中考数学专项复习：实际问题与反比例函数（重难点突破）（解析版）

专题02实际问题与反比例函数

重点利用反比例函数知识解决实际问题

难点反比例函数与其他学科的综合问题

易错忽略实际问题中自变量的取值范围

一、几何问题与反比例函数

当问题中设计几何问题时，可根据其图形建模，构造反比例函数解析式，并运用其性质解决问题，但要注

意自变量的取值范围.

【例1】如图，AABC的边BC边上的高尤，AABC的面积为3,则y与尤的函数图像大致是

()

A

【答案】A

【详解】「•,AABC的面积为3,

则3=g町

即y=£

X

・.・函数图像是双曲线

x>0,y>0

该反比例函数图像位于第一象限，

故选A

【例2】如果矩形的面积为15c”/,那么它的长"力与宽无c机之间的函数关系用图象表示大致是().

【答案】c

【详解】解：由矩形的面积公式可得盯=15,

**.y=—(x>0,y>0).图象在第一象限.

x

故选：C.

二'跨学科问题与反比例函数

跨学科问题中常见的反比例关系：

1.压力一定时，压强与受力面积成反比例.

2.当功率一定时，力与速度成反比例.

3.当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例.

4.当电压一定时，电流强度与电阻成反比例.

【例3】两个物体4B所受的压强分别为乙，PB(都为常数).它们所受压力尸与受力面积S的函数关系

【答案】B

【详解】解：观察图象得：当受力面积S相同时，射线〃位于。的上方，即4>招,

故选：B

【例4】如图1是一个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现,

如图2是该台灯的电流/(A)与电阻R(Q)成反比例函数的图象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知,

下列说法正确的是()

图1

A.当R<0.25时，7<880

B./与R的函数关系式是/=驾(尺>0)

C.当尺>1000时，/>0.22

D.当880<R<1000时，/的取值范围是0.22</<0.25

【答案】D

k

【详解】解：设电流/(A)与电阻R(。)的函数关系式为/=g(R>0),

K

把点尸(880,0.25)代入得：0.25=-f-,解得：左=220,

880

•../与R的函数关系式是/=型220(尺>0),故B错误；

R

随R的增大而减小，

当尺=0.25时，7=880,

.,.当R<0.25时，/>880,故A错误；

当7=1000时,1=0.22,

.•.当R>1000时，7<0.22,故C错误；

当尺=880时,7=0.25,

...当880<R<1000时，/的取值范围是0.22</<0.25,故D正确；

故选：D

至典型例电

一、单选题

1.市一小学数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示,设矩形的宽为xcm,

长为ycm,那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽%（cm）之间的函数关系的图象大致是（）

【答案】A

【详解】解：:孙=200

200

\y=-----（x>0,y>0）

故选A.

2.已知甲、乙两地相距40米，汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间/（单位：小时）关于行驶速

度u（单位：千米/小时）的函数关系式是（)

0.0440v

A.Z=40vB.tC.tD.t

vv40

【答案】B

【详解】解：由题意得：力=0.04,

0.04

v

故选：B.

3.某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款:前期付款3000元，后期每个月分别付相同的

数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（尤为正整数）之间的函数关系式是（)

幽-30008000厂30005000

A.yB.y+3000c.y=——D.y=­

XXxX

【答案】D

8000-30005000

【详解】由题意得:y=---------------=-------

XX

5000

即产

x

故选：D.

4.已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数y与镜

片焦距元之间的函数关系式是（）

200

A.y=100xB.y=200xy=一

xX

【答案】C

【详解】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设尸乙,

X

由于点（0.5,200）在此函数解析式上,

・,・左=0.5x200=100,

,100

••y=----

x

故选：C.

5.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该

校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）》与该校参加竞赛人数尤的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的

点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）

匕、

*\

''乙

\丙

、二丁

~一.--

~o]X

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】C

【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为了=幺,

X

则令甲（4，/）、乙（才2，%）、丙（无3，%）、丁（%4，%），

过甲点作y轴平行线交反比例函数于（七,乂），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（七,耳），如图所示：

由图可知乂＞%,乂＜为，

••.（%,乂）、乙（4，打）、（马，¥）、丁（无4,%）在反比例函数y=：图像上，

根据题意可知孙=优秀人数，则

①尤2%=左=%%，即乙、丁两所学校优秀人数相同；

②占X＜玉乂=左，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；

③％%＞$义=左，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；

综上所述：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数=丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数，

・•・在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，

故选：c.

6.为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）与

时间x（min）成正比例，喷雾完成后y与x成反比例（如图所示）.当每立方米空气中含药量低于L6mg时，

对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是（）

A.每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要2min

B.每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是y=320

x

C.为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成25min后学生才能进入教室

D.每立方米空气中含药量不低于4mg的持续时间为lOmin

【答案】C

【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为y=KM{HO），由题意得：8=53

Q

此阶段函数解析式为>=]x.（0<x<5）.

设喷雾结束后函数解析式为>=与化W0）,由题意得：8=与，

k2=40,

，此阶段函数解析式为y=?（%>10）.

A.在喷雾阶段，当y=6时，x=3.75,当y=8时，x=5,共需要1.25min,故此选项不符合题意.

B.每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是y=丝40,故此选项不符合题意.

C.喷雾结束后，当y=1.6时，x=25,为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成25min后学生才能进入教室，故

此选项符合题意.

D.在喷雾阶段，当y=4时，x=2.5,在喷雾结束后，当y=4时，尤=10,所以每立方米空气中含药量不低于4mg

的持续时间为x=7.5min,故此选项不符合题意.

故选：C.

、填空题

7.科学发现，若气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是关

于气体体积V（单位：m3）的反比例函数，如图所示的是恒温下某气球（充满气）的气压与体积的函数图

象.当气体体积为2m3时，气压是kPa.

【答案】100

【详解】解：设该反比例函数的解析式为尸=，

由题意得图象过点（1,200）,

1x200=200,

当V=2时，P=200+2=100,

故答案为：100.

8.在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单

位：cn?）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于1cm2Bt,面条总长度大于cm.

【答案】128

【详解】解：由题意可以设y=人,

X

把（4,32）代入得：Z=128,

128

•«x=,

y

Vx<l,

128

----<1,

y

・“〉128,

・,・面条总长度大于128cm.

故答案为：128.

三、解答题

9.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.学生

的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中A2,BC为线段，CD为双曲线的一部分）.

（1）线段A3函数关系式是—，双曲线8的函数关系式是.

（2）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40,那么经过适

当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题?

【答案】⑴y=2x+30,y=W92

X

(2)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题

【详解】⑴解：设线段”函数关系式为"=+丰°),

把点(1。,50)和(0,30)代入得:

/10左+。=50

[〃=30'

解得:〈fk=320，

•••线段AB函数关系式为＞=2X+30；

设双曲线CD的函数关系式是＞=?(加？0),

把点(20,50)代入得：50=%，

解得：“7=1000,

...双曲线8的函数关系式是》=幽；

X

(2)解：当y=40时，对于y=2x+30,有

40=2x+30,解得：x=5，

小丁1000七

对于y=------，有

X

於1000

40=------

x

解得：％=25,

・・・学生注意力达到所需状态的时间为25-5=20,

20>18,

・••教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题.

10.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(加)的反比例

函数，其图像如图所示.

⑴求这个函数的解析式；

(2)当气体体积为时，气压是多少？

(3)当气球内的气压大于150(kPa)时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？

【答案】(1)尸=三

⑵气压是96kPa

(3)为了安全起见，气体的体积应不少于1|m3

P=-

【详解】(1)解：设V,

k

将点4(0.8,120)代入,得120=R,

0.8

%=96,

即这个函数的解析式为尸=］96；

96

3P=「96(kPa)

(2)解：当V=hn时，1,

即当气体体积为1nl3时，气压是96kPa；

_96_16/\

V-----——(m3)

(3)解：当尸=150kPa时，15025、',

16,

所以为了安全起见，气体的体积应不少于?m3.

■突破刘栋

一、单选题

1.已知甲、乙两地相距，(单位：km),汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间，(单位：h)关

于行驶速度v(单位：km/h)的函数图象是()

【详解】解：根据题意有：v”=s,

\t=-,

v

故/与V之间的函数图象为反比例函数图象,

且根据实际意义v>0、t>0,

其图像在第一象限，故C正确.

故选：C.

2.现有一水塔，水塔内装有水407川，如果每小时从排水管中放水x(/),则要经过y(/z)就可以把水放完该

函数的图像大致应是下图中的()

【答案】C

【详解】解：•••水塔内装有水40〃*如果每小时从排水管中放水工(源)，则要经过y5)就可以把水放完，

.40

..y=一,

尤

•••x与y成反比例，四个选项中只有C是反比例函数的图象.

故选：C.

3.学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃,停止加热，水温开始下降.此时水温

，(℃)与通电时间x(min)成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通

电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是()

B.水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=*

x

C.上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水

77

D.水温不低于30℃的时间为石min

【答案】D

【详解】解：•开机加热时每分钟上升10℃,

100-20

水温从20℃加热到100℃,所需时间为:8min,

10

故A选项不合题意;

由题可得，（8,100）在反比例函数图象上，

k

设反比例函数解析式为》=—,

X

代入点（8,100）可得，左=800,

•••水温下降过程中，y与x的函数关系式是>=陋,

X

故B选项不合题意；

令y=20,则陋=20,

X

.*.x=40,

即饮水机每经过40min,要重新从20℃开始加热一次，

从8点到9：30,所用时间为90min,

而水温加热到100℃,仅需要8min,

故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10min,

令x=10,则>=爷=80℃>40℃,

故C选项不符合题意；

水温从20℃加热到30°。所需要时间为：节冷=lmin,

令y=30,则整=30,

X

._80

••X——,

3

水温不低于30C的时间为R-l=?min,

故D选项符合题意；

故选：D.

4.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿

2

地的压力一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）随着木板面积S（m）的变化而变化，如果人和木板对

湿地地面的压力合计600N,那么下列说法正确的是（）

A.p与S的函数表达式为P=6005B.当S越来越大时，p也越来越大

C.若压强不超过6000Pa时，木板面积最多O.lm?D.当木板面积为OZn?时，压强是3000Pa

【答案】D

【详解】解：由于物体受到的压力=压强x受力面积,

：尸=600,

\P=—600(S>0),

:.p、S成反比例函数关系,

A、由压强公式可得。=券(5>0),故选项不正确，不合题意;

kJ

B、因为600>0,所以在每个象限内，尸随S增大而减小;

C、将P=6OOO代入得6000=券,所以S=0.1,因为在每个象限内，。随S增大而减小，所以p£6000时,

S^O.l故选项不正确，不合题意;

D、当S=0.2时，代入解析式得：。=黑=3000(Pa)故选项正确，符合题意.

故选D.

12

5.如图，直角坐标系中，A是反比例函数y=—(x>0)图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA,

x

AB为邻边作口ABCO.若点C及BC中点D都在反比例函数y=-(k<0,x<0)图象上,则k的值为()

A.-3B.-4D.-8

【答案】c

【详解】如图，连接AC,交OB于E,设A点坐标为(a,

a

•..四边形OABC是平行四边形，OB、AC是对角线,

；.CE=EA,

：E点在y轴上,

；.E点横坐标为0,

：.C点横坐标为-a,

k

VC点在y=-(k<0,xvO)图象上,

x

二•C点坐标为(-a,—),

a

・・・E点坐标为(0,-

2a

・・・E为OB中点，

・・・B点坐标为(0,上二)

a

・・・D为BC中点，

***D点坐标为(-£，—~—)

2a

TD点在y=—(k<0,x<0)图象上,

x

解得：k=-6

故选C.

6.如图，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=&(kr0)的

x

图象的一个分支与AB交于点D,与BC交于点E,DF，x轴于点F,EG，y轴于点G,交DF于点H.若

矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是2和5,则k的值是()

A.7B.72+75C.2+痴D.10

【答案】C

【详解】设D(t,-),

・・•矩形OGHF的面积为2,DF，x轴于点F,

・・・EG_Ly轴于点G,

2

・・・E点的纵坐标为一，

t

7k91

当丫=一时，一二一，解得

txt2

••E（；kt,—）,

2t

・・,矩形HDBE的面积为5,

[k2

（—kt-t）•（-----）=5,

2tt

整理得，（k-2）2=10,

Vk>0,

.,.k=7To+2.

故选c.

二、填空题

7.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药

物浓度>（微克/毫升）与服药时间尤（时）之间的函数关系如图所示（当4V尤W10时，y与尤成反比）.则血

液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为小时

【答案】6

【详解】解：当0<x<4时，函数为正比例函数，设：y=kx,

•••函数经过点（4,8）,

.♦.8=^x4,即左=2,

・••当0v%v4时，y=2x,

・・・当药物浓度为4微克/毫升时，即y=4时，2X=4

x=2,

m

当4Wx<10时，函数为正比例函数，设：>=—,

x

:函数经过点(4,8),

8=一,即根=32,

4

32

.•.当4WxW10时，y=——，

x

32

..•当药物浓度为4微克/毫升时，即>=4时，—=4

x

.,•%=8,

根据图象可以判断出：当2WXW8时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，

，持续时间为8-2=6h,

故答案为：6.

8.如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子.

(1)设矩形园子的相邻两边长分别为xm,ym,y关于尤的函数表达式为(不写自变量取值范围);

(2)当方4m时，尤的取值范围为；

(3)当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为____m.

~^1p-

xx

yc

12

【答案】y=—1.2<x<31.6

x

【详解】解：(1)依题意得：孙=12,

,12

•・y=一.

X

故答案为：》=上12.

x

(2)Vy=—,左=12,

x

当x>0时，y随工的增大而减小，

V4<y<10,

12

即4W—410,

x

1.2<x<3.

・・・x的取值范围为1.23烂3.

故答案为：1.2$烂3.

(3)当尤=7.5时，y==1.6；

当y=7.5时，—=7.5,

x

解得：x=1.6.

.,.当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m.

故答案为：1.6.

三、解答题

9.商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价X(元)与日销售量y(张)之间

有如下关系：

x/兀3456

w张20151210

⑴写出y关于x的函数解析式；

(2)设经营此贺卡的日销售利润为卬(元)，试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售

单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最

大日销售利润.

【答案】

(l)y=-X

120

(2)W=60--,当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元.

X

k

【详解】(1)解：设丫=—,

把x=3,y=20代入y="得20=!，

X3

解得k=60,

.60

••y=—.

X

(2)解：W=(x-2)y=(x-2)=60-，

xx

随X增大而增大，烂10,

；.x=10时，W=60-12=48(元)为最大值，

•••当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元.

10.某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种

电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系

如图，其中段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）.

⑴请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

（2）求出这种电子产品的年利润w（万元）与尤（元/件）之间的函数关系式；并求出年利润的最大值.

【答案】（l）y=x'一一"

-x+28（8<x<28）

640

（2）当4（x48时，w=160--,当8V%<28时，w=—（%—16）9+144；年利润的最大值为144万元

【详解】（1）解：当44尤48时，设y优#0）,

将点A（4,40）代入，得上=4x40=160,

.160

当84428时，设〉=入+灰〃力0）,分别将点B（8,20）,。（28,0）代入y=/x+6,得:

悭'+6=20

卜81+匕=0，

解得：「28,

**•y——x+28；

吃（4K8）

综上分析可知：>=xI'.

-x+28（8<x<28）

（2）解：当4«xV8时，vv=（x-4）y=（无一4）=160-^^,

当8cxV28时，w=(x-4)v

=(x-4)(-x+28)

=一丁+32尤一112

=-(x-16)2+144

当4VxV8时，

V-640<0,

随x增大而增大，

...当x=8时，w有最大值为160-%=80(万元)，

8

当8W28时,

V-KO,

.,.当x=16时，w有最大值为144万元.

80<144,

年利润的最大值为144万元.

11.在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函

数关系图像如图所示，是双曲线的一部分.

y(天斗I

50.........\

O24x(m/天)

(1)请根据题