安徽省皖南八校2023届高三三模数学试卷

2023届“皖南八校”高三第三次大联考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合，，则集合的非空真子集的个数为（）A．14 B．15 C．30 D．622．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．给出下列四个命题，其中正确命题为（）A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的必要不充分条件C．，，使得D．“”是“”的充分不必要条件4．如图，用M，，三类不同的元件连接成一个系统，当M正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有M和正常工作的概率是（）A． B． C． D．5．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（）A． B． C． D．6．已知函数，则下列结论正确的有（）A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴C．在上单调递增 D．若在区间上的最大值为1，则7．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数，若对任意的恒成立，则的最大值是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间内的人数为16．则下列结论正确的是（）A．图中 B．样本容量C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D．该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分10．已知正实数a，b，c满足，当取最小值时，下列说法正确的是（）A． B．C．的最大值为1 D．的最小值为11．已知正方体棱长为4，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（）A．若N为中点，当最小时，B．当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为D．当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为12．已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是C上异于点O的两点（O为坐标原点）则下列说法正确的是（）A．若A、F、B三点共线，则的最小值为2B．若，则的面积为C．若，则直线AB过定点D．若，过AB的中点D作于点E，则的最小值为1三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的值域是______．14．某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．15．过双曲线右焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为点A，O为坐标原点，若的角平分线与x轴交于点M，且点M到OA与AF的距离都为，则双曲线C的离心率为______．16．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，是边长为2的等边三角形，外接圆的圆心为．若四面体ABCD的体积最大时，，则球O的半径为______；若，点E为AC的中点，且，则球O的表面积为______．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生对足球的兴趣，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，统计得出的数据如下表：喜欢足球不喜欢足球合计男生50女生25合计（1）根据所给数据完成上表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关．（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球，已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人踢球一次，假设各人踢球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C；（2）设BC的中点为D，且，求的取值范围．19．（12）分在数列中，，且对任意的，都有．在等差数列中，前n项和为，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．20．（12分）如图，在三棱锥中，为直角三角形，，的边长为4的等边三角形，，．（1）求证：平面平面ABC；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B，C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，O为坐标原点，过点的直线l交椭圆于E，F两点，线段的中点为．点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．（1）求椭圆的方程；（2）设的面积为，的面积为，求的值．22．（12分）若对任意的实数k，b，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．（1）判断函数是否为“恒切函数”；（2）若函数是“恒切函数”，求证：．2023届“皖南八校”高三第三次大联考·数学参考答案、解析及评分细则1．D 由题意得，集合，则集合，所以集合的非空真子集的个数为．故选D．2．D 由得，∴复数z在复平面内对应的点为，∴复数z在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选D．3．C 对于A，由全称命题的否定知该命题的否定为，，A错误；对于B，“”是“”的既不充分又不必要条件，B错误；对于C，取，则，C正确；对于D，“”是“”的充要条件，D错误．故选C．4．C 设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和正常工作，因为并联元件、能正常工作的概率为，所以，又因为，所以．故选C．5．C 如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，，且，，所以，，所以．故选C．6．D ，所以的最小正周期为，A错误；因为，，所以直线不是图象的一条对称轴，B错误；当时，在，而函数在上不单调，C错误；当时，，因为在区间上的最大值为1，即，所以，解得，D正确．故选D．7．A 方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．作出和的图象如图所示．当时，只需直线与圆相切，可得；当时，只需直线与圆相切，可得．故k的取值范围是．故选A．8．B ，，当时，恒成立，则单调递减，，显然不恒成立，当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，∴，∵恒成立，∴，∴，令，，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴．故选B．9．ACD 对于A，因为，解得，故A正确；对于B，因为成绩落在区间内的人数为16，所以样本容量，故B错误；对于C，学生成绩平均分为，故C正确；对于D，因为，解得，所以大约成绩至少为77.25分的学生能得到此称号，故D正确．故选ACD．10．AC ，当且仅当，即时等号成立，此时，故A正确，B错误；，当时，的最大值为1，C正确；无最小值，D错误．故选AC．11．ACD 对于A，矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），若最小，则A、M、N三点共线，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，当点M与点重合时，连接、、、、，（如图所示），在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，且，所以平面，又平面，所以，同理可证，因为，所以平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为；设E、F、Q、N，G，H分别为，、，，，的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正方形，且平面平面，正六边形EFQNGH的周长为，面积为，则的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，即B错误；对于C，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，设，因为平面，所以是平面的一个法向量，且,，，所以直线AB与平面所成角的正弦值的取值范围为，则直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为，故C正确；对于D，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，所以表面积为，故D正确．故选ACD．12．ABD 对于A，经分析可知，当直线AB垂直于y轴时，取最小值，且为2，A正确；由抛物线的定义可知，，解得，故，故，所以的面积为，B正确；设，，直线AB的方程为，将直线AB的方程代入，得．由，得，即，所以，，故直线，恒过定点，C错误；过点A作于点，过点B作于点，设，，所以，因为，所以，的最小值为1，D正确．故选ABD．13． 当时，满足，当时，由，所以函数的值域为．14．14 ①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为．综上，不同的安排种数为14．15． 如图所示，设点A在第一象限，由题意可知，其中d为点到渐近线的距离，，所以，过点M分别作于点N，于点T，又因为于点A，所以四边形MTAN为正方形，所以，所以，又因为，所以，，所以，所以，所以．16． 若四面体ABCD的体积最大时，点B在过O和的直径上，，，设球O的半径为r，则在中，，解得．设的外接圆的半径R，由题可得，解得．如图，取AC的中点E，连接DE并延长DE交圆于点F．连接BE，BF，由得，则．．在中，，所以在中，由余弦定理得，可得，结合图形可得圆．连接，过点O作BF的垂线，垂足为点G．连接BO，四面体ABCD外接球的半径解得．所以球O的半径．四面体ABCD外接球的表面积为．17．解：（1）列联表如下：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生5050100女生2575100合计75125200零假设为：该校学生喜欢篮球与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得到，∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关．（2）3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．∴的分布列如下：0123P∴的数学期望：．18．解：（1）中，，由正弦定理得，．所以，即，所以；又，所以，所以，所以，又因为，所以，即；（2）设，则中，由可知，由正弦定理及可得，所以，，所以，由可知，，，所以．19．解：（1）由得时，．又，满足，所以．设等差数列的公差为d，则，解得，所以；（2），，①，②两式相减得，所以．20．（1）（方法一）证明：如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，则．因为，，所以，．因为是边长为4的等边三角形，所以，，在中，,，在中，，所以，所以，因为，点E为AB的中点，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，因为平面PAB，所以平面平面ABC．（方法二）证明：如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，PE，DE，则．因为，所以，，因为是等边三角形，所以，因为，，平面PDE，所以平面PDE，又平面PDE，所以，因为，点E为AB的中点，所以，又，AC，平面ABC，所以平面ABC，因为平面PAB，所以平面平面ABC．（2）解：以点C为原点，直线CA，CB分别为x，y轴，过点C且与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，．设平面PBC的一个法向量为，则，即取，则．设平面PAB的一个法向量为，则，即取，则．设二面角的平面角为，所以．21．解：（1）因为线段的中点为在y轴上，O为的中点，所以轴，即轴，设，，，代入椭圆的方程得，，又，所以，即，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）（方法一）证明：设，由题意可得，，所以直线BC的方程的截距式为，即为．因为，所以直线AP的方程为．联立得即；直线CP的方程为：，即，当时，，即，所以，又因为，所以，，所以，得证．（方法二）证明：由题意可得，，所以直线BC的方程的截距式为，即为．设直