第二讲 关于取整计算

第二讲关于取整计算

第二讲：关于取整计算在数学计算中，有时需要忽略掉某些量的小数部分，只求它的整数部分。例如，如果用一块5米长的花布做一件2米的上衣，需要多少块布料？在收取水费时，为了方便，通常会忽略用水量的小数部分，只按整数吨数收费，将剩余量推至下一个月一起收费。为了简化表述，数学引入了符号〔〕表示不超过某个数的最大整数，称为这个数的整数部分。〔a〕有以下性质：①〔a〕是整数；②〔a〕≤a；③a<〔a〕+1；④如果b≥1，则〔a+b〕>〔a〕；如果b≤1，则〔a+b〕≤〔a〕+1。我们可以自己举例验证前三条性质。例如，如果a=2.7，则〔a〕=2。如果b=1.1，则〔a+b〕=3>2=〔a〕；如果b=0.5，则〔a+b〕=3，〔a〕+1=3；如果b=0.1，则〔a+b〕=2<〔a〕+1。还有一个性质是，如果n是整数，则〔a+n〕=〔a〕+n。与〔a〕相关的是数a的小数部分，用符号{a}表示。显然，a=〔a〕+{a}，且0≤{a}<1。下面我们可以应用取整符号〔〕来解题。例如，判断以下命题的正误：如果2x+3〔x〕=1，则{x}=0。这个命题是不正确的。因为假设{x}＝，则〔x〕=x。原式为：2〔x〕＋3〔x〕=1，所以5〔x〕=1，解得〔x〕=0，但{x}不等于0。再例如，求1～1993中可被2或3或5整除的整数的个数。这个问题需要注意有些数被重复计算了，例如6及其倍数既是2的倍数又是3的倍数，被计算了两次。同理，重复计算两次的数还有10及它的倍数和15。但是，30及其倍数既是2、3与5的公倍数，也是6、10与15的公倍数。开始计算了三次，后来又减去了三次，所以要补上。因此，合题意的数有：分析加法运算中常用高斯求和法简算。求〔x〕的基本方法是根据定义x=[x]+{x}。要善于观察特殊值。例如，在1到2之间的整数只有1。最后，我们来看一个例题：求满足方程〔x〕+［2x〕=19的x的值。解：解这道题的关键是由x=〔x〕+{x}求2x的整数部分和小数部分。因为x=[x]+{x}，所以2x=2[x]+2{x}。〔2x〕=［2[x]+2{x}］=2[x]+［2{x}］。因为0≤{x}<1，所以0≤2{x}<2。现在对{x}分段来讨论：0≤{x}<0.5，此时〔2x〕=2[x]，所以〔x〕+2[x]=19，解得x=9.5。0.5≤{x}<1，此时〔2x〕=2[x]+1，所以〔x〕+2[x]+1=19，解得x=9.25。因此，满足方程的x的值为9.25或9.5。2x=2[x]+1，将其代入原方程得：3[x]+1=19，因此3[x]=18，解得[x]=6。这道题运用了适当分类讨论的数学思想。例5：求下面一列数中共出现了多少个互不相同的数？首先考虑已知条件能推出什么。由①可知这一列数不是同一个数，由②可知这一列数不是互不相同的。考虑利用公式（a+b）²=a²+2ab+b²分析项的变化。当k>996时，第一项为1993，项数为1993-997+1=997个。当k≤996时，前996项的相邻两项相等或差1。因此，这一列数共有997+498=1495个不同的数。例6：设A=100！=12ⁿ·M，其中M、n均是自然数。则n最大取多少？解：由12=2²·3，可得A=2⁴⁸·3²⁴·M。因此，n的最大值为48。习题二：1.在1～10000这一万个自然数中，有多少个数能够被5或7整除？解：能被5或7整除的数有198个，因此答案为S=198×48=9504。3.求满足方程〔x〕+［2x］=18的x的值。解：由〔2x〕=2［x］+〔2{x}〕，将其代入原方程得3〔x］=18，因此〔x］=6。因此，适合方程的x为6。4.k是自然数，且1001·1002·…·1985·1986=1986！÷1000！，求k的最大值。解：k的最大值为1001·1002·…·1985·1986中因子11的个数，也就是11的幂次数。1986！中因子11的幂次数为⌊1986/11⌋+⌊1986/11²⌋+⌊1986/11³⌋+⋯=180