用结头点序枕列u0u1…un-傻1un表示.(3冰)不含奴边的挑链(即长泼度为0)称为蹦平凡扔链.(4望)设W是有晨向图D中u-滥v链(迹,路),指定W的方命向从u到v.若W中所译有边瓶的方缎向与灰此方伤向一漆致,则称W为D中从u到V的有察向链(迹,路).第四缎节仔路狂与连疤通图(二)定义2.两端夹点相裤同的械迹(即闭批集)称为躬回.两端红点相她同的饼路(即闭厕路)称为即圈或甩回路.长度另为K,奇数,偶数挪的回(圈)分别裙称为K,奇,偶回(圈).有向庄闭迹(闭路)称为蛾有向眉回(有向漠圈).定理1.若简意单图G中每砌个顶督点的蜓度数档至少助是k(醉k2疫),则G中必蹄含有销一个筝长度扎至少减是k+气1的圈.证明:在G的所些有路床中,取一漂条长剪度最素长的浩路p,记P=懂v0v1…vt-脸1vt.则v0的所粪有邻葡接点萍全在p中,由于d(典v0)垫k谢界2,所以v0至少皂有k个邻烧接点,设所降有邻葬接点谱为vi1,vi2,…来,vis,1栏i1i2…掏暴ist纯,其中s=退d(非v0)尾k错月2,则C=餐v0v1v2…visv0就是G的一它个长裳为is+1的圈,显然is+1烟发k情+1轰.第四秧节佛路窃与连令通图(三)定理2.设简致单图G中每尘个顶宇点的冲度数闻至少果是3,则G中含煤有偶众圈.证明:在G的所工有路猜中,取一膜条长自度最颠长的室路p,记P=曾v0v1…vt-材1vt.则v0的所阻有邻榴接点绞全在p中,设v0的所听有邻旅接点籍为vi1,vi2,…邻,vis,1稼i1i2…肥震ist辰,其中s=密d(糖v0)染3对,在G中取筐三个仗圈c1=v0v1…vi2v0晓,c2=v0v1…visv0,c3=v0vi2vi2普+1…visv0,它们丢的长陵度分探别为i2+1苗,is+1和is-i2+2渐.这三盛个数幅中至但少有殊一个贩是偶用数.即c1,秀c2,微c3中至少铸有一勤个是缝偶圈.定义3.给定区无向篇图G=任<V氧(G紧),凭E(款G)装,客(G略)>壁,x,词yV(封G)椅,若图翠中存蹲在连靠接x和y的路,称节上点x和y是连言通的.规定x到自赖身总神是连净通的.第四抹节王路傻与连伶通图(四)1.说明:容易湾验证,结点茂集V(掀G)上的犯顶点央间的吃连通挨关系是V(典G)上的扛一个等价斩关系,该等梦价关表系确付定V(达G)的一困个划分{V1,V2,…竭,Vm},使得当且贺仅当两个顶顶点x和y属于蒙同一子顷集Vi时,熄x和y才是答连通垒的.绣Vi在G中的状导出脊子图G[姥V1],喇G[思V2],苗…,G[善Vm]称为G的连通循分支避或分颜支,m称为G的连钥通分戚支数,记作W(松G)社=m当.如下葱图有4个连僚通分唯支.定义4.如果探无向去图G中每化一对桌不同匀的顶诊点x和y都有一条路,即W(沙G)根=1训,则称G是连扬通图,反之露称为猴非连年通图.第四索节聚路仰与连林通图(五)引理1非平甚凡图G是连通信图当且去仅当对V(互G)的每畜一个抗非空樱真子胜集S,定理3设G是P阶连奋通图,则证明:只需甘证明躺连通源的简枪单图风成立苦即可.设悬挂雀点:度数堂为1顶点.第四薄节匀路铺与连愧通图(六)定理4设连途通图G至少喷有两杜个顶渗点,其边悼数小车于顶哲点数,则此寨图至衡少有并一个恶悬挂册点.证明:设图G是满厨足条指件的P阶图.反设辆图G没有惨悬挂诞点,由于G是连产通图,故每吼个顶厚点的黑度数技至少也为2,即对跨每个担顶点v,宅d(轿v)2妹,故,与厘矛盾.定理5设简汗单图G的结能点序过列为.度数神依次撇是d(挽v1)≤d(晴v2)≤…≤d(葬vp)胡,如果组对任柄意的文则G是连青通图.证明:反设G不连菜通,令G1是G中不乱含vp的一现个连姻通分类支,惰,而G2是G中含vp的一提个连鸽通分及支,则G2至少炮有锐个秀顶点,且第四望节僻路材与连紧通图(七)则由已知,摇.若记则,则与伸矛感盾.推论1设G是P阶简键单图,每个支顶点腐的度最至少丑是[P蜡/2饿],则G是连消通图.定义5设缩慧是气有向影图,斯,若图D中存辟在x到y的有丙向路,称结般点x可达黑结点y.规定x到自柏身总斤是可惧达的.定义6设G是有剑向图,任何筹结点芒间,至少矛有一蛋个结吹点可贯达另协一个炉结点,则称忘该有备向图终是单柏侧连倚通的.如果偶有向智图D的任虹何一摊对结才点间屑是相棕互可狸达的,则称棉该有屡向图覆是强侵连通化的.若有腥向图G的基究础图小是连布通的,则称悟该有舌向图D是弱盏连通睬的.定义7设G是有研向图,光,叛G中所清有从x到y的有却向路气的最丛小长穗度称湿为从x到y的距瓦离.称为走图G的直增径.第五作节哨连翅通图扫和二驶分图(1良)定义1如果范在图G中删盛去一陵个结版点x后,图G连通工分支稀数增释加,即W(抽G-忠x)乱>W墨(G暴),则称这结点x为G的割柜点.如果松在图G中删立去一产条边e后,图G的连框通分第支数会增加,即W(池G-尤e)患>W察(G志),则称闸边e为G的割殖边.定义2没有斜割点生的非峡平凡劫连通缸图称份为块.G中不稀含割陷点的天极大寄连通鼓子图兴称为生图G的块.定义3如果G的顶淡点集芝的一故个真羽子集T满足G-病T不连乏通或描是平莲凡图,则称T为G的一壁个点民割.如果唐图G的边芦集的咳一个斑真子盟集S满足G-翠S不连轿通或索是平疤凡图,则称S为G的一劈燕个边申割.定义4设G是连断通图,称针是G的点微割}为G的点安连通泰度或咬连通羞度;称天是G的边壮割}为G的边质连通雪度.定理1对一朝个图G,有饲是图G的最疲小顶测点度.证明:若G不连拿通,则际结霸论成猜立.若G连通.(1逼)先证般设x是G中度符数最番小的遍顶点,即.设所尼有与举关盖联的捏边集服为S(距x)迁,显然x是G-像S(希x)的一袄个孤碗立点.所以(2践)再证当举时,显然假设枯对所读有恭的唇图G有运设S是H的一撑个边痛割,且浅若及边告易谱知故由勾假设捞知蔬并狼设T是H-论e的一咐个点洁割,且协此单时,就是H的一泊个点馒割,即K(咬H)≤︱T矩∪{戚u}︱德≤n夕+1拍=（H）.再由散归纳盯假设桑即知K(钥G)≤（G）结论壁成立.第五寇节坝连裹通图加和二株分图(3帽)定义5如果坚无向鞋图G的连通赵度禾称图G是n连通限的或G为n连通柴图.若膀称图G是n边连挂通的许或G为n边连厌通图.定理2设图G是n连通赖的,则对(反证)定理3设G是2边连叼通图,则G有强连淘通的雾定向漠图.证明:设G是2边连拌通图,则G必含傅有圈.先取滋一个脖圈C1,定义G的连忌通子鸽图序恩列G1,G2,…如下:离G1=湿C1;若Gi(i=1饲,2秆,…沈)不是G的生厘成子原图,设vi是在G中而扒不在Gi中的稍一个途顶点,则存烧在从vi到Gi的边静不重亏路Pi和Qi,定义,由于援该序午列必覆终止般于G的一陷个生停成子问图Gn.依次圈对每笔个Gi定向:首先动让G1的定追向图愤成为尝一个倡有向售圈;对设已冶有定塌向图,让Pi成为侍以vi为始仅点的家有向沃路,而Qi成为炎以vi为终甚点的总有向筹路,得,即狗是辣强连着通图i=圾1,含2,碗…n绩.第五翅节础连施通图羡和二荒分图(4蒜)因此全最后嗽的甚是踢强连仇通有泰向图.由于Gn是G的生吃成子拣图,所以G有强齿连通训的定轮向图.一个受图G有强仍连通言的定坡向图缎的必造要条饶件是G为2边连窄通的.否则G有割江边,这与G有强阴连通领的定掠向图救矛盾.定义6把简辩单图G的顶堆点集艺合分标成两甩个不聚相交典的非垫空集鸦合V1,V2,使得睛图G中的鲜每一映条边,与其粉关联筛的两旗个结已点分贵别在V1和V2中,则G称为零偶图驼或二闲分图,记作G=乎<V1,V2,E课>,其中V1和V2叫做G的二梳划分.对于丢二分粗图G=俘<V1,V2,E歌>,若,V1中的我任意虹一点伴与V2中的蝇所有送点相评邻且V2中的斩任意夜一点施与V1中的经所有妄点相辅邻,则称该图伐为结细点m和n的完专全偶战图或惯完全惩二分收图,记作Km,岭n.例1试说舌明n立方倘体Qn是二逗分图.证明:不妨脉设草由Qn的定安义知Qn是简赞单图.假定则边,即两搭结点悼序列础恰差苏一位.令显然.而且,若存宁在即搁与科矛盾.所以X中任之何两企顶点毒之间胞无边维相连.同理他可证Y中任浊何两然顶点存之间此也无香边相框连.因此Qn是二掠分图.定理4非平歪凡图G是二秧分图当且拍仅当G中不昌含有山长为崭奇数版的圈.证明:(碰)设G是一物个二务分图,G的二暂分为V1和V2,则G[耗V1]和G[夫V2]为零核图.设v=刑v1v2…vkv1是G中长拨度为k的一牛个圈.下证k为偶凤数.不妨歼设煤由态于v2和v1相邻,故;同样股有又最康后一桌个顶方点是V1,故k必为往偶数.不妨捆设G中每画一对慎点之归间有瘦路连冠接(否则还只考旧虑G的每毛个每项一对除点之盈间有打路连过接的酸极大重子图).任取G的一宴个顶督点u,由G的假计设,对G的每魔个顶拣点v,在G中存失在u-丈v路.现利毙用u对G的顶霸点进拜行分林类.设显然,威.由于G中不射存在虾长度粒为奇界数的肚圈,所以责对任某意一吵个点v,伙G中所农有从u到v的路使的长碌度都爱有相炊同的调奇偶堡性,因而厦由G的假辟设,现对G的每叮一条携边e=见{u1,u2},若u1,u2都在V1上,则存似在两防条路P1与P2分别签连接u与u1和u与u2,且P1与P2的长度末均为肉偶数,闭链局的长诱度为把奇数,故G中有限一条晴长为缓奇数闷的圈,矛盾.同样u1和u2不能除同时里在V2中.故e的两烤个端片点分租别在V1和V2中.因此G是二敌分图.第六泊节穷图健的矩右阵表钻示(1锹)1.邻接圈矩阵:设昆是任抹意图,其中V=伶{x1,x2,…准,xn},户E={拒e1,e2,…榴,em},则n阶方繁阵A=晕(aij)称为G的邻香接矩洋阵.其中aij为图G中以xi为起聋点且历以xj为终雅点的砖边的拔数目.说明1:由定米义易贱知,无向滑图的货邻接巷矩阵音是对障称矩彩阵,而有独向图银的邻刷接矩浅阵未架必是棕对称喉矩阵.(如P2成7)定理1已知篇有向犁图,其中V=览{x1,x2,…氧,xn},且A=矛(aij)nn为G的邻昆接矩吊阵,则Ak中的i和j列元列素aij(k)是图G中从xi到xj且长货度为k的有盼向链柿的数搜目.证明:裙k=饭1时,结论践显然域成立.若Ak-傅1第i行j列元苍素aij(k嚼-1悼)是G中长毫度为k-态1的从xi到xj的有宵向链末的数旺目.又Ak=Ak-拼1A,所以aij(k)=因为G中每摸条从xi到xj且长马度为k的有杀向链唇都是乖由长诸度为k-婆1的从xi到xt(1t甘耽n)的链倚再接仗上边<xt,xj>而得.据归欲纳假般设知低定理静得证.说明2:该定浙理同想样适赖合无妙向图,且定静理中皇的链嗓不能圈改为登迹或怖路.第六劫节丢图陵的矩宰阵表蜘示(2天)推论1若G是P阶简愚单图,且G的邻接谜矩阵太为A=细(aij),则对G的每榴一个建顶点vi,i旨=1含,2略,…腿,p型,有d(见vi)=齿aii(2昏),其中A2=(气aii(2某)).证明:因为铃图G中与描顶点vi关联忆的边愉数等涌于从vi到vi长为2的链己的数乒目,故由符定理1知结纲论成浓立.R=亡A+许A2+…周+Ap-尊1=(rij),rij为xi到xj长度悟不超奔过p-毅1的链刘的数班目定理2已知P(有P3坐)阶图G的邻评接矩驴阵为A,作P阶方作阵R=肉A+支A2+…顿+Ap-惹1,则图G连通贿的充分欺必要袜条件为R中的工每个翼元素字都不设为零.2.关联衰矩阵:设材是有刃向图,且V=,称蚊阶矩戏阵M