2024届云南省育能高级中学高三上数学期末达标检测试题含解析

2024届云南省育能高级中学高三上数学期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．2．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．3．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（）A． B． C． D．4．函数（）的图像可以是（）A． B．C． D．5．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）6．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．若复数满足，则()A． B． C． D．8．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A．10 B．9 C．8 D．79．已知为等差数列，若，，则()A．1 B．2 C．3 D．610．已知，则，不可能满足的关系是（）A． B． C． D．11．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]12．的展开式中含的项的系数为（）A． B．60 C．70 D．80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则____________．14．若，则=____，=___.15．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．16．过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，（其中）.(1)求；(2)求证：当时，．18．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.19．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．20．（12分）已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数；（2）若在上单调递增，且求c的最大值.21．（12分）改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计（Ⅰ）求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82822．（10分）已知函数.其中是自然对数的底数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.【详解】函数则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.2、B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值．【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．3、B【解析】

根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.【详解】由于，函数最高点与最低点的高度差为，所以函数的半个周期，所以，又，，则有，可得，所以，将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，所以的最小值为1，故选：B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.4、B【解析】

根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.【详解】由题可知：，所以当时，，又，令，则令，则所以函数在单调递减在单调递增，故选：B【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.5、C【解析】

首先判断出为假命题、为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题若直线，直线平面，则直线平面或直线在平面内，命题为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题若直线平面，则若直线与平面内的任意直线都垂直，命题为真命题.故:A命题“”为假命题；B命题“”为假命题；C命题“”为真命题；D命题“”为假命题.故选：C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.6、C【解析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】点不在直线、上，若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立，若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下：若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．7、C【解析】

化简得到，，再计算复数模得到答案.【详解】，故，故，.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.8、B【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度，都大于0，由基本不等式可知，此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．9、B【解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】∵{an}为等差数列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故选：B．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10、C【解析】

根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．【详解】∵；∴，；∴，，故正确；，故C错误；∵，故D正确故C．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题11、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.12、B【解析】

展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解【详解】由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，所以的展开式中含的项的系数为．故选：B【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由于，则．14、12821【解析】

令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值.【详解】令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.15、【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则∵∠APB的大小恒为定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．16、【解析】解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1.由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b−7=0.∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0，由点到直线的距离公式得：MN的最小值为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】

(1)取，则；取，则，∴；(2)要证，只需证，当时，；假设当时，结论成立，即，两边同乘以3得：而∴，即时结论也成立，∴当时，成立.综上原不等式获证.18、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；（2）根据（1）中求得的的单调性，得出在处取得最大值为，构造函数，利用导数，推出，即可证明不等式.【详解】解：（1）由于，得，当时，，此时在上递增；当时，由，解得，若，则，若，，此时在递增，在上递减.（2）由（1）知在处取得最大值为：，设，则，令，则，则在单调递减，∴，即，则在单调递减∴，∴，∴.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.19、(1)AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）【解析】

设.（1）因为直线的倾斜角为，，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，故线段AB的中点的横坐标为．（2）根据题意得点，若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理得，则，设直线BM、CM的斜率分别为、，则，即=，即M，B，C三点共线．（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，设，联立方程组，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，结合，得，当时，该直线为轴，即，此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意；当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，再结合，得到，即，综上，得到实数的取值范围是．20、（1）见解析（2）2【解析】

（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.【详解】（1）当时,,定义域为,由可得,令,则,由,得；由,得,所以在上单调递增,在上单调递减,则的最大值为,且当时,；当时,,由此作出函数的大致图象,如图所示.由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,设,则,①若,则,则在上单调递减,显然,在上不恒成立；②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意；③若,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,由,得,设,则,当时,,单调递减；当时,,单调递增,所以,所以,又,所以,即c的最大值为2.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨