湖南省株洲市炎陵县炎陵中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省株洲市炎陵县炎陵中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C2.在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起，所在的平面为，且平面，，设与所成的角分别为均不为0．若，则点的轨迹为（

）A．直线

B．圆

C．椭圆

D．抛物线参考答案：B如图，连接易知，由，可得，故定值，且此定值不为1，故点的轨迹为圆。（到两定点的比为不为1定值的点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆）3.已知，，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：A分析：根据同角三角函数关系由求得，于是可得，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．详解：∵，，∴，∴，．∴．故选A．点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．4.函数的最小正周期是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.5.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围为（）A．(0，1)

B．(0，]

C．(0，)

D．[，1)参考答案：C略6.命题“对?∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是(

)A．?x0∈R，x02﹣3x0+5≤0 B．?x0∈R，x02﹣3x0+5＞0C．?x∈R，x2﹣3x+5≤0 D．?x0∈R，x02﹣3x0+5＞0参考答案：B【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对?∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是：?x0∈R，x02﹣3x0+5＞0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．7.若平面区域的面积为3，则实数的值为A. B．

C． D．参考答案：B8.已知、都是锐角，则=A.

B.

C.

D.参考答案：C因为是锐角，所以，又，所以，所以，.又，选C.9.函数的反函数为

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C略10.某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对任意两个实数，定义若，，则的最小值为

．参考答案：【知识点】函数的图象与图象变化。B8

【答案解析】-1解析：因为对任意两个实数x1，x2，定义，又f（x）=x2﹣2，g（x）=﹣x，由x2﹣2≥﹣x，得x≤﹣2或x≥1，则当x2﹣2＜﹣x时，得﹣2＜x＜1．所以y=max（f（x），g（x）），其图象如图，由图象可知函数max（f（x），g（x））的最小值为﹣1．故答案为﹣1．【思路点拨】通过求解不等式x2﹣2≥﹣x，得出f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x）的x的取值范围，结合新定义得到分段函数max（f（x），g（x））的解析式，在平面直角坐标系中作出分段函数的图象，则分段函数的最小值可求．12.在圆内，过点的最长弦与最短弦分别为与,则四边形的面积为参考答案：13.若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值

．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．将C的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：414.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为，则实数m等于

．参考答案：2或8考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分类求出椭圆的长半轴长和半焦距，代入椭圆离心率求得实数m的值．解答： 解：由mx2+4y2=1，得，若，得0＜m＜4，此时，，，则，解得：m=2；若，得m＞4，此时，，，则，解得：m=8．故答案为：2或8．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．15.若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a6＝

．参考答案：1116.若双曲线:的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为

.参考答案：略17.如图，在平面四边形中，分别为线段的两个三等分点，分别为线段的两个三等分点，且，则的值为

．参考答案：5

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．参考答案：考点：函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为2x+﹣2≥k?2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，从而求得k的取值范围．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0?|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．解答： 解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k?2x≥0可化为2x+﹣2≥k?2x，可化为1+（）2﹣2?≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max=h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或∴k＞0．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．19.已知函数f(x)=+1，g（x）=x2eax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．…当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f'（x）﹣+﹣f（x）↘↗↘所以，函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．…（Ⅱ）依题意，“对于任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，因为f（0）=1，，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．所以应满足g（x）max≤1．…因为g（x）=x2eax，所以g'（x）=（ax2+2x）eax．…因为a＜0，令g'（x）=0得，x1=0，．（ⅰ）当，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，所以函数．由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．

…（ⅱ）当，即a＜﹣1时，在上g'（x）≥0，在上g'（x）＜0，所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，所以．由得，，所以a＜﹣1．

…综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．

…20.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.（I）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（II）年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？参考答案：略21.已知函数，，（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求m的取值范围．参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ).【分析】(Ⅰ)求解出点，再利用导数求出切线斜率，从而得切线方程；(Ⅱ)求导后，分别在、和三个范围中讨论导函数的符号，即可得到原函数的单调性；(Ⅲ)将问题转化为在上的值域是在上的值域的子集，利用导数分别求解出两个函数的值域，从而构造不等式，解出取值范围.【详解】(Ⅰ)当时，，所以所以所以曲线在处的切线方程为，即(Ⅱ)的定义域是，令，得①当时，，所以函数的单调增区间是②当时，变化如下：+--+↗极大值↘↘极小值↗

所以函数的单调增区间是，单调减区间是③当时，变化如下：+--+↗极大值↘↘极小值↗

所以函数的单调增区间是，单调减区间是(Ⅲ)因，所以当时，所以在上恒成立，所以在上单调递增所以在上的最小值是，最大值是即当时，的取值范围为由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增因为，所以不合题意当时，，在上单调递减所以在上的最大值为，最小值为所以当时，的取值范围为“对于任意，总存在，使得成立”等价于即，解得所以的取值范围为【点睛】本题考查了利用导数求解切线方程、讨论含参数函数的单调性、利用不等关系求解参数范围问题.重点考查了恒成立与能成立相结合的问题，解决问题的关键是能够将问题转化为两个函数的值域之间的包含关系，从而使问题得到解决，对学生转化与化归思想的应用要求较高.22.在平面直角坐标系中，从曲线上一点做轴和轴的垂线，垂足分别为，点（为常数），且（）（1）求曲线的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；（2）当且时，将曲线绕原点逆时针旋转得到曲线，曲线