湖北省武汉市江夏求实中学高三数学理期末试题含解析

湖北省武汉市江夏求实中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若把函数（）的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能是（

）A． B．

C．

D．参考答案：C2.设函数f（x）＝（0≤x≤2011π），则函数f（x）的各极大值之和为（

）A.B.

C.

D.参考答案：D略3.如图，在等腰直角中，设为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.在函数的图象上有一点，此函数图象与轴及直线围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S关于t的函数关系的图象可以是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C5.若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C6.已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B． C． D．参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；H5：正弦函数的单调性．【分析】求出函数的导数，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用三角函数的单调性求解函数的求解函数单调减区间．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+）+2cos（2x+）=sin（2x++）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的一个单调减区间为：[，]．故选：A．7.设集合，，则（

）A.(－∞,－1] B.(－∞,1) C.(－1,1) D.[1,+∞)参考答案：C【分析】化简集合A，B根据补集和交集的定义即可求出．【详解】集合A＝{y|y＝2x﹣1}＝（﹣1，+∞），B＝{x|x≥1}＝[1，+∞），则?RB＝（﹣∞，1）则A∩（?RB）＝（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）?f（a﹣x）=1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x∈时，f（x）的取值范围为，则当x∈时，f（x）的取值范围为（）A． B． C． D．R参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，则f（x）?f（﹣x）=1，则f（x）≠0，且f（1+x）?f（1﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1=f（x）?f（﹣x），则f（2+x）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，若x∈，则﹣x∈，2﹣x∈，此时1≤f（x）≤2∵f（x）?f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=∈，∵f（﹣x）=f（2﹣x）∈，∴当x∈时，f（x）∈．即一个周期内当x∈时，f（x）∈．∴当x∈时，f（x）∈．故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：C【考点】数列的应用．【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．【解答】解：设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，由已知得，解得a1=1，d=1，∴第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．10.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是（）A．2 B． C．10 D．30参考答案：A【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】如图所示，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，即可求出结论．【解答】解：如图所示，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，面积为=2，故选A．【点评】本题考查射影的概念，考查面积的计算，确定△EBD在平面EBC上的射影为△OEB是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是____________．参考答案：13试题分析：系统抽样制取的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为．考点：系统抽样．12.已知函数有零点，则的取值范围是___________。参考答案：本题考查了导数知识，考查了方程的零点问题，数形结合意识，难度较大。，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故，因为有零点，所以，即.13.若____________．参考答案：3略14.某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取

人．参考答案：20由图可得80~90分数段占所有学生的比率是：，因此应抽取20人。15.函数的最小正周期为

参考答案：【知识点】三角函数的周期.L4

【答案解析】解析：原函数化简为，由周期公式，故答案为.【思路点拨】先化简，再计算周期即可.16.函数，的值域为________．参考答案：略17.设函数，若，则x0的取值范围为．参考答案：x0＞【考点】其他不等式的解法．【分析】x＞，f（x）=lnx|=1，利用，可得x0的取值范围．【解答】解：x＞，f（x）=lnx|=1，∵，，∴x0＞，故答案为x0＞．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）已知函数（I）若时，函数在其定义域上是增函数，求的取值范围；（II）在（I）的结论下，设函数，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对x∈（0,+）恒成立， …………2分

…………4分

（II）设当t=1时，ymIn=b+1；

…………6分当t=2时，ymIn=4+2b

…………8分当的最小值为

…………8分

（III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为

…………9分假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

……………10分设

………………①

…………11分这与①矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

…………13分19.已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，△ABE的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为原点，圆D：（）与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：为定值．参考答案：解：（1）由题意得，则，由，解得，则，所以椭圆的方程为．（2）证明：由条件可知，，两点关于轴对称，设，，则，由题可知，，，所以，．又直线的方程为，令得点的横坐标，同理可得点的横坐标，所以，即为定值．20.（本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b

合计▓▓

（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.参考答案：解：（Ⅰ）由题意可知，．……4分（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为，第5组共有2人，记为．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有，共15种情况．…………6分设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件，…………7分有，共9种情况．

……………8分所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率.

……………10分（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件，有共7种情况．

…………11分所以答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是．

………………13分

21.已知三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2acosA＝bcosC＋ccosB．（1）求A；

（2）若a＝，b＝1，求c.参考答案：(1)∵2acosA＝bcosC＋ccosB，∴由正弦定理得sin2A＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，∴B＋C＝2A，∴A＝60°……………5分(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝，b＝1，A＝60°，∴3＝1＋c2－c，∴c＝2……………10分18．22.如图，圆O为△ABC的外接圆，D为的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）证明：AD2=DE?DB；（Ⅱ）若AD∥BC，DE=2EB，AD=，求圆O的半径．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，OC，推导出△BAD∽△AED，由此能证明AD2=DE?DB．（2）设⊙O的半径为r，推导出△BEC∽△AED，从而求出BE=CE=1，DE=AE=2，由此能求出圆半径．【解答】证明：（Ⅰ）连接OD，OC，∵D是弧AC的中点，∴∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDA=∠EDA∴△BAD∽△AED∴，∴AD2=DE?DB．解：（2）∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∵AD