湖南省郴州市第四完全中学高二数学理月考试题含解析

湖南省郴州市第四完全中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由点引圆的切线的长是(

)A．2 B． C．1 D．4参考答案：C略2.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．3.已知不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.函数的导函数是，若对任意的，都有成立，则A.

B.

C.

D.无法比较参考答案：B略5.下列各数中，最小的数是（）A．75 B．11111（2） C．210（6） D．85（9）参考答案：B【考点】进位制．【分析】欲找四个中最小的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．【解答】解：对于B，11111（2）=24+23+22+21+20=31．对于C，210（6）=2×62+1×6=78；对于D，85（9）=8×9+5=77；故11111（2）最小，故选：B．6.若函数有零点，则实数的最小值是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.在中，为中线上的一个动点，已知

，则的最小值为

参考答案：-8略8.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92参考答案：A考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．解答：解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选A．点评：本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求9.下列给变量赋值的语句正确的是（

）（A）5＝a

（B）a＋1＝a

（C）a＝b＝c＝3

（D）a＝2a参考答案：D10.若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） C．（﹣3，6） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选B．【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在上的奇函数满足，且时，，有下列四个结论：①；②函数在上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在上所有根之和为-8，其中正确的是________(写出所有正确命题的序号)参考答案：①④【答案】略12.已知条件；条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_________

.

参考答案：略13.若,,且函数在处有极值，则的最大值等于_____________.参考答案：914.与双曲线有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 参考答案：略15.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若（O为坐标原点），则

．参考答案：5过B引准线的垂线，垂足为N，连接AN，易知：A、O、N三点共线，∴，即故答案为：5

16.抛物线x2=4y的焦点坐标为

．参考答案：（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）17.函数的单调递增区间是____________参考答案：.试题分析：由题意得，，令，得.考点：利用导数求单调区间.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，侧(左)视图是底边长分别为2和4的直角梯形，俯视图是直角边长为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD；（Ⅲ）求直线CE与平面BDE的夹角正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）由题意可知，四棱锥B－ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，则四棱锥B－ACDE的体积为．……4分（Ⅱ）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

………5分设平面BDE和平面BCD的法向量分别为，取

………6分，取

………7分，∴平面BDE⊥平面BCD

………8分（Ⅲ），

………11分直线CE与平面BDE的夹角正弦值为

………12分略19.已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx+1（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线是y=b，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；转化思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，解方程即可得到a=0，b=2；（Ⅱ）求得导数，求得单调区间和极值、最值，由题意可得b＞2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+xsinx+cosx+1的导数为f′（x）=2x+sinx+xcosx﹣sinx=2x+xcosx，即有在点（a，f（a））处的切线斜率为2a+acosa，由切线为y=b，可得2a+acosa=0，a2+asina+cosa+1=b，解得a=0，b=2；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=0处取得极小值，且为最小值2．曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，可得b＞2．即为b的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，以及运算求解能力，属于中档题．20.（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量吨收取的污水处理费元，运行程序如下所示：请写出y与m的函数关系，并求排放污水150吨的污水处理费用.

参考答案：这个程序反映的是一个分段函数因为所以，故该厂应缴纳污水处理费1400元21.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求寄孙储具体指，给出结论即可）；（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认同”，请根据此样本完成此列联表，并局此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（Ⅲ）若此样本中的城市和城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自城市的概率是多少？

合计认可

不认可

合计

附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考答案：（Ⅰ）城市评分的平均值小于城市评分的平均值；城市评分的方差大于城市评分的方差；（Ⅱ）

合计认可51015不认可151025合计202040所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（Ⅲ）设事件：恰有一人认可；事件：来自城市的人认可；事件包含的基本事件数为，事件包含的基本事件数为，则所求的条件概率.22.已知直线与曲线.（Ⅰ）若直线与直线垂直，求实数的值；（Ⅱ）若直线与曲线有