误差分析与数据处理应用

误差分析与数据处理应用标准不确定度的A类评定方法：

（一）定义：用统计方法评定出的不确定度。（二）评定方法：用贝塞尔公式计算；标准不确定度的B类评定方法：（一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。（二）评定方法（两大类）：

B类评定方法获得的不确定度，是设法利用与被测量有关的先验信息来进行估计，这些先验信息如有关测量仪器的示值误差等。

1）B类评定第一大类:类似于已知扩展不确定度（将其除以包含因子即可）。

2）B类评定第二大类：类似于已知最大示值误差（将其模除以即可。标准不确定度评定小结第四章测量结果的不确定度评定第一节测量不确定度的基本概念与分类第二节标准不确定度的评定第三节合成标准不确定度第四节扩展不确定度第五节测量数据的处理步骤和测量结果的表达合成标准不确定度（combinedstandarduncertainty）

1、定义：

当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结果的合成标准不确定度等于这些量的方差和（或）协方差加权和的正平方根，其中权系数按测量结果随这些量变化的情况而定。

2、符号：用符号uc表示。

3、评定方法：

当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过多个标准不确定度分量合成得到。概念合成公式:ui——第ｉ个标准不确定度分量（A类或B类）m——不确定度分量的个数

——第ｉ和第j个标准不确定度分量之间的相关系数uc——合成标准不确定度合成方法若各标准不确定度分量相互间独立时，测量的合成标准不确定度计算公式可进一步简化为：ui——第ｉ个标准不确定度分量（A类或B类）m——不确定度分量的个数uc——合成标准不确定度合成方法例：50米的泳道，比赛官员要求检查中间泳道的长度。检查时用高质量殷钢制成的带尺，带尺用恒定张力拉紧。带尺的温度效应和弹力效应很小，可忽略。查阅带尺技术说明，得知带尺的分化刻度误差不大于±3mm。6次测量值为：50.005,49.990,50.003,49.998,50.004,50.001,试求泳道长度的估计值及它的合成标准不确定度uc(x)。

分析:1）有几个标准不确定度分量？由6个测值得到的A类标准不确定度分量u1；由带尺的分化刻度误差引起的B类标准不确定度分量u2；

计算举例第7页2）设被测量为x,测量的数学模型如何建立？为了评定标准不确定度，首先要根据测量方法和测量过程建立测量数学模型。数学模型只是计算被测量的函数关系式，我们以它作为基础，导出测量结果不确定度的关系式。计算举例3）如何将两个标准不确定度分量合成？应按标准不确定度合成公式来合成，按两个分量之间相互独立处理：计算举例例：数字电压表制造厂说明书中说明：在1V内示值最大允许误差的模为14×10－6×（读数）＋2×10－6×（范围），求：1）当测值为时B类标准不确定度。

2）若按A类方法评定已求出其重复性标准不确定度为,试求合成标准不确定度uc(V)。解：

1）求当测值为时B类标准不确定度最大允许误差的模为：

14×10－6×（）＋2×10－6×（1V）=15μV

判断为均匀分布，则：计算举例对于间接测量的情况，Y=F(X1,X2,……Xm)时，有如下的合成标准不确定度传播律（公式）：式中：

uc(y)——输出量估计值y的合成标准不确定度

u(xi),u(xj)——输入量估计值xi和xj

的标准不确定度函数F(X1,X2,…

）在(x1,x2,…,xm)处的偏导数，称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数；ρij——Xi和Xj

在(xi,xj)处的相关系数间接测量的标准不确定度合成对于间接测量的情况的一个特例，Y=F(X1,X2,……Xm)，当第ｉ和第j个输入量xi

和xj

相互间均独立时ρij＝0,这时间接测量的标准不确定度传播公式可简化为：式中：

uc(y)——输出量估计值y的合成标准不确定度

u(xi),u(xj)——输入量估计值xi和xj

的标准不确定度函数F(X1,X2,…

）在(x1,x2,…,xm)处的偏导数，称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数；间接测量的标准不确定度合成若函数为：y=x1+x2+…+xm,则各标准不确定度分量的灵敏系数（偏导数）为1，测量的合成标准不确定度计算公式可简化为：若y=x1+x2+…+xm,且xi

相互间独立时，测量的合成标准不确定度计算公式可进一步简化为：间接测量的标准不确定度合成讨论：合成标准不确定度传播律（公式）有什么用途？

合成标准不确定度传播律（公式）的用途：

1）刚开始评定各标准不确定度分量时，帮助找全应该加以评定的各个A类、B类标准不确定度分量。

2）最后，用该合成标准不确定度传播公式，确定如何由各不确定度分量，去最终计算出合成标准不确定度。讨论讨论：分析前述的泳道测量不确定度合成有没有考虑敏感系数？

为了评定标准不确定度，首先要根据测量方法建立测量数学模型。数学模型是被测量的函数关系式，用它导出合成不确定度与各不确定度分量的关系式。前述例子，实际用的是合成标准不确定度传播公式的最简式。讨论例：为确定铝型材（矩形截面)的抗拉强度σ（单位MPa,1MPa＝1N/mm2

)，在拉力试验机上进行拉断测试试验。截面的宽度b＝12.5±0.2mm,，厚度h＝2.4±0.1mm,按要求制成5个试样进行拉断试验，使用测量仪器性能如下：拉力试验机：1级，最大允许误差±1％，游标卡尺(测宽）：最大允许误差，千分尺(测厚）：最大允许误差±4μm，测量模型：σ=F/bh，试验数据如下：12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78计算举例第16页一、抗拉强度σ平均值的两种计算方法12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78计算举例二、测量结果合成标准不确定度u(c)的确定：计算举例二、测量结果合成标准不确定度u(c)的确定：计算举例二、测量结果合成标准不确定度u(c)的确定：计算举例二、测量结果合成标准不确定度u(c)的确定：计算举例计算举例计算举例讨论：

1）间接测量时不确定度分量的单位量纲为何不同？

2）两种计算方法偏差为何较大？3）哪种计算方法更好些？计算举例计算举例原因：在同一组测值中，宽度b和厚度h一个大时，另一个则小，致使按公式σ＝F/bh计算出的σi相差不多，即：b和h可能负相关，F和h可能正相关，F和b可能负相关。若将相关考虑后应有所改进。哪种计算方法好？12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78计算举例12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78计算举例利用相对标准不确定度来计算合成标准不确定度：对于间接测量的情况，y=f(x1,x2,……xm)，当数学模型为：

这时数学模型的特点是被测量为各个输入量的乘积，若第ｉ个和第j个输入量xi

和xj

相互间均独立,ρij＝0,则间接测量的标准不确定度传播公式如下式，可看出传播系数计算较繁：间接测量的标准不确定度合成第28页利用各不确定度分量的相对标准不确定度来计算合成标准不确定度往往比较方便。间接测量的标准不确定度合成这时合成标准不确定度的计算公式为：例：对于Y＝bX1X2X3，输入量X1，X2，X3的估计值x1,x2,x3彼此独立，若：urel(x1)=u(x1)/x1=0.25%,测量次数n1=10

urel(x2)=u(x2)/x2=0.57%,测量次数n2=5

urel(x3)=u(x3)/x3=0.25%,测量次数n3=15试求:其相对合成不确定度ucrel。计算举例第30页一、计算合成标准不确定度时，一般应先建立测量数学模型，而为了正确建立数学模型，则应找全影响测量结果的各个标准不确定度分量。二、为计算仪器最大允许误差引起的不确定度对合成标准不确定度的贡献，在建立测量数学模型时，常采用其值为零而标准不确定度不为零的修正值Δ。三、当利用不确定度传播律来计算合成标准不确定度时，若各标准不确定度分量相互间独立而不相关，则公式及计算都将简化。大多数测量场合该条件可满足，但并不是所有的场合均可如此简化。故应仔细分析各标准不确定度分量相互间的关系，并在设计测量试验时预先采取措施以争取各分量相互间独立。合成标准不确定度小结第四章测量结果的不确定度评定第一节测量不确定度的基本概念与分类第二节标准不确定度的评定第三节合成标准不确定度第四节扩展不确定度第五节测量数据的处理步骤和测量结果的表达1、定义：

扩展不确定度（expandeduncertainty）：确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。（这个大部分实际是指超过90％）。

扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以一个包含因子k得到。（k一般在2～3范围内选取）。

expandeduncertainty：quantitydefininganintervalabouttheresultofameasurementthatmaybeexpectedtoencompassalargefractionofthedistributionofvaluesthatcouldreasonablybeattributedtothemeasurand.

2、符号：用符号U,Up表示。记为：U=k*uc

或：Up=k*uc

注：扩展不确定度UP的下标p表示的是扩展不确定度U的置信概率。基本概念为什么一定要使此区间包含合理赋予被测量之值分布的大部分？不包含大部分有什么问题？合成标准不确定度的量纲是什么？相关系数的量纲是什么？包含因子的量纲是什么？扩展不确定度的量纲是什么？思考包含因子k的确定：

包含因子k的大小由置信概率p和分布的类型确定。1）如果没有特殊说明，则按正态分布考虑。

这时相对应的包含因子k与置信概率p的对应关系为：

p=95%时k=1.96，扩展不确定度符号：U95

(有时表示成α＝0.05)

p=99%时k=2.576，扩展不确定度符号：U99(有时表示成α＝0.01)

有些场合也用：k=2这时p=95.45%

或k=3这时p=99.73%包含因子的确定置信概率的确定原则：

1）一般测量：选p=95%

2）重要的测量：选p=99%？2）重要的测量，或测量次数较小时，k由t分布确定：

包含因子k（t分布时常用符号t表示）由置信概率p(或α）、以及自由度ν从t分布表查出。包含因子的确定t分布特点：

1、当测量次数n较小时，t分布更精确。

2、相同测量次数下，t分布k值比正态分布k值大。

3、相同置信概率下，自由度不同时查出的k的值不同。

实例自由度的概念自由度定义为计算总和中独立项的个数，即总和的项数减去其中受约束的项研究自由度的意义自由度的大小直接反映了不确定度的评定质量，自由度并非测量结果的自由度，而是所评定的标准偏差的自由度，也就是不确定度的自由度

不确定度的评定质量取决于标准差的可信赖程度，标准差的信赖程度与自由度关系如下：

上式表明：自由度越大，标准差的相对不确定度越小，标准差愈可信赖。自由度相对实验标准差公式推导期望：标准差：若x1，x2，…，xn是来自某测量总体的一个测量样本，满足正态、独立和相同测量条件，则有预备知识：分布若为独立服从同分布N（0，1）的随机误差变量，则：

称服从自由度为的分布，记为。相对实验标准差公式推导设x1，x2，…，xn是来自某测量总体的一个测量样本，满足正态、独立和相同测量条件，则有（1）根据贝塞尔公式，有代入（1）式，（2）（3）取的方差，有即有以下推导，注意到，用泰勒级数展开，并取一阶近似：（4）（5）（6）取方差：（7）相对实验标准差公式推导因此有：若单次测值的标准偏差s(x)的自由度为n-1,

请问：算术平均值的标准不确定度的自由度是多少？

测量值的标准偏差的自由度和算术平均值的标准偏差的自由度是否相同？为什么？

算术平均值的标准偏差的自由度仍然是n-1。

因测量次数n相同，计算这两者时所依据的信息量相同，故可靠程度应相同。

从另一个角度考虑，因为自由度ν表示的是不确定度自身的不确定度的大小，自由度相对实验标准差思考自由度的计算方法（评定）情况1）：对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中的n个独立测量个数减去待求量的个数1，即。情况2）：对某量X进行n次独立重复测量，在用贝塞尔公式计算实验标准差是，需要计算残差平方和中的n个残差，因为n个残差满足一个约束条件，即独立残差个数为n-1，即用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。情况3）：按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由度，记为Veff，计算公式为：（常用于B类标准不确定度的评定）自由度评定合成标准不确定度的自由度：

当各不确定度分量ui的自由度均已知时，合成标准不确定度uc的自由度（常称为有效自由度）计算公式为：自由度评定例：试求某被测量的合