垂径定理 全国获奖

24.2.1垂径定理驶向胜利的彼岸20149

王帅…讲授新课…圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?讨论：你是用什么方法解决上述问题的?

归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线驶向胜利的彼岸（一）想一想探索垂径定理

如图:在⊙O中，CD为直径，AB为弦，CD⊥AB于M,2023/6/28问题：（1）右图是轴对称图形吗？

如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？

说一说你的理由。驶向胜利的彼岸思考:归纳：2023/6/28总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。驶向胜利的彼岸由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.③AM=BM,探索垂径定理的逆定理1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。驶向胜利的彼岸由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,⌒⌒⑤AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE

即AC＝BD.ACDBOE1.在半径为5㎜的⊙O中，弦AB=8㎜，则O到AB的距离是=

。OABP练一练(1)3mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．讲例[例]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．2023/6/28[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300cm，OF＝OE-EF，此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程.驶向胜利的彼岸⌒⌒⌒你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!知“二”推“三”如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.

想一想P918●OABCDM└①过圆心的直线,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及逆定理

想一想P919●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.挑战自我垂径定理的推论

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习P9210●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.方法规律

想一想已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E.⑴若半径R=2，AB=,求OE、DE的长.⑵若半径R=2，OE=1，求AB、DE的长.⑶由⑴、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？方法总结

对于一个圆中的弦长a、弦心距为d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d+h=r⑵赵州石拱桥例1.

1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).RDOABC37.4m7.2m练一练在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600变形题在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600ø650DC例2：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，

BF⊥CD于F，且圆O的半径为

10㎝，CD=16㎝，求AE-BF的长。练习3:如图，CD为圆O的直径，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。小结

直径平分弦直径垂直于弦=>

直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弧所对