第章-图论-离散数学离散数学第四清华出社

第七章图的基本概念§1无向图及有向图§2通路、回路、图的连通性§3图的矩阵表示§4最短路径及关键路径7/2/20231第四部分：图论（授课教师：向胜军）图(Graph)：

可直观地表示离散对象之间的相互关系，研究它们的共性和特性，以便解决具体问题。

图是一类相当广泛的实际问题的数学模型，有着极其丰富的内容，是数据结构等课程的先修内容。学习时应掌握好图论的基本概念、基本方法、基本算法，善于把实际问题抽象为图论的问题，然后用图论的方法解决问题。7/2/20232第四部分：图论（授课教师：向胜军）§1无向图及有向图本节介绍图的一些最常用的概念,主要有：无向图，有向图，边，顶点(或结点，点)，弧(或有向边)，顶点集，边集，n阶图，有限图，关联，多重图，简单图，完全图，母图,子图,生成子图，导出子图，补图，图的同构，入度，出度，度，孤立点等。主要定理：握手定理。7/2/20233第四部分：图论（授课教师：向胜军）[定义]图V是一个非空有限集，E是V上的一个二元关系，有序对<V,E>称为有向图(DirectedGraph)。可记为D.若将E中的有序对看成是无序的（即将e=<a,b>看成e={a,b}或(a,b)），则称<V,E>为无向图(UndirectedGraph)。有向图和无向图统称为图(Graph)，记为G

。G=<V,E>7/2/20234第四部分：图论（授课教师：向胜军）[定义]顶点Ｖ中的元素称为顶点，用带标记的点表示，也称为结点(Vertices)。[定义]边在有向图D中，若e=<a,b>∈E，e称为D的有向边(directededge)。用由a到b带箭头的线把a和b连起来；在无向图G中，若e=(a,b)∈E，e称为G的无向边(undirectededge)。a,b间用连线连结。有向边和无向边统称为G的边(edge)。7/2/20235第四部分：图论（授课教师：向胜军）[定义]图的分类对图G=<V,E>，若允许E是一个多重集合，则称图G为多重图(Multigraph)。其相同的元素称为平行边，平行边的条数称为重数。无环的非多重图称为简单图(SimpleGraph)。7/2/20236第四部分：图论（授课教师：向胜军）[定义]相邻和关联在无向图G中，若e=(a,b)∈E，则称a与b彼此相邻(adjacent)，或边e关联

(incident)或联结(connect)

a,b。a,b称为边e的端点或结束顶点(endpoint)。在有向图D中，若e=<a,b>∈E，即箭头由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a称为e的始点(initialvertex)，b称为e的终点(terminal/endvertex)。7/2/20237第四部分：图论（授课教师：向胜军）[定义]孤立点

若a∈V，a不与其他顶点相邻，称a为孤立点(isolatedvertex)。[定义]顶点的度

在无向图G中，与a相邻的顶点的数目称为a的度(degree)。记为deg(a)或d(a)。在有向图D中，以a为终点的边的条数称为a的入度(in-degree)。记为deg–(a)或d–(a)。以a为始点的边的条数称为a的出度(out-degree)。记为deg+(a)或d+(a)。7/2/20238第四部分：图论（授课教师：向胜军）[定理1(握手定理Handshaking)]设无向图G=<V,E>有n个顶点，m条边，则G中所有顶点的度之和等于m的两倍。即证明思路：利用数学归纳法。[定理2]无向图中度为奇数的顶点个数恰有偶数个。证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。7/2/20239第四部分：图论（授课教师：向胜军）[定攀理3提]设有特向图D=姥<V影,销E>有n个顶泊点，m条边面，则G中所启有顶剃点的津入度流之和顿等于亭所有垮顶点外的出奥度之捞和，吃也等患于m。即：证明奇思路俭：利友用数确学归侦纳法规。6/株26着/2载02贿310第四义部分啦：图房诚论（匙授课宗教师锄：向乖胜军国）一些搭特殊柱的简郊单图签：(1周)无向头完全陆图Kn(C区om坟pl消et咸eGr议ap匪hs折)(2架)有向抄完全草图(3吴)零图：E=.(4殿)平凡绞图：E=且|V寨|=庙1.(5道)正则锋图：若峡图G＝<V絮,尽E>中每驱个顶调点的榨度均叙为n，称此诵图G是n-正则钟图(n别-r笋eg芳ul炭ar贼g侍ra暖ph恋)。6/波26蒜/2越02肠311第四侵部分益：图叹论（漠授课控教师猎：向伯胜军夸）完全叼图(n=间1,偏2,队3,鹅4,璃5)6/莲26材/2绪02稻312第四饶部分插：图垒论（涂授课郑教师者：向肆胜军穴）[定暗理4叙]设无芝向完丸全图G有n个顶展点，叛则G有n(咬n-眨1)诉/2条边颗。证明索：每一爆顶点鉴都与球其余壁的n-漠1个顶罪点相偿邻，禾即每万一顶国点的门度为n-滴1，共有n个顶扣点，状则图G的度突为n(雕n-捧1)央，由握悲手定泥理，瓦得边田数m=岭n(抽n-灿1)痰/2环.6/沙26腹/2资02渠313第四贴部分桶：图晓论（蚕授课蚕教师宵：向滚胜军识）正则仿图（神各顶矛点的羊度相工同）3-正则哥图3-正则惑图6/亩26拣/2借02音314第四花部分沉：图瓜论（主授课嗽教师蛮：向勒胜军听）[定义]子图设G=翠<V益,疑E>，G’丘=<持V’患,界E’秧>是两项个图格，若V’V，且E’E，则称G’为G的子图(su伤bg恋ra弹ph)。注：当V’拔=V时，聪称G’为G的生成唤子图。当E’E，或V’V时，拦称G’为G的真子漠图。6/盖26浸/2剪02秤315第四福部分申：图振论（廉授课辟教师驱：向住胜军好）[定邀义]补图设G=墙<V录,独E>是n阶无北向简公单图谨，以V为顶妙点集送，以出所有侧能使G成为滑完全侨图Kn的添岩加边凡组成圾的集砌合为泪边集勺的图奇，称旦为G相对步于完少全图Kn的补奔图，境简称G的补图，记液为趣。图G与其锻补图G’具有播相同菌的顶捆点集坝，其露边集施不相线交，框构成滑相应编完全茅图边树集的冻划分炼。6/吹26庄/2售02扯316第四盏部分裂：图裂论（数授课适教师烦：向连胜军苦）图A图B图C图D图E图F6/快26盆/2梳02待317第四山部分胡：图枣论（坝授课画教师牵：向灶胜军狡）图Ａ脊是一筛个无丑向完庭全图图Ｂ但，Ｃ酬，Ｄ杏，Ｅ赶，Ｆ棍均是御Ａ的锅子图图Ｃ多的顶昂点ａ趴是孤厦立顶驻点图Ｂ趋的边裕(ａ铃，ｂ坟)是刘孤立约边图Ｄ准是图遮Ｃ的携子图图Ｅ素是图邪Ｃ的即补图6/窃26靠/2愚02恼318第四溪部分徐：图朴论（写授课屋教师眼：向阶胜军字）6/犁26鸦/2礼02蚊319第四自部分替：图抄论（畜授课王教师淋：向冠胜军毕）例：6/软26康/2赏02中320第四疫部分渠：图嘉论（潮授课毅教师宰：向扁胜军昼）例：6/酬26形/2毒02缩慧321第四杆部分什：图性论（台授课篮教师肌：向击胜军谁）例：6/奶26么/2讨02度322第四迈部分瓦：图恳论（茎授课棚教师海：向捕胜军章）有向财图例：abcde2(娃a)1(惹b)3(蠢d)4(氏c)5(愚e)6/举26完/2钳02夹323第四询部分楼：图狐论（与授课虑教师海：向肆胜军虏）例：(1慰)画出4个顶砍点3条边喊的所恢有可摇能非眠同构携的无苹向简皮单图洒。(2获)画出3个顶赞点2条边余的所对有可鞋能非梳同构迁的有言向简弓单图饶。•

(1)(2)6/序26夕/2识02凳324第四满部分嗽：图炒论（宝授课颈教师注：向挂胜军扭）§2码通乏路、败回路旧、图平的连乖通性连通抖性(Co魔nn塌ec属ti砌vi输ty忠)[定醉义]通路慨(pa陵th动)给定私图G=课<V游,词E>施，设图G中顶规点和扬边的汗交替腥序列司为T=横v0e1v1e2…ekvk，若T满足输如下亲条件汽：vi-吹1和vi是ei的端上点(羞当G为有莲向图移时，vi-由1是ei的始纠点，vi是ei的终狭点)，i=熔1,台2,摊…,帽k，则称T为顶灭点v0到vk的通路。此跃通路脱的长址度为k。也可红以用v0,食v1,衡…,vk表示饰通路贿，v0为始视点，vk为终垄点。当v0=vk时，辰该通恢路称挎为回路湖(ci聚rc叶ui争t)。6/敲26绑/2垒02膏325第四阅部分误：图位论（燃授课材教师狼：向桃胜军闲）“巧返渡河瓶”问蜘题问题舱：人魄、狼众、羊填、菜哑用一核条只锈能同题时载允两位汉的小暖船渡竟河，类“狼嫁羊”汪、“盒羊菜雹”不授能在捏无人膝在场霞时共害处，枯当然智只有里人能猎架船理。图模篇型：秩顶点什表示殃“原拉岸的世状态匹”，融两点氏之间荷有边淡当且勉仅当诉一次晴合理馆的渡燥河“酬操作牵”能历够实夫现该棵状态密的转恳变。起始扶状态蜜是“自人狼诸羊菜庄”，那结束困状态荷是“渡空”抛。问题鸦的解叼：找什到一箩条从秤起始萍状态合到结借束状男态的斑尽可狗能短鹿的通培路。6/夸26雁/2源02赚326第四浸部分寺：图居论（磨授课溜教师烂：向厌胜军丘）“巧书渡河泛”问探题的萍解注意美：在勒“人哄狼羊鄙菜”齿的16种组夜合中只允许泊出现扁的只果有10种。6/戴26视/2纲02剃327第四译部分秤：图括论（涉授课眠教师斑：向息胜军度）[定窄义]简单担通路防(Si爽mp燥le坦P示at斤h)若通亏路中渐所有掌边互疼不相代同，附称此炊道路垫为简单炎通路。若咏回路缴中的掘所有浅边互侦不相胖同，担称为简单把回路(Si赖mp减le太C叫ir抽cu凑it临)。[定闪义]基本鹅通路跃(El蔬em搁en粒t提Pa叮th橡)一条办通路敌中，科除了浑始点摘和终筒点可祝以相浆同，窝其余跳顶点知均互崭不相哗同，佩称此岁通路克为基本惧通路微(初守级通璃路)。当泰其是雁回路文时，捷称为基本杯回路(El末em锣en宅t矮Ci密rc纲ui恭t初级唇回路或圈)。6/碑26结/2腔02视328第四腊部分牌：图私论（凭授课惨教师温：向拖胜军点）e5,寄e1,胡e2,炉e3,含e4是简干单通卸路，屡不是秆基本脸通路直，因甜为c,壁a茅,乐b,残c雁,痰d,棕b中b,剑c均出终现了吵两次宫。但c,子d兔,维b,朝c是基芬本通洪路，择也是镇基本易回路厅。6/粘26怖/2万02斜329第四忘部分仗：图侧论（抗授课范教师它：向享胜军蚀）[定理减]在一随个n阶图药中，唐若从赢顶点u到v(uv)存在冤通路模，则论从u到v存在京长度笼小于杀等于n-炒1的基冈本通书路。敢若存琴在v到自乎身的盛简单碑回路司，则队从v到自般身存接在长出度不嚷超过n的基寸本回房诚路。证明拜：设T=它v0e1v1…ekvk(v0=u弊,vk=v积)为u到v的通乡丰路，告若T上无黑重复著出现产的顶托点，触则T为基知本通穿路。要否则衬必存疫在t<碰s，vt=vs，在T中去写掉vt到vs的一背段，宵所得孝通路有仍为u到v的通膜路，马不妨波仍记伞为T。若T上还碎有重拒复出震现的粉顶点婚，就绑做同益样的恶处理闲，直所到无湿重复买出现角的顶简点为阀止。沾最后化得到典的通跑路是u到v的基卸本通浮路，悉显然享它的惭长度修应小祝于等变于n-高1。类似巡寿地可刃证定僵理的饥后半改部分圣。6/只26揉/2某02凭330第四枝部分临：图免论（俱授课波教师吗：向良胜军均）[定阀义]连通痰性(co纠nn线ec杰ti顶vi植ty锤)设G=质<V咸，E迁>，若从vi到vj存在迅一条雹通路棍，则鹊称vi到vj连通(co件nn袋ec晒ti常ve灿)或可达。说明：对略无向柳图而蛋言，员若vi到vj可达叶，则vj到vi也可冷达。危对有壳向图兄而言休则未皇必。6/母26新/2详02浪331第四眉部分腾：图叼论（卵授课惹教师太：向觉胜军城）[定理战]任意垒一个绣连通书无向兄图的响任意述两个鼻不同葱顶点糖都存役在一舍条简鲜单通效路。[定摧义]无向号图的瞒连通谱性若G=政<V州，E拴>中任恩意两婶个顶旱点都仆连通存，则刘称此姨无向鼻图是连通宇的(co蚕nn况ec揪te搏d)。[定此义]连通爆分图(co佛nn兽ec亩te弄d是co亦mp炕on纤en筛ts误)图G可分巷为几凑个不坑相连慈通的蛮子图担，每秆一子扑图本奖身都陡是连稳通的各。称舒这几储个子立图为G的连通授分图。6/甩26红/2网02挖332第四炕部分耕：图续论（刑授课吸教师备：向沫胜军阅）[定义]有向撒图的文连通紧性(1洁)弱连慎通：若D=爪<V，E>对应仓的无透向图讯是连锋通图谅，则慨称G为弱连浇通(w峡ea钥kl治y脂co侧nn枪ec滥te喂d)。(2子)强连压通：若D=勉<V，E>中任考意两陕点间明都有塘通路垂，即国对a和b，a到b可达飘，b到a可达省，称G为强连蜜通(s们tr欺on间gl租y糠co琴nn圣ec梨te屠d)。6/惰26哭/2相02么333第四狐部分迹：图汉论（尤授课灿教师刺：向艘胜军叼）6/积26则/2绝02橡334第四老部分湾：图色论（吼授课肯教师善：向狭胜军相）[定送义]割点设G=拴<V惠,庭E>是无转向图恶，v∈V，若从G中删行除顶膨点v后所娘得的茎连通唉分支贼数p(克G-筑v)接>p珠(G旁),则称v是G中的割点。割点6/绍26钟/2棉02扮335第四夫部分圈：图私论（风授课惠教师萝：向财胜军外）设G=交<V日,拍E>是无艇向图续，e∈E，若从G中删售除边e后所蚁得的皂连通邮分支漠数p(旧G-尽e)逢>p物(G姿),则称e是G中的割边。[定昂义]割边割边6/塔26逐/2阴02思336第四旦部分拌：图毙论（扁授课椅教师艇：向居胜军兴）§3捞图抽的矩库阵表脂示本节浙主要些考虑逢三种狐矩阵钢，即匙关联键矩阵文，邻网接矩凶阵与将可达持矩阵模。关鄙联矩铃阵反叠映的秤是顶抓点与律边（吐弧）绑的关分系；纱邻接饮矩阵努反映穷的是育顶点忙与顶剥点之木间的望关系蜡；可饥达矩巧阵反姥映了制图的忆联通突情况电。有透向图夜与无壶向图贡将分鸡别讨逼论。6/收26旋/2柳02薄337第四延部分积：图呜论（莫授课文教师棉：向添胜军士）关联修矩阵园（in劳ci膀de搏nc哪e咱ma件tr比ix仆）1.无向卵图的敬关联染矩阵设无月向图G=芬<V单,腰E>新，V酷={亩v1,v2,…屡,vn},崇E豆={特e1,e2,…盈,em}，令mij为顶尼点vi与边ej的关机联次丸数，云则称卫(mij)nm为G的关联辟矩阵，记为M(螺G)鲜。显然mij的可兽能取炭值为鸣0(vi与ej不关联哲)，话1(vi与ej关联缠1次屈)，秩2(vi与ej关联邻2次钉，即ej是以vi为端川点的圣环)枯。6/辣26土/2踢02乞338第四货部分途：图诱论（铁授课矛教师稳：向糟胜军肾）表示价如下瓜的无增向图抽：v1v2v3e1e2e3e4e5v46/液26农/2码02球339第四滔部分料：图具论（普授课巧教师贫：向招胜军佣）关联挖矩阵（in妈ci许de历nc路e年ma孤tr单ix阀）要求D中无渴环存扫在2.有向图的关联矩阵设有向图D=<V,E>，V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}，令则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D)。6/序26耗/2怠02拌340第四岂部分胁：图档论（扎授课刘教师却：向构胜军佣）其关撒联矩晓阵为你：v1v2v3e1e2e3e4v4e56/缸26叮/2甩02伤341第四顺部分卖：图舒论（丙授课勺教师犁：向咳胜军兄）邻接浆矩阵（ad坏ja薯ce西nc攀y鞭ma抄tr理ix图）有向档图的群邻接掠矩阵设有盏向图D=担<V览,盗E>工，V愿={天v1,v2,…类,vn},示|壶E|盲=m专，令aij(1舅)为vi邻接含到vj的边惰的条脉数，痰称(aij(1件))nn为D的邻接庄矩阵，记为A(哲D)白。6/弱26邪/2斯02盛342第四挠部分源：图摧论（描授课证教师旬：向娇胜军腐）其邻巡寿接矩梦阵为软：v1v2v3v46/管26丹/2揉02曲343第四篇部分厦：图讽论（福授课躲教师泽：向伍胜军泥）6/较26辩/2凑02灯344第四灵部分绵：图悉论（道授课幻玉教师船：向饲胜军辆）接上岔例，魄计算A2,屯A3,陶A4如下墙：6/舞26纠/2伶02么345第四贷部分估：图辛论（予授课圣教师丑：向职胜军晴）观察洋各矩剩阵发鬼现，a13(2冠)=3扒,断a13(3腔)=4福,任a13(4辛)=6系，可知炮，D中v1到v3长度香为2和的通工路有债3条捡，长岁度为萌3的小通路着有4省条，黎长度单为4名的通脑路有典6条打。a11(2苏)=1榴,采a11(3念)=1袖,演a11(4保)=1税，可知火，v1到自绕身长唯度为趋2,签3华,谈4的旅回路藏各有群1条五。6/逝26带/2猪02腹346第四奇部分蓄：图帖论（羡授课振教师点：向建胜军昏）[定理]设A为有向图D的邻接矩阵，V={v1,v2,…,vn}，则Al(l≥1)中元素aij(l)为vi到vj长度为l的通路数，为D中长度为l的通路总数，其中为D中长度为l的回路数。[推论]设Br=A+A2+…+Ar(r≥1)，则Br中元素bij(r)为D中vi到vj长度小于等于r的通路数，为D中长度小于等于r的通路总数，其中为D中长度小于等于r的回路总数。6/辆26再/2消02改347第四种部分伐：图格论（喷授课砍教师已：向贤胜军冒）可达跳矩阵（re略ac驰ha岂bl厨e润ma栋tr柄ix丘）有向图的可达矩阵设有向图D=<V,E>，V={v1,v2,…,vn},令称(pij)nn为D的可达矩阵，记为P(D)。定义可改为：6/艘26葡/2时02刮348第四泻部分烘：图咸论（闷授课暂教师倒：向费胜军危）接上派例：即D的可殊达矩落阵可良通过窑邻接秩矩阵牵求得蔬。6/偷26别/2取02勉349第四智部分径：图旷论（看授课南教师怪：向铸胜军搭）§4绞最搂短路低径及具关键岔路径[定至义]带权交图对于怕有向附图或陵无向顾图G的每盘条边巷附加何一个毅实数w(e卖)，则称w(e军)为边e上的权。G连同基附加拍在各哗边上糟的实歇数称瞎为带权仍图(we舍ig抖ht泪ed封g训ra腊ph洁)。记为G=芳<V碎,么E,辉W喊>.Le暂tPbe诱a波n牢on办em吼pt室y摧pa彻th距i桌n茂a纷we黄ig演ht冬ed今g偶ra咬phG=(V,E,W)拍co夸ns涂is耍ti黄ng叹o滤fked月ge滑sxv1,v1v2,版…秋,vk-1y(p谅os乒si凉bl框yv1=y).韵T累he拿w仓ei坡gh特t蚂ofP,妹de烦no喂te宴d架asW(P)罪is核t段he迫s倦um桑o锅f傅th映e驳we财ig狸ht探sw(xv1),w(v1v2),慎…稼,w(vk-1y).当无姑向边e=飘(vi,vj)或有基向边e=会<vi,vj>时，w(e雪)也可英记为wij.6/珍26虑/2咏02架350第四仔部分悦：图衰论（睁授课魂教师声：向洗胜军估）最短古路径堪问题（sh类or调te隙st汉p晨at斧hs罩p事ro愤bl故em）设带缩慧权图G=象<V僚,骂E,散W广>，G中每面条边扛带的宰权均解大于泊等于0，x,螺y为G中任肚意两腹个顶觉点，增从x到y的所浮有通柜路中退带权币最小刺的通度路称鸦为x到y的最短挥路径，求枝给定厉两顶偷点间俱的最嫩短路棵径问绵题称务为最短码路径巾问题。(狠If匠n龄o甚pa恼th凭b贞et同we诉enxan类dyha气s收we患ig激ht茶l宵es茶s壁th缝anW(浆P),贫th乞enPis变c撕al祥le晚d授ash景or伸te愤st腿p旋at研h.潮)单源冷最短书路径(S透in笋gl硬e-聋so辞ur渡ce虑s骄ho陆rt眯es临t脊pa湖th透s)We劳a杆re扣g忙iv送en味a泄w畏ei晋gh挤te挥d处gr兔ap丑hG=涌<V,E,W>给an在d兄a朗so售ur始ce海v凑er依te末xs.饰Th未e锈pr言ob婶le法m宜is闻t粉o挡fi雨nd沟a旧s谎ho疫rt芝es裕t牛pa勇th散f屋ro故msto渡e漆ac矛h席ve止rt宣exv.6/族26铲/2爬02丢351第四往部分狼：图桨论（核授课祸教师小：向灶胜军电）Di固js糕tr桥a,Ed制sg减arWy园be役(1誉93故0-议)荷兰往计算迎机科证学家血，19皂72年图层林奖喊得主诊。最著跃名的蕉成果：首厘先指旺出程续序设犯计语岔言中冻的go片to语句逢是有缴害的档，并覆首创吗了结衡构化猜程序夺设计禽方法欲。至今岗仍被叮广泛窑应用新的算迅法：解汇决机怠器人粱运动行路径滚规划娇问题亦的“拨最短逢路径渗算法冰”。被引握用最识多的虽论断：“执程序因测试习只能键用来切证明殊有错族，绝元不能田证明尚无错垫。”被引替用作促为其60岁生加日纪睛念论傻文集派书名五的另一歇句名扎言：Be革au躬ty淹i蚊s左ou名r滔bu阔si充ne没ss6/良26太/2利02政352第四赞部分镰：图折论（谈授课该教师淡：向淋胜军翠）求最短路鼓径的Di题js伪tr汉a算法输入祝：连闸通带河权图G，|V孙|=n,指定临顶点sV输出息：每饼个顶驶点v的标药注(l(v),u),其中汁：l(v)即从s到v的最脉短路衬径长允度。u是该啄路径南上v的前沃一个搏顶点育。6/扇26牌/2续02罚353第四印部分透：图败论（摘授课动教师阿：向哲胜军萍）求最荒短路纠径的Di馆js挠tr互a算法算法盯步骤研：1.初始随化：i=时0,缴S0={s},l(s)=树0,对其牺它一痛切vVG,将l(v)置为。若n=1，结束丝式。2.vSi’=李VG-Si,比较l(v)和l(ui)+w(ui,v)的值(uiSi)，如果l(ui)+w(ui,v)<l(v),则将v的标丘注更盼新为(l(ui)+w(ui,v),ui)，即：l(v)=段mi剧n{l(v),mi泼nuSi{l(u)+w(u,v)}碧}.3.对所漫有Si’中的圾顶点非，找药出具窑有最恰小l(v)的顶漆点v,作为ui+1.4.乞Si+膏1=Si⋃{ui+1}.5.子i断=霉i蓬+1拐;若i=融n-棋1,终止雕。否果则，冻转到欺第2步。6/遥26坦/2弓02藏354第四绑部分内：图变论（晒授课惯教师京：向努胜军任）求最蜓短路数径的宿一个头例子6/尊26雹/2荷02伶355第四吧部分滤：图均论（倡授课闸教师敞：向枣胜军圾）求最短路霉径的歪一个猎例子(续)6/光26哭/2剑02餐356第四泽部分辨：图宿论（胀授课饥教师刚：向边胜军歪）求最尊短路枣径的话一个蜂例子(续)将计能算过坝程用邻一张锐表描梢述出恶来：

vksabcdefg01234567(0)1(1,s)22(2,s)43(3,b)9999(9,c)4444(4,s)88886(6,e)777666(6,c)W(T)01239466T=纲sT=saT=sbT=sb趁cT=sb简cdT=花seT=se早fT=sb晴cg6/弹26闷/2搂02添357第四村部分加：图昂论（冷授课豪教师阅：向趁胜军润）关键慕路径趁问题（ke化y千pa财th殃s广pr坊ob循le冠m）PE瓜RT图设D=瞎<V倦,羊E,镇W向>是有丛向带漏权图波，|V氧|=节n，若D是简掌单图摩（无贪平行属边、观无环培），社无回阔路。咐有一摘个顶滚点入堵度为0，称骗为发点，有西一个幸顶点良出度树为0，称商为收点。边<vi,vj>的权wij表示冻时间赵。则胀称D为PE罩RT图(P扫la倾n征Ev际al全ua锤te诉R颂ev陡is等e脏Te制ch谣no厉lo修gy罪G朱ra庙ph石)。关键声路径(K驱ey惰p蛋at药hs层)在PE烦RT图中芦求关键躬路径，就糊是求级从发戒点到摄收点予的一已条最长迫路径，通址过求如各顶至点的最早教完成俘时间来求室关键允路径碌。6/蒸26照/2忠02获358第四缩慧部分允：图幻玉论（丈授课丙教师尸：向研胜军制）最早奶完成到时间自发存点v1开始墨沿最扇长路文径到遣达vi所需舍时间柜，称藏为vi的最早姻完成坦时间，记语作TE胀(vi),废i雹=1吩,2婆,…伞,n看.显然烦，TE互(v1)=丢0,vi(i1棋)的最黑早完央成时么间按梯如下绒公式希计算骂：TE牲(vi)=呆ma沸x{状TE雁(vj)+wij},迁i境=2颤,3毁,…颈,n怜.vjTD-(vi)收点悄的TE顿(vn)就是踪蝶从v1到vn的最渗长路症径的电权。6/测26龟/2浴02劲359第四平部分来：图弱论（紫授课隐教师妻：向澡胜军衣）最晚垮完成维时间在保勾证收访点vn的最尊早完李成时辩间不夹增加呀的条昏件下螺，自v1最迟动到达vi的时稳间，穗称为vi的最晚隔完成切时间，记权作TL号(vi).显然愈，TL坐(vn)=掌TE肚(vn).匹in时的扫最晚质完成桃时间课按如侦下公拜式计迁算：TL膛(vi)=携mi震n{木TL葵(vj)-wij},晋i贴=n锻-1未,…束,2脾,1膨.vjTD+(vi)6/系26纤/2延02毒360第四捷部分厘：图饭论（叼授课杨教师悠：向吨胜军鉴）缓冲吊时间ES温(vi)=厕TL往(vi)-夫TE挑(vi),浪i负=1危,2跑,…六,n贱.注：刷在关啊键路粮径上是，任脱何工丸序如谁果耽易误了仓时间t，整个