广东省东莞中学高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年广东省东莞市东莞中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（2+i）z＝2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）A． B． C． D．2．已知平面向量＝（1，﹣2），＝（4，m），且，则向量是（）A．（﹣7，﹣34） B．（﹣7．﹣16） C．（﹣7，﹣4） D．（﹣7，14）3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝4，c＝2，C＝60°，则此三角形的解的情况是（）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定4．某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，则的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似替代）（）A． B． C． D．5．已知某圆锥轴截面的顶角为120°，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2，则该圆锥的底面半径为（）A． B． C． D．6．设点O在△ABC内部，且有，点D是边BC的中点，设△ADC与△AOC的面积分别为S1、S2，则S1：S2＝（）A．1：2 B．1：3 C．3：2 D．5：37．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝，AP＝3，BC＝6，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．45π B．63π C．57π D．84π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A．若＝，则||＝|| B．若＝，则＝ C．若∥，，则 D．若|+|＝|﹣|，则10．已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β11．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2.下列说法中正确的是（）A．男生样本容量为30 B．每个女生被抽入到样本的概率均为 C．所有样本的均值为166cm cm212．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（）A．BP的最小值为 B．PA+PC的最小值为 C．当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1﹣ACP的体积不变 D．以点B为球心，为半径的球面与面AB1C的交线长为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数是3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为．14．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，已知A'C'∥y'轴，B'C'∥x'轴且2A'C'＝B'C'＝2，则△ABC的周长为．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为．16．如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（b+c）cosA＝a（2﹣cosB﹣cosC），b＝c，设∠AOB＝θ（0＜θ＜π）．OA＝2OB＝4，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量，是两个不共线的向量，＝3+，＝﹣3，＝2+λ．（1）若B，C，D三点共线，求实数λ的值；（2）若||＝2||＝2，，的夹角是，且，求实数λ的值．18．已知z＝a+bi（a，b∈R），z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B+sin2C＝（sinA+6sinBsinC）sinA．（1）求tanA；（2）若，，求△ABC的面积．21．某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的上四分位数（结果保留两位小数）．22．已知在梯形ABCD中，AD