高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图象7.3.5已知三角函数值求角学案新人教B版必修第三册

7．3.5已知三角函数值求角【课程标准】会利用已知的三角函数值求相应的角．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一已知正弦值，利用正弦线或者正弦曲线求角．知识点二已知余弦值，利用余弦线或者余弦曲线求角．知识点三已知正切值，利用正切线或者正切曲线求角．基础自测1．已知cosx＝－22，π＜x＜2π，则x＝(A．3π2B．5π4C．42．已知α是三角形的内角，且sinα＝32，则α＝(A．π6 B．C．π6或5π6 D．3．已知tan2x＝－33且x∈[0，π]，则x＝________4．若cosx＝cosπ7，求x课堂探究·素养提升——强化创新性题型1已知正弦值求角例1已知sinx＝32.(1)当x∈[－π2，π2(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；(3)当x∈R时，求x的取值集合；(4)求不等式sinx<－12利用三角函数线、图象结合周期性求解集．方法归纳(1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．(2)对于已知正弦值求角有如下规律：sinx＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则方程f(x)＝1在(0，π]上的解集为(2)求不等式sinx>－22题型2已知余弦值求角例2(1)已知cosx＝－12①当x∈[0，π]时，求x的值；②当x∈R时，求x的取值集合．(2)已知cos(2x－π3)＝32，求(3)求不等式cos(12x＋π6)>－状元随笔(1)(2)利用余弦线、图象求值．(3)先求出相等时的x值，再写出满足不等式的x的范围．跟踪训练2(1)已知cosx＝－22且x∈[0，2π)，求x(2)求不等式2cos(2x＋π6)－2<0方法归纳cosx＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．题型3已知正切值求角例3(1)已知tanα＝1.①若α∈(－π2，π2②若α∈R，求角α.(2)已知f(x)＝tan(3x－π6)，求使f(x)≤－33成立的状元随笔利用正切线或图象求值，先求x的范围，再根据周期写解集．方法归纳(1)已知角的正切值求角，可先求出(－π2，π2)内的角α，再由y(2)tanx＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋α，k∈Z}．跟踪训练3(1)已知tanx＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.(2)当0<x<π时，使tanx<－1成立的x的取值范围为________.(3)函数y＝1＋tan(2x－π6)在区间(－π，π)内的零点个数为7．3.5已知三角函数值求角新知初探·自主学习[基础自测]1．解析：因为x∈(π，2π)且cosx＝－22，∴x＝5答案：B2．解析：因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sinα＝32时，α＝π3或2答案：D3．解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].∵tan2x＝－33，∴2x＝5π6或2x∴x＝5π12或答案：5π124．解析：在同一个周期[－π，π]内，满足cosx＝cosπ7的角有两个：π7和－又y＝cosx的周期为2π，所以满足cosx＝cosπ7的x为2kπ±π7(k∈Z课堂探究·素养提升例1【解析】(1)∵y＝sinx在[－π2，π2]上是增函数，且sinπ3＝32，∴x＝π(2)∵sinx＝32＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sinπ3＝sin(π－π3)∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝π3或x＝2∴x的取值集合为{π3，(3)当x∈R时，x的取值集合为{x|x＝2kπ＋π3，或x＝2kπ＋2π3，k∈(4)方法一由sinx＝－12<0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为1可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′.又因为sin(－5π6)＝sin(－π6)所以x＝－5π6＋2kπ或x＝－π6＋2kπ，k如果x终边在∠POP′中，则有sinx<－12所以－5π6＋2kπ<x<－π6＋2kπ，k所以不等式的解集为{x|－5π6＋2kπ<x<－π6＋2kπ，k∈方法二因为sinx＝－12如图所示，由正弦函数的图象，知在[－2π，0]内，sin(－5π6)＝sin(－π6)所以x＝－5π6＋2kπ或x＝－π6＋2kπ，k所以－5π6＋2kπ<x<－π6＋2kπ，k所以不等式的解集为{x|－5π6＋2kπ<x<－π6＋2kπ，k∈跟踪训练1解析：(1)由题意可得：2πω＝π，解得ω＝所以f(x)＝2sin(2x＋π3)＝1，可得sin(2x＋π3)＝因为x∈(0，π]，所以2x＋π3∈(π3所以2x＋π3＝5π6或13π6，即x(2)当sinx＝－22x＝5π4＋2kπ或x＝－π4＋2kπ，k所以－π4＋2kπ<x<5π4＋2kπ，k所以不等式的解集为{x|－π4＋2kπ<x<5π4＋2kπ，k∈答案：(1){π4，11π例2【解析】(1)①∵cosx＝－12且x∈[0，π]，∴x＝2②当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解．∵cosx＝－12，故x所以，由余弦函数的周期性知，当x＝2π3＋2kx＝2kπ－2π3(k∈Zcosx＝－12，即所求x{x|x＝2π3＋2kπ或x＝2kπ－2π3(k(2)由cos(2x－π3)＝32>0，知角2x－π3如图所示，可知角2x－π3的终边可能是OP，也可能是OP又因为cosπ6＝cos(－π6)＝所以2x－π3＝－π6＋2kπ或2x－π3＝π6＋2kπ，所以x＝π12＋kπ或x＝π4＋kπ，k∈(3)如图所示，在[－π，π]上，x2+π6＝－3πcos(x2+π6所以x2+π6＝－3π4＋2kπ或x2+π6＝3π4＋2k令－3π4＋2kπ<x2+π6<3π4＋解得－11π6＋4kπ<x<7π6＋4kπ，所以不等式的解集为{x|－11π6＋4kπ<x<7π6＋4kπ，k跟踪训练2解析：(1)由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限的角，由cos(π－π4)＝－cosπ4＝－22，所以在区间[0，2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－π4＝3π4.又cos(π4＋π)＝－cosπ4＝－22，所以在区间[0，2π)故所求角的集合为{3π4(2)不等式变为cos(2x＋π6)<2则π4＋2kπ<2x＋π6<7π4＋2kπ，解得π24＋kπ<x<19π24＋kπ，k所以不等式的解集为{x|π24＋kπ<x<19π24＋kπ，k∈例3【解析】(1)①由正切函数在开区间(－π2，π2)上是增函数可知，符合条件tanα＝1的角只有一个，即②α＝kπ＋π4(k∈Z)(2)方法一令t＝3x－π6，作出函数y＝tant则－π2＋kπ<t≤－π6＋kπ，k∈即－π2＋kπ<3x－π6≤－π6＋kπ，k解得－π9+kπ3<x≤k所以不等式tan(3x－π6)≤－3(－π9+kπ3，方法二因为tan(3x－π6)＝－33<0，令t＝3x－所以角3x－π6对应的正切线方向朝下，而且长度为3如图所示，可知3x－π6的终边可能是OT，也可能是OT′因为tan(－π6)＝tan5π6即－π2＋kπ<3x－π6≤－π6＋kπ，k解得－π9+kπ3<x≤k所以不等式tan(3x－π6)≤－3(－π9+kπ3，跟踪训练3解析：(1)∵tanx＝－1＜0，∴x是第二或第四象限的角．由tan(－π4)＝－tanπ4＝－所求符合条件的第四象限角为x＝－π4又由tan(－5π4)＝－tanπ4得所求符合条件的第二象限角为x＝－5π∴在[－2π，0]内满足条件的角是－π4与－5(2)由正切函数的图象知，当0<x<π时，若tanx<－1，则π2<x<