江苏省常州市官林中学高三数学理模拟试卷含解析

江苏省常州市官林中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A．1 B．2 C． D．4参考答案：C考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到3a+14b=20，然后利用基本不等式求得ab的最大值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（）．化z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z=，即3a+14b=20．∵a＞0，b＞0，∴，即．∴ab的最大值为．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．2.函数的大致图象是（

）参考答案：C3.在等差数列中，，则此数列前13项的和为……………（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.若函数=在[－2,+∞)上是减函数，则a的取值范围为A．[4,+∞)

B．[4,5)

C.[4,8)

D．[8,+∞)参考答案：B5.程序框图如图所示，若输入值t∈（0，3），则输出值S的取值范围是（）A．（0，4） B．（0，4] C．[0，9] D．（0，3）参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=的值，分类讨论即可得解．【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S=的值，∴当t∈（0，1）时，0≤3t＜3；当t∈[1，3）时，4t﹣t2=4﹣（t﹣2）2∈[3，4]，∴综上得：0≤S≤4．故选：B．6.已知函数满足对恒成立，则函数

（

）

A．一定为奇函数

B．一定为偶函数

C．一定为奇函数

D．一定为偶函数参考答案：D7.若函数，则（其中为自然对数的底数）

A．

B．

C．

D.参考答案：C8.若集合A＝{x|3-2x＜1}，B＝{x|4x-3x2≥0}，则A∩B＝A．(1，2]

B．

C．[0，1)

D．(1，+∞)参考答案：B9.（2016秋?天津期中）设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和求和公式进行解答．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=====．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属中档题．10.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 （

） A．

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．参考答案：【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．12.中，

参考答案：45°略13.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为

．参考答案：

14.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，3sinA=sinB，cosC=，则边c=．参考答案：2【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简3sinA=sinB，可得3a=b，结合a=，可求b，进而利用余弦定理可求c的值．【解答】解：∵3sinA=sinB，可得：3a=b，∴由a=，可得：b=3，∵cosC=，∴由余弦定理可得：c===2．故答案为：2．15.某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如下图，据此可以了解分数在的频率为

，并且推算全班人数为

。参考答案：

25

略16.实数x，y满足则不等式组所围成的图形的面积为

．参考答案：1考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则不等式组围成的图形为三角形，其中A（0，1），B（1，0），C（2，1），则三角形ABC的面积S=，故答案为：1．点评：本题主要考查三角形面积的计算，以及二元一次不等式组表示平面区域，比较基础．17.设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，mi=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为；集合A中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为．参考答案：27,18.【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【专题】集合；排列组合．【分析】根据集合A知道m1，m2，m3各有3种取值方法，从而构成集合A的元素个数为27个，而对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5可分为这样几种情况：|m1|+|m2|+|m3|=2，或|m1|+|m2|+|m3|=4，求出每种情况下构成集合A的元素个数再相加即可．【解答】解：m1从集合{﹣2，0，2）中任选一个，有3种选法，m2，m3都有3种选法；∴构成集合A的元素有3×3×3=27种情况；即集合A元素个数为27；对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况：①|m1|+|m2|+|m3|=2，即此时集合A的元素含有一个2，或﹣2，两个0，2或﹣2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有3×2=6种；②|m1|+|m2|+|m3|=4，即此时集合A含有两个2，或﹣2，一个0；或者一个2，一个﹣2，一个0；当是两个2或﹣2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或﹣2，这种情况有3×2=6种；当是一个2，一个﹣2，一个0时，对这三个数全排列即得到3×2×1=6种；∴集合A中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18．故答案为：27，18．【点评】考查描述法表示集合，分步计数原理及排列内容的应用，以及分类讨论思想的应用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=2+2cos（A+B）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理进行转化即可求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，根据三角形的面积公式即可求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…∴sinB=2sinA，…∴b=2a，∴．…（Ⅱ）∵，，∴b=2，∴，∴．…∴，即△ABC的面积的．…19.（本小题满分14分)已知数列是首项为，公比的等比数列。设，，数列满足；（Ⅰ）求证：数列成等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（Ⅰ）由已知可得，，为等差数列，其中.

……………5分

（Ⅱ）

①

②1

-②得

……………9分（Ⅲ）当时，，当时，，若对一切正整数恒成立，则即可，即或.

……………14分20.（本小题满分13分）

如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，，点D是棱BC的中点。

（Ⅰ）求证：平面BCC1B1；

（Ⅱ）求证：A1B//平面AC1D；

（Ⅲ）求平面AC1D与平面ACC1A1所成的锐二面角的余弦值。参考答案：解：（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形所以所以平面

……………1分因为平面，所以

………………2分又因为，为中点，所以

………3分因为,所以平面

………………4分（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为中位线所以

…………6分因为平面，平面

所以平面………8分

(Ⅲ)解：因为侧面，均为正方形，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系设，则

………………9分设平面的法向量为，则有，，所以取，得

………………10分又因为平面所以平面的法向量为………11分

………12分所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值………………13分略21.

（12分）在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）若为中点，求证：平面.（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离.

参考答案：解析：（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，为中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE

……………（4分）（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴二面角A-PD-E的正弦值为．

…………..(8分)（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,

BC=DE=2a,AB=AE=4a,取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PD