正方形的性质

课程标准湘教版教科书八年级下册数学桃源七中数学组李航2.7.1.正方形的性质2021.04.08平行四边形菱形平行四边形一个角是直角矩形一组邻边相等或对角线互相垂直或对角线相等观看图形变化过程，说说图形之间的联系1（一）复习思考，引入新课图形边角对角线对称性平行四边形

矩形

菱形对边平行且相等对边平行且相等对角相等四个角都是直角对角相等互相平分互相平分且相等互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形对边平行四条边都相等填写平行四边形、矩形和菱形的性质表2观察观察（二）尝试发现，探索新知装修房子铺地板的砖（如下图），大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？

因为有三个角是直角，所以是矩形。装修房子铺地板的砖（如下图），大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？

因为四条边都相等，所以是菱形。可见：正方形既是矩形，也是菱形.（二）尝试发现，探索新知

我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.平行四边形有一个角是直角一组邻边相等正方形一组邻边相等有一个角是直角菱形矩形有一组邻边相等且有一个角是直角看图思考那么你来试着给正方形下定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形．或者：有一个角是直角的菱形叫做正方形．（二）尝试发现，探索新知ABCDO因为正方形是矩形，所以具有矩形的性质。正方形的性质2).正方形的四个角都是直角；3).正方形的对角线相等；因为正方形还是菱形，所以具有菱形的性质。1).正方形的四条边都相等；且互相垂直平分。4).正方形是中心对称图形，也是轴对称图形。（三）新知运用，夯实基础

如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.例1∵四边形ABCD为正方形，∴∠1=∠2.(同角的余角相等)∴△AED≌△CFD.（ASA）∴DE=DF.证明：∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°.∵DF⊥DE，∴

∠EDF=90°，

即∠1+∠3=90°又∵∠2+∠3=90°，新知练习1.已知正方形的一条边长为1，那么它的对角线长是.

ACBD分析：在正方形ABCD中，则：AB＝BC＝1连接BD，小结：正方形的对角线是边长的倍.新知练习2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，那么正方形的周长是

，

面积是

．分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝，面积为AD2＝8.例2如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD＝∠EDA＝15°

.新知练习证明：∵

ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠CDE=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.【变式题】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；新知练习解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．新知练习（2）求证：∠BAP=2∠PAC．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等边三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．（四）课堂小结边对角线对边平行四边相等对角线