高中数学课时作业19平面与平面垂直新人教B版必修第四册

课时作业(十九)平面与平面垂直一、选择题1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β2.如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有()A．3对B．4对C．5对D．6对3.如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE4．(多选)若正方形ABCD与正方形ADEF所在平面互相垂直，M为BE的中点，N为AD的中点﹐则下列结论正确的是()A．MN⊥平面BCEB．MN∥平面ECDC．MN⊥EFD．MN∥CD二、填空题5．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________．6．如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．7．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\f(4\r(3),5)，则二面角A­BD­P的度数为________．三、解答题8．如图所示，三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.9．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.[尖子生题库]10．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．课时作业(十九)平面与平面垂直1．解析：∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.答案：C2．解析：因为PA⊥平面ABCD，且PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，PA⊂平面PAC，所以平面PAB和平面PAC和平面PAD都与平面ABCD垂直，又AD⊥PA，AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，又AD⊂平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD，同理可证平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD.答案：D3．解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4．解析：取EC中点H.连接HM，HD，如图，由于M为BE的中点，N为AD的中点﹐因此HM，ND都平行并且等于BC的eq\f(1,2)，所以HM与ND平行且相等，MNDH是平行四边形，MN∥HD，由AD与平面ECD内两相交直线CD，DE都垂直得AD⊥平面CDE，DH⊂平面CDE，则AD⊥DH，BC∥AD，所以BC⊥DH，DE＝DC，H是EC中点，DH⊥EC，EC∩BC＝C，EC，BC⊂平面BCE，所以DH⊥平面BCE，所以MN⊥平面BCE，A正确，由MN∥DH，MN⊄平面ECD，DH⊂平面ECD，得MN∥平面ECD，B正确；AD∥EF，AD⊥DH，DH∥MN，所以MN⊥EF，C正确；DH与CD相交，D错误．故选ABC.答案：ABC5．解析：连接BC.∵BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，∴BD⊥α.∵BC⊂α，∴BD⊥BC，∴△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝eq\r(32＋42)＝5.在Rt△CBD中，CD＝eq\r(52＋122)＝13.答案：136．解析：连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2)，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值为2eq\r(7).答案：2eq\r(7)7．解析：过A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角．由AB＝3，AD＝4知BD＝5.又AB·AD＝BD·AE，所以AE＝eq\f(12,5)，所以tan∠AEP＝eq\f(\f(4\r(3),5),\f(12,5))＝eq\f(\r(3),3).所以∠AEP＝30°.答案：30°8．证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.9．证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝eq\f(1,2)BC，∴BE必与CD相交．又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.10．解析：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCG