数学物理方法

第八章分离变数法$8.4泊松方程两维：波动方程：第八章分离变数法泊松方程和波动方程的区别：1、时间域上的边界条件只有起始端（初始条件），没有结束端。而空间域上的边界条件往往有两端。因此在时间域上通常不会有本征方程。波动方程：、泊松方程：、2、时间域和空间域的边界条件总是分离的，而空间域和空间域则决定于实空间的形状。第八章分离变数法泊松方程通常的处理方法：泛定方程齐次化为Laplace方程。==》第八章分离变数法例1：在圆域上求解泊松方程：第八章分离变数法解：寻找特解满足，同时，尽量使特解具有旋转对称性。对于有：、、等。对于有等。因此取特解第八章分离变数法对于，满足在极坐标系中有隐含齐次边界条件和一般解：第八章分离变数法在处，根据物理意义，u应当取有限值，抛去发散项，有：再根据处的边界条件，可知：第八章分离变数法例2：在矩形域0<x<a,0<y<b上求解泊松方程：解：寻找特解v使得，有等等。可同时保持一个边界上的齐次边界条件，例如取第八章分离变数法因此对于w=u-v，满足以下可仿照前面例题求解。第八罚章除分离唱变数解法如何谊在齐五次化撒泊松术方程悦的同慨时保仍持边西界条恋件的敲齐次趁性？1、对钩于极目坐标腔，存崭在隐谁藏的绸齐次眯边界辉条件暂：2、采碑取特狱解法服在齐翻次化净泊松厦方程谦的同安时保刚持边匹界条长件的旁齐次性廊。3、对俭于矩修形边兰界，错可令测，并章使w1满足x边界的齐坏次性掏，w2满足y方向耕的齐时次性解。第八扛章筝分离蹲变数赌法$8门.5小结1、线选性方糊程满狠足叠扭加原哈理，浴使各经个方袜程的寨非齐冷次部眼分可肿得到单厘独解施决。辣即线父性系文统中菜各种吉因素益的影晓响独尖立作膜用于伴系统夫。2、首蜻要问妥题是漂使得晚边界顿条件循齐次础化，线进而握得出抵本征悠方程个和本征僵函数欲组。3、不代同的骨齐次断化方锐法得用到解质的形厨式可晒以不忙同，狭但是业物理浑规律保怎证了掏实际静的解赠只有迁一个逢，即种正确谣的解构必然宴彼此册等价谱。4、本承章解深决的命问题泽是较钱简单壁的数蔽理方蚂程。矿实际器问题起往往已是三维衬，本膨征函笛数也脉未必具是三骄角函厘数族绑。第九敲章棵常微叮分方幕程的幕级数盒解法偏微朴分方涌程==逮》常微票分方糖程==讯》没有裕初等根函数铺解==茎》常微诞分方喊程的始级数钞解1、一势般是六二阶价常微弟分方标程，哑级数铅通常挥为幂酿级数夕。2、常畏见于依球坐坡标系擦和柱轿坐标落系中仙分离奶变量躁后的漠常微罪分方辅程。第九注章测常微拦分方鸟程的哥级数允解法$9探.1特殊惩函数辱常微郑分方拼程(常用尸的常拆微分畜方程)一）La貌pl矿ac季e方程1）球咱坐标患系由于西系统胸具有字球对绝称性鬼，先苏将径云向和花角度眨部分漫分离缓变量躁，假设第九久章插常微监分方俘程的俯级数猾解法代入准移项野整理却后，却得到萍：其中l为常赵数。i)径向漫方程代即踢欧拉病型常思微分唯方程片，其解扶为第九碰章愧常微戚分方局程的恶级数猫解法ii吐)角度领部分被称爬为球专函数晨方程妹。继姿续分碰离变电量，且令：得：其中为置常数广。ii织i)其中率的解座为其隐单含边丙界条孙件决古定了m为非塔负整齿数。第九咸章旅常微堡分方血程的岩级数性解法iv蜜)在做慰自变碌量变嘱换堪后袜，最脉终可港化为称为l阶连喇带勒格让德撇方程愤。如蛋果m=淡0，称暴为l阶勒乳让德阶方程紫。(L胡eg涝en票dr执e租Eq恳ua蹄ti胸on肤)由于埋在问处吃的隐急藏边趁界条吗件，l往往打只能菜取整储数值臭。第九午章担常微茫分方舰程的闯级数慈解法2）柱焦坐标仇系(下的La救pl六ac牛e方程)分离涛变量呢，令代入蜓整理估得：第九暮章杠常微祥分方耻程的壮级数面解法i)关于的杏部分趣其解炒为港，油且m为非负整数数。ii文)继续餐分离彩变量a)=旋0，有第九历章献常微软分方洲程的烦级数杀解法b)>环0，令=衡a2，有对于答进填行无塌量纲厉化，谈令清，可航得称为m阶贝瞒塞尔伙方程做（Be禁ss龄el德E龟qu贝at践io叨n）。c)旨待<0，令=痒-k2，有第九疤章吨常微董分方酒程的酬级数恭解法对于汉进鸟行无根量纲毅化，并令筝，可店得称为m阶虚咸宗量Be鄙ss值el方程铲。第