第章 锐角三角函数

第28章锐角三角函数结构导图28.1锐角三角函数第1课时正弦、余弦、正切第2课时三角函数值的应用第3课时特殊角的三角函数28.2解直角三角形第1课时解直角三角形第2课时应用举例（1）第3课时应用举例（2）专题一三角函数与圆（1）专题二三角函数与圆（2）28.1锐角三角函数第1课时正弦、余弦、正切在直角三角形中只在直角三角形中才成立与直角三角形的大小无关从特殊现象在一个直角三角形中，若∠C=90°，当∠A=30°，或45°，或60°时和都是固定值若∠A不是特殊角呢？到一般规律在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，不管这个三角形的大小如何，∠A的对比与斜边的比，邻边与斜边的比都是一个固定值。正弦和余弦的定义在Rt△ABC中,∠C=90°，∠A是锐角∠A的正弦——锐角A的对边与斜边的比，记作sinA∠A的余弦——锐角A的邻边与斜边的比，记作cosA求锐角的正弦值和余弦值的方法首先确定直角三角形，斜边、以及所求角的对边和邻边。例1、根据图形填空：（1）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，则斜边是

；∠B的对边是

，邻边是

，sinB=

，cosB=

；∠C的对边是

，邻边是

，sinC=

，cosC=

。（2）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，则①求sinB，cosB应该在

中（填三角形的名字），此时sinB=

，cosB=

；②求sinC，cosC应该在

中（填三角形的名字），此时sinC=

，cosC=

。其次书，根挠据正蹄弦与旗余弦转的定斗义求腔值例2溉、如责图，敞在R灵t△剪AB拾C中禁，∠鄙C=规90期°，释求s惜in杠A、脉si羞nB意、c推os纳A、仿co仓sB乒的值客。一个翼锐角澡的正初弦值碧，余撑弦值炸只与角的厕大小有关黎，与字所在布的三讨角形撒的形饱状无授关！例3慰，如粉图，禁在R偷t△选AB血C中着，∠静C=举90戚°，碎CD增⊥A蛋B于相D，踪蝶则∠A坝=，∠测B=；si李nA宰===，co卡sA火===，si制nB论===，co滤sB航===，当∠董A是申锐角塌时，持si饥nA止，c尤os姓A是叨∠A棚的函垫数锐角傍A的塑三个糊三角桃函数∠A温的对战边与路邻边受的比届，叫越∠A酱的正切，记消作ta晚nA锐角豆A的正弦享（s诸in验A）巨，余序弦（涨co启sA会），冈正切猜（t军an艘A）叫做俭∠A察的三角酱函数例4群、如灵图，仅在R防t△茧AB腐C中撇，∠气C=霞90嘴°，朋求s臣in困A、械si卸nB适、c细os碗A、他co兔sB谎、t衰an贤A、柳ta脖nB开的值貌。第2缠课时境三角会函数笨值的址应用锐角掩A的软三角况函数喷有：求s雨in廉A、婆co尖sA纽奉、t即an渠A时为，必须间在R包t△茅中进医行；si委nA丹、c洞os添A、意ta阅nA只与办∠A最有关，与电所在罢的三汇角形捧无关不！同一朽个角衫的三谨角函乏数值北可以用在耗不同完的R肾t△阶中！知道限Rt耀△的谱任意稿两边冲，可垒以求区两个庸锐角胃的三匙角函仰数值例1需、在沟Rt僻△A蚊BC慢中，猎∠C盈=9周0°馅，①若胞AB预=5挤，B青C=朵3，党则s倾in旱A=；s筹in平B=，t究an莫A=。②若叛AC燃=2虫BC漫，则脸si浴nA包=，c据os寸A=，t针an娱A=。有边旗求值例2围、如斤图，乡丰Rt美△A桨BC悟中，拆∠C味=9活0°怖，C胞D⊥宵AB想于D趁，若珠AD奋=1蛇，B肚D=增4，煤求s奴in鲁A，量co旋sB末，t跨an冠A的迅值。知一韵求二知道功Rt惨△中纵某个扩锐角峡的一镜个三处角函断数值哀，可节以求验其它颜两个例3便、如尚图，复已知薯Rt丧△A迎BC划中，屯∠C跑=9午0°铺，s孝in姐A=厉，求c更os株A，栏ta贤nA脆，s吵in杂B，败co抹sB吉，t禁an碗B。例4晶、如详图，街在R哥t△追AB腊C中劳，∠基C=投90歪°，查ta据nA盈=2剑，求潮si剖nA痕，c味os介A，龄si钢nB裹，c仁os循B，康ta疲nB恭。知二间求其岛余知R步t△妖的一亭边和聋一个咬锐角贝的三娘角函重数值旷，求怪其它例5己、如消图，尝已知芦Rt活△A般BC占中，咬∠A先=9命0°坏，B热C=推10升，且s因in房诚B=宅，解掀答下驼列问方题：①求探AB虾，A喇C的村长；②求金ta录nC绪的值丸。例6树、如漆图，狗在△荣AB吃C中振，B幸C=绝5，辱ta面nA耗=3俊，s钞in暮B=尿0.置6。①求巷证：螺AB烛=B腥C；②求耍AC缘瑞的长国；第3肚课时匙特殊客角的扩三角犁函数根据战图形乳，完贷成下念列表众格：三角函数30°45°60°sinAcosAtanA锐角蓝A横看步看，折竖看袭看，书你能俱发现虽多少援规律者？熟记吧特殊顶角的才三角狡函数毒值知道田特殊桌角，革直接借进行句运算例1漆、求盲下列春各式政的值瓦：①、殿co精s260辞°+扁si验n260畏°；②、知道梦特殊赚角的中三角肢函数驾值，躺求锐咬角的洋大小当∠感A为龟锐角点时，码∠A揭与∠彻A的榨三角修函数姻值是一对抬一的关朝系例2荷、（棍1）周如图讯，在稀Rt影△A消BC糟中，倍∠C成=9萝0°锯，，求帖∠A愚的度汽数。（2搭）如勺图，鄙AO卡是圆米锥的拿高，泛OB魔是底梅面半是径，各，求α纪的度挪数。一般公的锐近角的樱三角沫函数拔值的丹求法帮：借骗助计爱算器注完成例3增、利麻用计域算器酸计算续：①s践in挤20震°，度co似s7流0°史；s且in耗35牢°，誓co猎s5纯5°唱；si抓n1亮5°返32球′，喷co路s7刑4°永28域′si馅nα想=c焦os台（9森0°昌-α推）②s壤in220足°+禁co策s220斗°；谣si设n235东°+静co番s235漫°si嗓n2α+解co已s2α=育1例4携、利馆用计同算器迹完成看表格瘦：观察扇发现秋：随值着锐骑角A斤的度搞数不鱼断增粘大，讯si慌nA正不断，c旬os盗A不咱断，t今an班A不勿断。锐角A…15°18°20°22°…80°82°84°…sinAcosAtanA28烫.2般解信直角恐三角共形及顶其应剃用第1性课时便解直义角三跳角形如图善，在绞Rt茎△A侨BC猛中，亏∠C鄙=9申0°轰。剩铁余3悉条边灭，2赔个锐烈角（凳5个批元素烧）之禾间的号关系奴有：边与惯边之旱间：璃a2+b2=c2（勾股萍定理）；角与逃角之尝间：山∠A团+∠拔B=挪90火°（两个冶锐角蔑互余）；边与全角之做间：足（锐角熟的三镇角函恨数）解直只角三逢角形听：在直亩角三境角形货中，衡除直科角外败，在越3条苹边和后2个部锐角马中，懒由已壶知元个素，鸽求出态其余浸未知肆元素茧的过格程，棵叫解迟直角某三角代形。利用泛上述旁关系棒，知风道2船个元瞎素（至少捉有一柱个是斗边），腔就可聪以求施出其谋余三滩个未秩知元旱素（知二乖求三）应用绝举例这个母直角就三角显形中菌还有惹哪些夕元素周是未奥知？熟记缺特殊想角的哑三角确函数灵值，术快速记对号撤入座碰！掌握魔计算腔小技骨巧例2鲜、如色图，趋在R安t△伴AB组C中苍，∠也C=海90器°，鄙∠B穴=3义5°窑，b候=2做0。宅解这雄个直祥角三尼角形地（结采果保规留小逼数点劲后一贯位）最。对于鹿计算基结果炮是分棉数，狭或者羡无理眉数，馅如果散没有神特殊梢要求述，应表该保昼留根跌号或漏分数鼻，不称做近斧似取返值。利用仆三角震函数贡求边钉长时爷，可仰以先宵对公镜式变沾形，蜘最后扭再代柄入计雨算。第2哲课时欢应另用举伞例（休1）例1付、（诞书第倾61撇页）栋为了嗓绿化尿荒山涛，某究地打毯算从灯位于滋山脚申下的农机井婶房沿陪着山算坡铺岛设水羡管，割在山叉坡上托修建唱一座谁扬水贡站，冤对坡海面的巩绿地尽进行棚喷灌姐。现候测得咽斜坡普的坡幻玉角（诱∠A影）为宏30脂°，完为使塘吹水棵口的绕高度半为3炭5m岗，需欠要准指备多辩长的尖水管薪？？从实更际到赛数学？例2役（比术萨斜奥塔倾廉斜程侨度的脆问题虽）意大朋利比满萨斜扰塔建信成时请，高转54巩.5宵m，斯塔顶批中心捉点偏消离垂铁直中豪心线斩2.准1米临；19则72评年地少震后态，塔弊顶中馒心点逮偏离旷垂直尼中心抵线增寒至5老.2沫m经过猪多年神修复裁，2爪00堆1年芽竣工剧后，帅塔顶勉中心临点偏贯离垂护直中日心线卧比之御前减递少了趣43询.8妙cm怀。如果板用“魂塔身禾中心季线与祖垂直碌中心齐线所摇成角响”来线描述纸比萨耻斜塔迁倾斜醋程度藏，这匠座塔霞的倾浙斜程角度发锣生了按多少跪变化铃？从实柿际问园题到选数学疫模型∠C拿=9径0°哨，A箩B=核54爽.5兄m根据隶BC界的长哪度，巾求∠丹A的冰大小种。建成塔时，稀BC碌=2.闭1m；19键72叔年，门BC红=5.公2m脚；20烦01惕年，草BC浇=5回.2山-0绿.4往38下=4.寨76迹2m∠A希分别宰是2互°1柿2′雨，5°姿28宜′，5°油8′例3滑（书艇74暖页）权神着舟九氏号与窃天宫溜一号党的组傅合体仍在离河地球阻表面34耀3km击的圆勉形轨敏道上钱运行定。当纳它运钓行到答地球朋表面证P点斩的正扭上方征时，豆能直存接看基到的岭地球忙表面最远妙的点在什榆么位身置？滥最远苗点距辜P点袋的距阶离是别多少活？（拐地球屑的半良径约商为6拖40罗0k顷m，有π取翅3.聚14亭2，捆结果扯取整璃数）在☉O恶中，科r=邀64枕00符km峡，P含F=次34划3k杂m，戒PQ张与☉租O相坡切。求弧欠PQ清的长蹲。从实暴际问钓题中才抽象鹅出数凑学模数型第2望课时或应葛用举宪例（糟解双印直角羽三角跑形）例4挎（书劳75俭页）保热气忙球的仓探测屋器显氏示，寻从热抢气球太看一把栋楼肝顶部清的仰喘角为栗30闻°，卵看这记栋楼抓底部慎的俯夜角为佛60婚°，格热气老球与园楼的农水平疯距离沟为1雹20缸m。乓这栋弊楼有费多高酬？从实垦际问柳题到隙数学服模型α=膊30养°，壳β=获60俊°，AD描=1疮20石m，裂求B坦C。例5凶（书宽76巧页）跃一艘汪海轮按位于谷灯塔竟P的出北偏颗东6裳5°援方向象，距氧离灯内塔8挖0n者mi蒜le毫的A粱处，项它沿答正南续方向蓬航行登一段戴时间鸽后，段到达斩位于桥灯塔颗P的感南偏穿东3伯4°抚方向盯上的债B处毯。这逼时，奋B处凤距离法灯塔恐P有皮多远士？PA骡=8然0n锅mi蚕le伐，∠谦PA糕C=朴65文°，押∠P贞BC鞭=3吹4°欧。求扒PB烈。归纳利用悔解直风角三译角形值的知溉识解现决实颜际问孟题的团一般眼步骤始：1、将实偏际问捎题抽票象为晓数学魔问题（画出级平面泪图形，转帅化为惕解直魂角三庄角形抖的问闸题）极；2、怎根据抖问题顶中的规条件系，适恼当选用樱锐角贩三角铸函数授等解直砌角三贩角形岭；3、得到农数学译问题倚的答缝案；4、得到裁实际妈问题淘的答遵案。专题冒一饿利们用圆贿转化迹角求感三角坛函数类型愿一、赛利用野直径扭构造逃Rt波△例1互、如抬图，榆⊙O女是△幻玉AB罩C的啊外接积圆，剃AD巨是⊙辆O的核直径造，若爷⊙O诸的半稍径是畜，晨AC扰=2轿，则坚si烦nB异的值酒是。类型杨二、酿利用冷垂径凤定理懂转化垮角例2性、如紧图，胆⊙O哗中，胸直径须CD腰⊥A包B于径E，想AB役=2移，连客接A毙C、旺BC锤，则辣ta昨n∠帐AC埋B的枯值的象倒数改是（葛）A、脱AC暮的长考B、牢AE逝的长踏C燥、O榆E的误长仙D、即CE揉的长类型木三、介利用海切线抗，勾部股定掌理例3锻、（完1）如图座，E亦为正隆方形疾AB千CD扒的边崇CD慕的中陪点，注经过员A、斗B、鸡E三拳点的撑⊙O与边晕BC以交于傲点F汁，P桥为上痕任意俱一点旅．若估正方判形A替BC骄D的辜边长锯为4予，则投si揉n∠勾P的完值为叠（驴）A．勾B．宅C．端D榨．（2代）如图戏，P左A、际PB丛切⊙窄O于志A、筐B两汤点，险CD退切⊙枝O于津点E蛙交P良A、查PB皂于C棍、D橡，若贪⊙O例的半帅径为踢r，△PC贤D的园周长揉等于水3r却，则饱ta朵n∠把AP岩B的李值是扯（坏）A．B．C．D．专题兰二桶圆做中三统角函器