图论基础与网络流习题集锦

图论基础与网络流习题集锦北京大学朱睿大纲图论部分：1.图论简介2.生成树与生成树计数3.欧拉回路与哈密顿回路4.割与流，匹配网络流问题部分：1.习题2.习题3.更多的习题图论简介一个无向图G一般被抽象为一个二元组<V,E>1.V是一个集合并被称为G的点集。2.E是V的无序积的多重子集，被称为G的边集。其元素被称为无向边。一个有向图D一般被抽象为一个二元组<V,E>1.V是一个集合并被称为D的点集。

2.E是V的卡氏积的多重子集，被称为D的边集。其元素被称为有向边。图的阶：即|V|。

零图：|E|=0。基图：将D的有向边改为无向边，成为一个无向图。无向完全图：简单无向图中每个点都与其他点相邻。有向完全图：简单有向图中对于任意vi,vj∈

V都有<vi,vj>∈

E且<vj,vi>∈

E。图论简介平行边：即重边。环：即自环。简单图：不含平行边且不含环的图。度：无向图中，与某点关联的边的数量。入度，出度：有向图中，与某点关联的入边和出边的数量。K-正则图：无向简单图中所有点的度数都为K。握手定理：所有点度数之和等于2*|E|。同构：两个无向图<V1,E1>与<V2,E2>，若存在双射函数f:V1->V2，使得对于任意vi,vj∈

V1,f(vi),f(vj)∈

V2时，<vi,vj>∈

E1当且仅当<f(vi),f(vj)>∈

E2，则称这两个无向图同构。生成树与生成树计数生成树：一个连通无向图的极小连通子图，被称为这个图的生成树最小生成树：一个边带权的连通无向图的极小连通子图，同时包含最小的边权—Prim算法—Kruskal算法生成树计数问题：如何求出一个连通无向简单图的不重复生成树个数？生成树与生成树计数Matrix-Tree（矩阵树）定理：假设图G是一个包含n个点无向图。定义G的度数矩阵D[G]为一个n*n的矩阵，并且对于任意i≠j，有Dij=0；当i=j时，Dij为节点i的度数。定义G的邻接矩阵A[G]为一个n*n的矩阵，并且对于任意<i,j>属于G的边集时，Aij为1；否则为0。定义G的Laplace算子(Kirchhoff矩阵)为C[G]=D[G]-A[G]。那么图G的生成树个数为C[G]的任意一个n-1阶主子式（即去掉第r行第r列，r任意）的行列式之绝对值。欧拉回路与哈密顿回路欧拉回路：对于一个连通图，遍历所有边并回到起点的路径被称为是一条欧拉回路。无向图欧拉回路的充要条件：连通并且每个点的度数都为偶数。有向图欧拉回路的充要条件：强连通并且每个点的入度和等于出度和。欧拉回路与哈密顿回路哈密顿回路：遍历图中所有点一次且仅一次并最终回到起点的路径被称为哈密顿回路。哈密顿通路：遍历图中所有点一次且仅一次的路径被称为哈密顿通路。到目前为止，还没有一个简明的条件能作为判断一个图是否存在哈密顿回路的充要条件TT这里给出一个充分条件：若对于无向简单图G，任意两个不相邻点的度数之和大于或等于n-1，则该图存在哈密顿通路。若对于无向简单图G，任意两个不相邻点的度数之和大于或等于n，则该图存在哈密顿回路。割与流，匹配流：假设G(V,E)是一个有限的有向图，它的每条边(u,v)∈E都有一个非负值实数的容量c(u,v)。如果(u,v)不属于E，我们假设c(u,v)=0。我们区别两个顶点：一个源s和一个汇t。一个网络流是一个对于所有结点u和v都有以下特性的实函数f:V×V→R其满足以下三个要求：1.容量限制：f(u,v)<=c(u,v)2.斜对称：f(u,v)=-f(v,u)3.流守恒：除非u=s或u=t，否则Σ(w∈V)f(u,w)=0则该网络流的流量为s的总输出（或t的总输入）割：设Ci为网络N中一些弧的集合，若从N中删去Ci中的所有弧，即：使得从顶点Vs到顶点Vt的路集为空集时，称Ci为Vs和Vt间的一个割。割与夫流，涂匹配最大其流：蔬从s到t的所困有可境行的傅网络先流中锈，流医量最辆大的略网络察流。最小会割：纽奉从s到t的割众中，劝删除今边权镰和最扑小的岸割。对于墨一个蚂给定所的s和t，最屈大流=最小兼割割与易流，静匹配对于示一个芹无向航图G肝=尘<V殃,E下>点独示立集阁：V的一迟个子比集真使得页该集掀合中抗任意蒙两点鲜之间赤没有指边。点支笨配集桃：V的一妄个子傍集欲使得引任意V中元押素要别么属信于该墓集合闭，要虫么与替该集龄合中哈点有劳边相脂连。点覆盒盖集植：V的一称个子黑集粗使得走任意E中元钞素都可与该慎集合竭中某表个或俗某两猎个元径素相延关联萌。极大/最大吴点独咳立集呈，极凑小/最小蛙点支倘配集正，极怨小/最小吩点覆侦盖集资。同样标的，报我们办可以陕定义猜边覆启盖集拨（即没用边垦覆盖厘所有榴点）堂与边挠独立世集（叠即任及意两庆条边椒之间向没有木共同乞点）货。割与偏流，弹匹配匹配桃：G的一汁个边弊独立闷集，陵又被每称为G的一愤个匹伍配。极大围匹配倡与最湾大匹晶配。二部杀图（雁二分彩图）役：若稍无向缩慧图G的点耀集V可以轮分割港成两吓个互动不相驼交的陪子集定，并斩且对霉于边逝集E中的递所有景边(v尾i,跪vj块)所关况联的密两个落顶点vi和vj都分职属这使两个愚子集革，那致么图G就被幕称为距一个保二部听图。二部悄图匹尾配的删霍尔潜定理竿（婚细姻定友理）温：设尝有二右部图G=报<V滤1,摆V2蛋,E垄>且|V唇1|遣<=磁|V示2|，则嗽该图狂有完剃美匹各配的业充要芒条件腹是，期对于哄任意V1的子弦集S，设|S音|=亚k，则查与S相连马的点督集大权小光不小瞎于k。推论浸：若G为k-正则醉二部窜图，拨那么G中存洋在k个边正不同暮的完锅美匹漆配。网络晕流习抹题集燃锦：甚欧拉阵回路给定禾一张藏包含N个点M条边创的图削，其医中有趴些边德是单乌向边纹有些稼边是鞠双向质边。资问是壤否存债在欧战拉回常路。N和M范围壤不限杨定，绝试给肤出尽诸量优割秀的甚算法巴。网络贸流习加题集携锦：唐欧拉肾回路解答具：首乐先我块们知稀道，寇若该俘混合吹图有蔽欧拉颈回路她，一忽定有拼一种弹方法蛋使得蛮给该卡图中死所有阶无向柄边定峡向后老的有野向图淋仍然环有欧率拉回刻路。虏那么释我们作首先鱼给所讯有无倡向边洽随意明定一帮个向疾。有向炉图欧岭拉回授路的躬充要炊条件途：每默个点气的入厦度和沟等于坟出度伤和。承那么货此时游该图宣至少船要保非证入许度和-出度肺和是贫一个鼠偶数霉。然后宴使用创网络刘流，胶源点搁向所捕有入赠度和>出度膝和的劈燕点连慕一条繁大小捐为|入度萌和-出度疮和|/殃2的边尝，所恭有出雨度和>入度四和的庆点连庭一条|出度顶和-入度贺和|/协2的边止。无向仁图中役边(v针i,龟vj沃)若变怠成了血有向稀边<v荣i,肢vj鞋>，那挪么在辛流中骑连一扎条容偶量为1的边<v酷j,喊vi贵>，意畜为反升悔。仁满流艰则有尾解。网络唤流习密题集牵锦：练趣味占工厂有一置个工址厂，件工厂磁中有n个工些人与n种产幕品。乒每个典工人投能够搏生产慎这些鉴产品役中的否一部睡分。现在数我们雄希望夺作一馅个k天的巡寿工作平规划短，使角得每靠一天呈每一赛个产骄品恰摘好有跑一个蹲工人南在从这事生罪产，具并且亲在这k天内展每个娃工人病都不谢会生日产重飞复的突产品逃。1≤秧n≤刊10嫌0,校1犁≤k帐≤n思考员：直咬接的怎贪心统算法鉴是否门正确样？网络控流习泊题集浅锦：归趣味奸工厂解答粒：将所灭有工盒人看讲做一权个点怀排成揪一排灿在左或边，喉所有传产品战看做辣一个服点排嗓成一般排在铸右边梢，若蛋某个萄工人缩慧会制访造某数个产愤品，继则在谨相应纽奉的两异个点馆上连河容量连为1的边没。此时非，我芒们考显虑到贴对这变个图片做网竭络流茎，源象向左男边每千个点晚都连宋一条拆容量粱为K的边膝，右筹边每足个点男向终辛点连孔一条买容量冒为K的边冻，如萄果没丛有流虹满，晚那么继显然萝是不西可能吵有解阔的。拿而如碎果流钓满，貌则根绍据Ha独ll定理英，我港们也缓可以吓知道厘它是捞有解拦的，练然后鸡一遍超一遍事进行昌二分刃图匹刷配即屠可。网络义流习件题集场锦：英路径炮覆盖路径度覆盖停类题改目，奇主要腥是指贵这样录一类单问题剪：给剂定一杀个图菜以及脱一系严列行漠走规润则，政问如辈何使溜用最叼小的欠代价茶将用应一系大列按领照行翻走规徐则的惠路径肌覆盖烦住。下面务我们鼓就来锦具体性问题戒具体适反分究析。网络漏流习哗题集遍锦：蝴股票送走势小L最近件迷恋反上了舞炒股种，他经拿到淡了n支股杯票在0到k-里1时刻裹的价析格表均。他乓想要调把每奔只股德票的文价格奋根据取时刻蛇依次伪连成纹一个员走势为折线恼图，骂以此须观察辨股票鼠的情锦况。但是拘小L不想窜铺张应浪费庸，所各以在才每张周纸上屿他不纸想只遗画一颤条折械线，说而是欣把尽坡量多呢的折锈线画胡到一热张纸岩上，躁使用伟尽量赞少的剪纸。什两条藏折线妈能够姨画到越一张就纸上盘，是级要求弦它们鸡不相学交，构包括刺在端奇点处兵。数据猪规模絮：1≤浑n≤把10写0，2≤垂k≤枣25思考迹：如抓何找傅到图权中的堤网络数流模鸭型？提示便：发音现“死折线映”这箱一条浙件的沙特殊昨性。网络尊流习尸题集凑锦：榴股票耳走势解答饿：首先僚考虑呈如何册建图乡丰。假设河我们匠将每栽只个宾股都租看做炕一个景点，窃如果A与B可以阿放在示一张拢纸上溉，就君连一贵条边壳，这澡样得材到了毙一个贤无向突图。但是贝很不淋幸，枕这个绳无向咐图没此有给赛我们最提供搏任何巡寿信息盾。考虑赤到折收线一壳定是院连续款的，饥那么幅两个证可以图在同丈一张烈纸上指的股稳票，劝是可烟以定渠义序舞关系拐的的绢。将无项向图崖改造裂成有喂向图哗，若盾某只触股票泄的折紫线完岗全高乒于另才一只访股票佣的折炒线，竖那么醉连一蒸条有膨向边劣，这柄样我裁们得宪到了泡一个渡拓扑脱图，怪问题黄转化荣成了羡用最望少的炎链来独覆盖茂这个券有向勒图，日即最缺小链宴覆盖加。使用庸匹配/网络洲流解吓决最塌小链慰覆盖补，由吓于链牌上每全个节育点都朋有一骨个后传继节抢点，弦那么验将每叶个点殿拆成喜两个动点排少成两置排，拥若A能到B则从A左向B右连本边，缴那么皮答案炎就是n-匹配摆数。网络闲流习贝题集围锦：逃星际痰竞速N个点M条边萍的有句向图谋，将毕所有伟点从1~摆N标号拐，每像条边Ei乎j都只显能从食编号伙小的闪点走察到编桥号大圣的点寇，代刊价为Pi猾j。可以康使用搅瞬移驱，从套任意绣点瞬份移到i号点肆的代坏价为Ai。要求远从一俗个标匙号为N+弊1的孤纷立点犯出发慕，经困过所奇有点渠一次抵且仅箭一次巧，问窗最小展代价孙。N局<=斤80坑0，M<押=1贱50翻00网络奏流习丢题集沟锦：斥星际端竞速分析没：首炉先这替显而茂易见翅是一果道图杜论相植关的典题目缸，在境尝试抖使用淋最短由路等咏常见勉模型首无法简解决替后，叛考虑掘流的胀模型存。使用滔网络犹流——本题号既要耕求能碍够访卷问每猜一个拆点，抽又要查求代炮价最窄小，浑网络仓流模碍型难扭以满佛足这拥两个享条件辞。使用饥费用暑流，津用流巷量保凝证每包个点颠访问袖一次貌，用老费用平保证爽代价荷最小刊。将每远一次烧瞬移广后的访行动品看做欢一条娃路径印，考语虑到沉每一迈条路禾径除尘了第似一个借点以拦外都颗有一按个前灯驱点唤，可咳以使线用这前个条群件来剃建图旧。网络女流习沟题集宋锦：伏星际规竞速解答醉：建立跑虚拟祖源st与虚况拟汇en。将每拿个点内都拆受成两倘个两篮个点尤，如u蛮->宴(闯u,厦u旅’)。从st向所猎有u连边虑，容师量为1费用敞为0；从所蔑有u’向en连边绿，容务量为1费用接为0；若u,逆v之间软在原澡图中蹦有边法，那番么在u与v’之间款连边扭，费太用为急路径狮费用Pu漆v，容茧量为1。从st向所悉有v’连边棕，费昌用为扑瞬移暗到v点的统代价图。在这敲个图扶上运拖行费袜用流贤，就陡能得旧到最烛小代粘价。网络主流习持题集槐锦：牛营救宫行动一个N个点M条边拒的带跳点标各号的巨无向景图，龄经过苏一条独边需视要一浸定的昆时间土。现蔑在有K个人懒在0号点油，K个人免可以垫分头聋行动偷。在挺访问庭第i号点往之前吴不能丢经过鲜第i+晚1号点侨，K个人渣中任橡意一功个经柿过某匪个点狱之后饺就可导以认幼为该撕点被达访问臂了。选问访袜问完鄙所有负点的鱼前提屯下，存这K个人碑的行心走路纱径长编度之强和最鞋小是柔多少绿。网络荷流习枕题集帖锦：学营救奖行动其实庸这也邮是一兵道路荒径覆革盖的丙题目好，相赵当于陈把1~科n这个仇序列留拆成K个序蔬列，看并使翻得总演路程眠和最邪小。于是疑我们息可以每先用武改动仅过的Fl届oy块d算法裳求出饶在保逗证只驱访问驻标号头比i,双j都小格的节乘点的教前提迅下，i到j的最临短路鼻。之后伸和上篇题有笔相似医之处历，将墙点i拆成嘴两个俗点Ai和Bi。对于i!嘱=0，由Ai向Bi连一蕉条费铁用为0容量凝为1的边擦，然屠后Bi向汇白点连阵一条衣容量守为1费用筋为0的边半。源点皇向B0连一央条容偏量为k费用挠为0的边孔。每个B点都骑向比舌自己脉大的A点连筐一条孕容量雷为1费用倾为最但短路诊的边德。等等辈，这弟个算乔法好吐像有境问题蛋？与上董一题犯不同错的是售，这庄题要长求遍译历所鸣有节匀点。个因此知我们砍应该拒把所垒有A-净>B的边摧增设信下界1。网络近流习须题集油锦：举闭合筑子图最大倚权闭粪合子筝图类崖问题嫩：给定布一些垦事件孝。事件天之间百有依何赖关坚系，野比如纺若选文了A就一遣定要瞎选B。建图催的经胡典思固想：S-怜>(慕pA骂)A怎->盛(i正nf盏)B律->煤(p哗B)味TS-臂>A疾->香TS-熊>B蔬->拥TA-梦>(彻c)朴B用c作为扎最小拴割网络翠流习严题集仍锦：耀加工取顺序有N个工图作，M种机眉器，遣每种祝机器继你可得以租玩或者检买过甜来.每个悲工作揪包括旧若干洞道工歼序，自每道暖工序攻需要棒某种砌机器托来完奔成,你可亲以通蜘过购脊买或茶租用艇机器疗来完削成。猴现在芽给出继这些史参数它，求斯最大摔利润弃。N<炕=1态20好0,培M<伟=1坝20愿0网络熊流习互题集绸锦：乖加工预顺序分析斤与解狸答：这道脖题显窃然是军最大妇权闭抄合子脂图的挡模型荒。将所驰