山西省太原市古交第二中学2022年高三数学文联考试题含解析

山西省太原市古交第二中学2022年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，给出下列四个结论：①；②

③

④其中正确结论的序号是A．①②

B．②④

C．②③

D．③④A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为(

)A.-1

B.1

C.-2

D.2参考答案：D3.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的定义可得到a1的值，再由AB=2c1，e=可表示出e1，同样的在椭圆中用c2和a2表示出e2，然后利用换元法即可求出e1+e2的取值范围，即得结论?【解答】解：在等腰梯形ABCD中，BD2=AD2+AB2﹣2AD?AB?cos∠DAB=1+4﹣2×1×2×（1﹣x）=1+4x，由双曲线的定义可得a1=，c1=1，e1=，由椭圆的定义可得a2=，c2=x，e2=，则e1+e2=+=+，令t=∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+）在（0，﹣1）上单调递减，所以e1+e2＞×（﹣1+）=，故选：B．4.已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范围是A．

B．[－1,5]

C．

D．[－1,3]参考答案：A提示：设，(为的两根)．因为，所以且，．于是，．或．令，．即．所以，即．故．5.的展开式的系数是

（

）

A.

B.

C.0

D.3参考答案：A6.

设实数，，，则三数由小到大排列是

参考答案：7.若满足则的最大值为（A）1

（B）3（C）5

（D）9参考答案：D如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.8.已知，，，，则的大小关系为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（▲）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A10.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的渐近线方程________．参考答案：【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知把向量向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量，则的坐标为

参考答案：因为向量，所以。13.设函数

的最大值为M，若有10个互不相等的正数满足，且，则的值为

参考答案：答案：

14.（5分）已知f（x）是定义在R上连续的偶函数，f（x）的图象向右平移一个单位长度又得到一个奇函数，且f（2）=﹣1．则f（8）+f（9）+f（10）+…+f（2012）=．参考答案：1∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）用x+1换x，即f（x+1）=f（﹣x﹣1）①∵将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，∴函数f（x）的图象的对称中心（﹣1，0），有f（﹣1）=0，且f（﹣1﹣x）=﹣f（﹣1+x）

②∴由①②得f（x+1）=﹣f（﹣1+x），可得f（x+2）=﹣f（x），得到f（x+4）=f（x），∴函数f（x）存在周期T=4，∵f（2）=﹣1，f（﹣1）=0，利用条件可以推得：f（﹣1）=f（1）=0，f（2）=﹣1=﹣f（0），f（3）=f（4﹣1）=0，f（﹣3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=1，所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，∴f（8）+f（9）+f（10）+…+f（2012）=f（8）=f（4）=1．故答案为：1．15.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则＝＿＿＿参考答案：.16.已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}17.下列命题中：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②已知函数y=f（3x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0]；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）参考答案：③④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】求出使集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素的k值判断①；由已知求得x2﹣x﹣2的值判断②；由函数单调性的判定方法判断③；画图求出方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数判断④．【解答】解：对于①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；或k=0，所以①不正确；对于②已知函数y=f（3x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0]；定义域一个是：[]，sy②不正确；对于③，函数y==﹣，∵y=在（﹣∞，0）上是减函数，∴y=﹣在（﹣∞，0）上是增函数，故③正确；对于④，画出函数y=2|x|﹣1与y=log2（x+2）的图象如图：由图可知，方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2，故④正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．【点评】本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．19.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；（2）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）求出两个班数据的平均值都为7，求出甲班的方差，乙班的方差，推出结果即可．（2）X、Y可能取0，1，2，求出概率，得到分布列，然后分别求解期望．【解答】解：（1）两个班数据的平均值都为7，甲班的方差，乙班的方差，因为，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定．（2）X可能取0，1，2，，，，所以X分布列为：X012P

数学期望Y可能取0，1，2，，，，所以Y分布列为：Y012P

数学期望．【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法．本题主要考查学生的数据处理能力．20.已知函数f（x）=|2x﹣1|+a|x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，解关于x的不等式f（x）≥4；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含，求实数a的取值范围．参考答案：【分析】（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞4的解集．（Ⅱ）f（x）≥|x﹣2|的解集包含[，2]，即为a|x﹣1|≥3﹣3x对x∈[，2]恒成立，分类解得即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，原问题等价于|2x﹣1|+|x﹣1|≥4，若，则2﹣3x≥4，解得；若，则x≥4，不符合题意，舍；若x＞1，则3x≥6，解得x≥2；不等式的解集为；（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含，∴a|x﹣1|≥3﹣3x对恒成立，故时，a（1﹣x）≥3﹣3x，a≥3，∴1≤x≤2时，a（x﹣1）≥3﹣3x，∴a≥﹣3；综上：a≥3．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．21.（14分）已知函数．(Ⅰ)求函数的最小值；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.设函数，，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解析：(Ⅰ)解：因为，令，解得，令，解得，所以函数在上递减，上递增，所以的最小值为．

………3分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知函数在取得最小值，所以，即两端同时乘以得，把换成得，当且仅当时等号成立．由得，，，，…

，．将上式相乘得．………9分（Ⅲ）设.

则．

所以当时，；当时，．因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点．设与存在“分界线”，方程为.由在恒成立，则在恒成立.所以成立.因此.下面证明成立.

设，.

所以当时，；当时，.

因