2019年全国中考数学续61套压轴题分类解析汇编专题9-几何综合问题

/2019年全国中考数学〔续61套压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题24.〔2019XXXX12分如图.AB是⊙O的弦.D为OA半径的中点.过D作CD⊥OA交弦AB于点E.交⊙O于点F.且CE=CB．〔1求证：BC是⊙O的切线；〔2连接AF.BF.求∠ABF的度数；〔3如果CD=15.BE=10.sinA=.求⊙O的半径．[答案]解：〔1证明：连接OB.∵OB=OA.CE=CB.∴∠A=∠OBA.∠CEB=∠ABC。又∵CD⊥OA.∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。∴BC是⊙O的切线。〔2连接OF.AF.BF.∵DA=DO.CD⊥OA.∴△OAF是等边三角形。∴∠AOF=60°。∴∠ABF=∠AOF=30°。〔3过点C作CG⊥BE于点G.由CE=CB.∴EG=BE=5。易证Rt△ADE∽Rt△CGE.∴sin∠ECG=sin∠A=.∴。∴。又∵CD=15.CE=13.∴DE=2.由Rt△ADE∽Rt△CGE得.即.解得。∴⊙O的半径为2AD=。[考点]等腰〔边三角形的性质.直角三角形两锐角的关系.切线的判定.圆周角定理.勾股定理.相似三角形的判定和性质.锐角三角函数定义。[分析]〔1连接OB.有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。〔2连接OF.AF.BF.首先证明△OAF是等边三角形.再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。〔3过点C作CG⊥BE于点G.由CE=CB.可求出EG=BE=5.由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2.由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长.从而求出⊙O的半径。25.〔2019XXXX10分已知：在△ABC中.∠ACB=900.点P是线段AC上一点.过点A作AB的垂线.交BP的延长线于点M.MN⊥AC于点N.PQ⊥AB于点Q.A0=MN．〔1如图l.求证：PC=AN；〔2如图2.点E是MN上一点.连接EP并延长交BC于点K.点D是AB上一点.连接DK.∠DKE=∠ABC.EF⊥PM于点H.交BC延长线于点F.若NP=2.PC=3.CK：CF=2：3.求DQ的长．[答案]解：〔1证明：∵BA⊥AM.MN⊥AP.∴∠BAM=ANM=90°。∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°.∴∠PAQ=∠AMN。∵PQ⊥ABMN⊥AC.∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA〔ASA。∴AN=PQ.AM=AP。∴∠AMB=∠APM。∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°.∠AMB+∠ABM=90°.∴∠ABM=∠PBC。∵PQ⊥AB.PC⊥BC.∴PQ=PC〔角平分线的性质。∴PC=AN。〔2∵NP=2PC=3.∴由〔1知PC=AN=3。∴AP=NC=5.AC=8。∴AM=AP=5。∴。∵∠PAQ=∠AMN.∠ACB=∠ANM=90°.∴∠ABC=∠MAN。∴。∵.∴BC=6。∵NE∥KC.∴∠PEN=∠PKC。又∵∠ENP=∠KCP.∴△PNE∽△PCK。∴。∵CK：CF=2：3.设CK=2k.则CF=3k。∴.。过N作NT∥EF交CF于T.则四边形NTFE是平行四边形。∴NE=TF=.∴CT=CF－TF=3k－。∵EF⊥PM.∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。∴∠BPC=∠BFH。∵EF∥NT.∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。∴。∴.。∴CT=。∴。∴CK=2×=3.BK=BC－CK=3。∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK.∠DKE=∠ABC.∴∠BDK=∠PKC。∴。∴tan∠BDK=1。过K作KG⊥BD于G。∵tan∠BDK=1.tan∠ABC=.∴设GK=4n.则BG=3n.GD=4n。∴BK=5n=3.∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。∵.AQ=4.∴BQ=AB－AQ=6。∴DQ=BQ－BD=6－。[考点]相似形综合题.全等三角形的判定和性质.角平分线的性质.勾股定理.相似三角形的判定和性质.等腰直角三角形的判定和性质.解直角三角形。[分析]〔1确定一对全等三角形△AQP≌△MNA.得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线.利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。〔2由已知条件.求出线段KC的长度.从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中.解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。26.〔2019XXXX10分如图1.⊙O是△ABC的外接圆.AB是直径.OD∥AC.且∠CBD=∠BAC.OD交⊙O于点E．〔1求证：BD是⊙O的切线；〔2若点E为线段OD的中点.证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；〔3作CF⊥AB于点F.连接AD交CF于点G〔如图2.求的值．[答案]解：〔1证明：∵AB是⊙O的直径.∴∠BCA=90°。∴∠ABC+∠BAC=90°。又∵∠CBD=∠BAC.∴∠ABC+∠CBD=90°。∴∠ABD=90°。∴OB⊥BD。∴BD为⊙O的切线。〔2证明：如图.连接CE、OC.BE.∵OE=ED.∠OBD=90°.∴BE=OE=ED。∴△OBE为等边三角形。∴∠BOE=60°。又∵OD∥AC.∴∠OAC=60°。又∵OA=OC.∴AC=OA=OE。∴AC∥OE且AC=OE。∴四边形OACE是平行四边形。而OA=OE.∴四边形OACE是菱形。〔3∵CF⊥AB.∴∠AFC=∠OBD=90°。又∵OD∥AC.∴∠CAF=∠DOB。∴Rt△AFC∽Rt△OBD。∴.即。又∵FG∥BD.∴△AFG∽△ABD。∴.即。∴。[考点]圆的综合题.圆周角定理.直角三角形两锐角的关系.切线的判定.直角三角形斜边上的中线性质.等边三角形的判定和性质.平行的判定和性质.菱形的判定.相似三角形的判定和性质。[分析]〔1由AB是⊙O的直径.根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°.则∠ABC+∠BAC=90°.而∠CBD=∠BA.得到∠ABC+∠CBD=90°.即OB⊥BD.根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线。〔2连接CE、OC.BE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED.则△OBE为等边三角形.于是∠BOE=60°.又因为AC∥OD.则∠OAC=60°.AC=OA=OE.即有AC∥OE且AC=OE.可得到四边形OACE是平行四边形.加上OA=OE.即可得到四边形OACE是菱形。〔3由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°.而OD∥AC.则∠CAF=∠DOB.根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD.则有.即.再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD.则.即.然后求FG与FC的比即可。27.〔2019XXXX11分等边△ABC的边长为2.P是BC边上的任一点〔与B、C不重合.连接AP.以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE.分别与边AB、AC交于点M、N〔如图1。〔1求证：AM=AN；〔2设BP=x。=1\*GB3①若.BM=.求x的值；=2\*GB3②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S.求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；=3\*GB3③连接DE.分别与边AB、AC交于点G、H〔如图2.当x取何值时.∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形.请说明理由。[答案]解：〔1证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形.∴AD=AP.∠DAP=∠BAC=600.∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。∴△ADM≌△APN〔ASA.∴AM=AN。〔2=1\*GB3①易证△BPM∽△CAP.∴.∵BN=.AC=2.CP=2－x.∴.即。解得x=或x=。=2\*GB3②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。∵△ADM≌△APN.∴。∴。如图.过点P作PS⊥AB于点S.过点D作DT⊥AP于点T.则点T是AP的中点。在Rt△BPS中.∵∠P=600.BP=x.∴PS=BPsin600=x.BS=BPcos600=x。∵AB=2.∴AS=AB－BC=2－x。∴。∴。∴。∴当x=1时.S的最小值为。=3\*GB3③连接PG.设DE交AP于点O。若∠BAD=150.∵∠DAP=600.∴∠PAG=450。∵△APD和△APE都是等边三角形.∴AD=DP=AP=PE=EA。∴四边形ADPE是菱形。∴DO垂直平分AP。∴GP=AG。∴∠APG=∠PAG=450。∴∠PGA=900。设BG=t.在Rt△BPG中.∠B=600.∴BP=2t.PG=。∴AG=PG=。∴.解得t=－1。∴BP=2t=2－2。∴当BP=2－2时.∠BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。∵四边形ADPE是菱形.∴AO⊥DE.∠ADO=∠AEH=300。∵∠BAD=150.∴易得∠AGO=450.∠HAO=150.∠EAH=450。设AO=a.则AD=AE=2a.OD=a。∴DG=DO－GO=〔－1a。又∵∠BAD=150.∠BAC=600.∠ADO=300.∴∠DHA=∠DAH=750。∵DH=AD=2a.∴GH=DH－DG=2a－〔－1a=〔3－a.HE=2DO－DH=2a－2a=2〔－1a。∵..∴。∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。[考点]等边三角形的性质.全等三角形的判定和性质.相似三角形的判定和性质.解一元二次方程.锐角三角函数定义.特殊角的三角函数值.二次函数的最值.菱形的判定和性质.勾股定理和逆定理。[分析]〔1由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系.从而用ASA证明。〔2=1\*GB3①由△BPM∽△CAP.根据对应边成比例得等式.解方程即可。=2\*GB3②应用全等三角形的判定和性质.锐角三角函数和勾股定理相关知识求得.用x的代数式表示S.用二次函数的最值原理求出S的最小值。=3\*GB3③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形.应用相关知识求解。求出DG、GH、HE的表达式.用勾股定理逆定理证明。28.〔2019XXXX14分在正方形ABCD中.对角线AC.BD交于点O.点P在线段BC上〔不含点B.∠BPE＝∠ACB.PE交BO于点E.过点B作BF⊥PE.垂足为F.交AC于点G．〔1当点P与点C重合时〔如图①．求证：△BOG≌△POE；〔4分〔2通过观察、测量、猜想：=▲.并结合图②证明你的猜想；〔5分〔3把正方形ABCD改为菱形.其他条件不变〔如图③.若∠ACB=α.求的值．〔用含α的式子表示〔5分[答案]解：〔1证明：∵四边形ABCD是正方形.P与C重合.∴OB=OP.∠BOC=∠BOG=90°。∵PF⊥BG.∠PFB=90°.∴∠GBO=90°—∠BGO.∠EPO=90°—∠BGO。∴∠GBO=∠EPO。∴△BOG≌△POE〔AAS。〔2。证明如下：如图.过P作PM//AC交BG于M.交BO于N.∴∠PNE=∠BOC=900.∠BPN=∠OCB。∵∠OBC=∠OCB=450.∴∠NBP=∠NPB。∴NB=NP。∵∠MBN=900—∠BMN.∠NPE=900—∠BMN.∴∠MBN=∠NPE。∴△BMN≌△PEN〔ASA。∴BM=PE。∵∠BPE=∠ACB.∠BPN=∠ACB.∴∠BPF=∠MPF。∵PF⊥BM.∴∠BFP=∠MFP=900。又∵PF=PF.∴△BPF≌△MPF〔ASA。∴BF=MF.即BF=BM。∴BF=PE.即。〔3如图.过P作PM//AC交BG于点M.交BO于点N.∴∠BPN=∠ACB=α.∠PNE=∠BOC=900。由〔2同理可得BF=BM.∠MBN=∠EPN。∵∠BNM=∠PNE=900.∴△BMN∽△PEN。∴。在Rt△BNP中..∴.即。∴。[考点]几何综合题.正方形和菱形的性质.平行的性质.全等、相似三角形的判定和性质.锐角三角函数定义。[分析]〔1由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。〔2过P作PM//AC交BG于M.交BO于N.通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE.通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF.即可得出的结论。〔3过P作PM//AC交BG于点M.交BO于点N.同〔2证得BF=BM.∠MBN=∠EPN.从而可证得△BMN∽△PEN.由和Rt△BNP中即可求得。29.〔2019XXXX12分已知.如图①.∠MON=60°.点A.B为射线OM.ON上的动点〔点A.B不与点O重合.且AB=.在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P.且AP=BP.∠APB=120°.〔1求AP的长；〔2求证：点P在∠MON的平分线上；〔3如图②.点C.D.E.F分别是四边形AOBP的边AO.OB.BP.PA的中点.连接CD.DE.EF.FC.OP.①当AB⊥OP时.请直接写出四边形CDEF的周长的值；②若四边形CDEF的周长用t表示.请直接写出t的取值范围．[答案]解：<1>过点P作PQ⊥AB于点Q∵PA=PB.∠APB=120°.AB=4.∴AQ=AB=×4=2.∠APQ=∠APB=×120°=60°。在Rt△APQ中.sin∠APQ=∴AP=＝4。〔2证明：过点P分别作PS⊥OM于点S.PT⊥ON于点T.∴∠OSP=∠OTP=90°。在四边形OSPT中.∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°.∴∠APB=∠SPT=120°。∴∠APS=∠BPT。又∵∠ASP=∠BTP=90°.AP=BP.∴△APS≌△BPT〔AAS。∴PS=PT。∴点P在∠MON的平分线上。〔3①8+4②4+4＜t≤8+4。[考点]等腰三角形的.锐角三角函数定义.特殊角的三角函数值.多边形内角和定理.全等三角形的判定和性质.点在角平分线上的判定.三角形中位线定理[分析]〔1过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的"三线合一"的性质推知AQ=BQ=AB.然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。〔2作辅助线PS、PT〔过点P分别作PS⊥OM于点S.PT⊥ON于点T构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。〔3利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。①当AB⊥OP时.根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；②当AB⊥OP时.OP取最大值.即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时.四边形CDEF的周长取最小值.据此写出t的取值范围。30.〔2019XXXX12分如图1.梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC＝2∠BCD＝2α.点E在AD上.点F在DC上.且∠BEF=∠A.

〔1∠BEF=_____<用含α的代数式表示>；

〔2当AB＝AD时.猜想线段ED、EF的数量关系.并证明你的猜想；

〔3当AB≠AD时.将"点E在AD上"改为"点E在AD的延长线上.且AE＞AB.AB＝mDE.AD＝nDE".其他条件不变〔如图2.求的值〔用含m、n的代数式表示。[答案]解：〔1180°－2α。〔2EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O.连接BF。∵AD∥BC.∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α.∠ADC=180°－∠C=180°-α。∵AB=AD.∴∠ADB=〔180°－∠A=α。∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。由〔1得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。又∵∠EOB=∠DOF.∴△EOB∽△DOF。∴.即。∵∠EOD=∠BOF.∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。〔3延长AB至G.使AG=AE.连接BE.GE.则∠G=∠AEG=。∵AD∥BC.∴∠EDF=∠C=α.∠GBC=∠A.∠DEB=∠EBC。∴∠EDF=∠G。∵∠BEF=∠A.∴∠BEF=∠GBC。∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF.即∠EBG=∠FED。∴△DEF∽△GBE。∴。∵AB=mDE.AD=nDE.∴AG=AE=〔n+1DE。∴BG=AG－AB=〔n+1DE－mDE=〔n+1－mDE。∴。[考点]梯形的性质.平行线的性质.相似三角形的判定和性质.等腰三角形的性质。[分析]〔1由梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=2∠BCD=2α.根据平行线的性质.易求得∠A的度数.又由∠BEF=∠A.即可求得∠BEF的度数：∵梯形ABCD中.AD∥BC.∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。又∵∠BEF=∠A.∴∠BEF=∠A=180°－2α。〔2连接BD交EF于点O.连接BF.由AB=AD.易证得△EOB∽△DOF.根据相似三角形的对应边成比例.可得.从而可证得△EOD∽△BOF.又由相似三角形的对应角相等.易得∠EBF=∠EFB=α.即可得EB=EF。〔3延长AB至G.使AG=AE.连接BE.GE.易证得△DEF∽△GBE.然后由相似三角形的对应边成比例.即可求得的值。31.〔2019XXXX12分如图.正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上.点B坐标〔3.3.将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α〔0°＜α＜90°.得到正方形ADEF.ED交线段OC于点G.ED的延长线交线段BC于点P.连AP、AG．〔1求证：△AOG≌△ADG；〔2求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系.说明理由；〔3当∠1=∠2时.求直线PE的解析式．[答案]解：〔1证明：∵∠AOG=∠ADG=90°.∴在Rt△AOG和Rt△ADG中.AO=AD.AG=AG.∴△AOG≌△ADG〔HL。〔2∠PAG=45°,PG=OG+BP。理由如下：由〔1同理可证△ADP≌△ABP.则∠DAP=∠BAP。∵由〔1△AOG≌△ADG.∴∠1=∠DAG。又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°.∴2∠DAG+2∠DAP=90°.即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。∵△AOG≌△ADG.△ADP≌△ABP.∴DG=OG.DP=BP。∴PG=DG+DP=OG+BP。〔3∵△AOG≌△ADG.∴∠AGO=∠AGD。又∵∠1+∠AGO=90°.∠2+∠PGC=90°.∠1=∠2.∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°.∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。在Rt△AOG中.AO=3.OG=AOtan30°=.∴G点坐标为：〔.0.CG=3﹣。在Rt△PCG中.PC=.∴P点坐标为：〔3.。设直线PE的解析式为y=kx+b.则.解得。∴直线PE的解析式为y=x﹣1。[考点]一次函数综合题.全等三角形的判定和性质.三角形内角和定理.锐角三角函数定义.特殊角的三角函数值.待定系数法.直线上点的坐标与方程的关系.解二元一次方程组。[分析]〔1由AO=AD.AG=AG.利用"HL"可证△AOG≌△ADG。〔2利用〔1的方法.同理可证△ADP≌△ABP.得出∠1=∠DAG.∠DAP=∠BAP.而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°.由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质.可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。〔3由△AOG≌△ADG可知.∠AGO=∠AGD.而∠1+∠AGO=90°.∠2+∠PGC=90°.当∠1=∠2时.可证∠AGO=∠AGD=∠PGC.而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°.得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°.即∠1=∠2=30°.解直角三角形求OG.PC.确定P、G两点坐标.得出直线PE的解析式。32.〔2019XX威海11分探索发现：已知：在梯形ABCD中.CD∥AB.AD、BC的延长线相交于点E.AC、BD相交于点O.连接EO并延长交AB于点M.交CD于点N。〔1如图=1\*GB3①.如果AD=BC.求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；〔2如图=2\*GB3②.如果AD≠BC.那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺〔没有刻度.试作出图=3\*GB3③中的矩形ABCD的一条对称轴。〔写出作图步骤.保留作图痕迹[答案]解：〔1证明：∵AD=BC.CD∥AB.∴AC=BD.∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。∴点E在线段AB的垂直平分线上。在△ABD和△BAC中.∵AB=BA.AD=BC.AC=BD.∴△ABD≌△BAC〔SSS。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。∴点O在线段AB的垂直平分线上。∴直线EM是线段AB的垂直平分线。〔2相等。理由如下：∵CD∥AB.∴△EDN∽△EAM.△ENC∽△EMB.△EDC∽△EAB。∴。∴。∴。∵CD∥AB.∴△OND∽△OMB.△ONC∽△OMA.△OCD∽△OAB。∴。∴。∴。∴。∴AM2=BM2。∴AM=BM。〔3作图如下：作法：①连接AC.BD.两线相交于点O1；②在梯形ABCD外DC上方任取一点E.连接EA.EB.分别交DC于点G.H；③连接BG.AH.两线相交于点O2；④作直线EO2.交AB于点M；⑤作直线MO1。则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。[考点]平行的性质.全等、相似三角形的判定和性质.等腰三角形的判定.线段垂直平分线的判定.复杂作图。[分析]〔1一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上；另一方面可由SSS证明△ABD≌△BAC.从而得∠DBA=∠CAB.因此OA=OB.得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。〔2一方面由CD∥AB.得△EDN∽△EAM.△ENC∽△EMB.△EDC∽△EAB.利用对应边成比例可得；另一方面由CD∥AB.得△OND∽△OMB.△ONC∽△OMA.△OCD∽△OAB.利用对应边成比例可得。从而得到.即可得到AM=BM的结论。〔3按〔2的结论作图即可。33.〔2019XXXX9分如图.△ABC内接于⊙O.AB是⊙O的直径.C是的弧AD中点.弦CE⊥AB于点H.连结AD.分别交CE、BC于点P、Q.连结BD。<1>求证：P是线段AQ的中点；<2>若⊙O的半径为5.AQ=.求弦CE的长。[答案]解：〔1证明：∵AB是⊙O的直径.弦CE⊥AB.∴。又∵C是弧的中点.∴。∴。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。∵AB是直径．∴∠ACB=90°。∴∠PCQ=90°－∠ACP.∠CQP=90°－∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。∴PA=PQ.即P是AQ的中点。〔2∵.∴∠CAQ=∠ABC。又∵∠ACQ=∠BCQ.∴△CAQ∽△CBA。∴。又∵AQ=.BA=10.∴。设AC=3k.BC=4k.则由勾股定理得..解得k=2。∴AC=6.BC=8。根据直角三角形的面积公式.得：AC•BC=AB•CH.∴6×8=10CH。∴CH=。又∵CH=HE.∴CE=2CH=。[考点]圆的综合题.圆周角定理。垂径定理.相似三角形的判定和性质.勾股定理。[分析]〔1首先利用等角对等边证明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC.然再证明PC=PQ.即可得到P是AQ的中点。〔2首先证明：△CAQ∽△CBA.依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度.然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长.则可以求得CE的长。34.〔2019XXXX10分如图.AB是⊙O的直径.弦CD⊥AB于H.过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G.连接AG交CD于K．〔1求证：KE=GE；〔2若=KD·GE.试判断AC与EF的位置关系.并说明理由；〔3在〔2的条件下.若sinE=.AK=.求FG的长．[答案]解：〔1证明：如答图1.连接OG。∵EG为切线.∴∠KGE+∠OGA=90°。∵CD⊥AB.∴∠AKH+∠OAG=90°。又OA=OG.∴∠OGA=∠OAG。∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。〔2AC∥EF.理由如下：连接GD.如答图2所示。∵KG2=KD•GE.∴。又∵∠KGE=∠GKE.∴△GKD∽△EGK。∴∠E=∠AGD。又∵∠C=∠AGD.∴∠E=∠C。∴AC∥EF。〔3连接OG.OC.如答图3所示。由〔2∠E=∠ACH.∴sinE=sin∠ACH=。∴可设AH=3t.则AC=5t.CH=4t。∵KE=GE.AC∥EF.∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。在Rt△AHK中.根据勾股定理得AH2+HK2=AK2.即〔3t2+t2=〔2.解得t=。设⊙O半径为r.在Rt△OCH中.OC=r.OH=r﹣3t.CH=4t.由勾股定理得：OH2+CH2=OC2.即〔r﹣3t2+〔4t2=r2.解得r=t=。∵EF为切线.∴△OGF为直角三角形。在Rt△OGF中.OG=r=.tan∠OFG=tan∠CAH=.∴FG=。[考点]切线的性质.勾股定理.垂径定理.圆周角定理.等腰三角形的判定和性质.相似三角形的判定和性质.平行的判定.锐角三角函数定义。[分析]〔1如答图1.连接OG．根据切线性质及CD⊥AB.可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE.根据等角对等边得到KE=GE。〔2AC与EF平行.理由为：如答图2所示.连接GD.由∠KGE=∠GKE.及KG2=KD•GE.利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似.又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD.可推知∠E=∠C.从而得到AC∥EF。〔3如答图3所示.连接OG.OC．首先求出圆的半径.根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中.解直角三角形即可求得FG的长度。35.〔2019广西XX10分如图.AB是⊙O的直径.AC是弦.直线EF经过点C.AD⊥EF于点D.∠DAC=∠BAC．〔1求证：EF是⊙O的切线；〔2求证：AC2=AD•AB；〔3若⊙O的半径为2.∠ACD=30°.求图中阴影部分的面积．[答案]解：〔1证明：连接OC.∵OA=OC.∴∠BAC=∠OCA。∵∠DAC=∠BAC.∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。∵AD⊥EF.∴OC⊥EF。∵OC为半径.∴EF是⊙O的切线。〔2证明：∵AB为⊙O直径.AD⊥EF.∴∠BCA=∠ADC=90°。∵∠DAC=∠BAC.∴△ACB∽△ADC。∴。∴AC2=AD•AB。〔3∵∠ACD=30°.∠OCD=90°.∴∠OCA=60°.∵OC=OA.∴△OAC是等边三角形。∴AC=OA=OC=2.∠AOC=60°。∵在Rt△ACD中.AD=AC=1。由勾股定理得：DC=.∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×〔2+1×﹣。[考点]圆的综合题.等腰〔边三角形的判定和性质.平行的判定和性质.切线的判定.圆周角定理.相似三角形的判定和性质.解直角三角形.扇形面积。[分析]〔1连接OC.根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC.推出OC∥AD.得出OC⊥EF.根据切线的判定推出即可。〔2证△ADC∽△ACB.得出比例式.即可推出答案。〔3求出等边三角形OAC.求出AC、∠AOC.在Rt△ACD中.求出AD、CD.求出梯形OCDA和扇形OCA的面积.相减即可得出答案。36.〔2019广西贵港11分如图.Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.且∠ACB＝90°.AB＝5.BC＝3。点P在射线AC上运动.过点P作PH⊥AB.垂足为H。〔1直接写出线段AC、AD以及⊙O半径的长；〔2设PH＝x.PC＝y.求y关于x的函数关系式；〔3当PH与⊙O相切时.求相应的y值。[答案]解：〔1AC=4；AD=3.⊙O半径的长为1。〔2在Rt△ABC中.AB=5.AC=4.则BC=3。∵∠C=90°.PH⊥AB.∴∠C=∠PHA=90°。∵∠A=∠A.∴△AHP∽△ACB。∴.即。∴.即y与x的函数关系式是。〔3如图.P′H′与⊙O相切于点M.连接OD.OE.OF.OM。∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°.OM=OD.∴四边形OMH′D是正方形。∴MH′=OM=1。∵CE、CF是⊙O的切线.∠ACB=90°.∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°.CF=CE。∴四边形CEOF是正方形.CF=OF=1。∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C.即x=y。又由〔2知..∴.解得。[考点]圆的综合题.圆的切线性质.勾股定理.正方形的判定和性质.相似三角形的判定和性质。[分析]〔1连接AO、DO.EO.FO.设⊙O的半径为r.在Rt△ABC中.由勾股定理得AC=.∴⊙O的半径r=〔AC+BC-AB=〔4+3-5=1。∵CE、CF是⊙O的切线.∠ACB=90°.∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°.CF=CE。∴四边形CEOF是正方形。∴CF=OF=1。又∵AD、AF是⊙O的切线.∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3.即AD=3。〔2通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知..将"PH=x.PC=y"代入求出即可求得y关于x的函数关系式。〔3根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C.即x=y；最后将其代入〔2中的函数关系式即可求得y值。37.〔2019XXXX12分如图.在⊙O中.直径AB与弦CD相交于点P.∠CAB=40°.∠APD=65°．〔1求∠B的大小；〔2已知AD=6.求圆心O到BD的距离．[答案]解：〔1∵∠APD=∠C+∠CAB.∠CAB=40°.∠APD=65°.∴∠C=65°﹣40°=25°。∴∠B=∠C=25