2023年湖北鄂州中考数学真题（解析版）

鄂州市2023年初中学业水平考试

数学试题

学校：考生姓名：准考证号：

注意事项：

1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置.

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效.

4.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试卷上无

效.

5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

•祝考试顺利-

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）

1.10的相反数是（

A-10

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的定义直接求解.

【详解】解：10的相反数是一10.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键.

2.下列运算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.a2a3=a5C.a2-s-a3=a5D.（«2）3=a5

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数昂的加法，同底数昂的乘除法，哥的乘方这些公式进行运算即可.

【详解】A选项，/和/不是同类项，不能合并，故不符合题意；

B选项，々2.03=05,正确，故符合题意;

C选项，a2?a3不正确，故不符合题意;

D选项，（/丫=。6,不正确，故不符合题意.

故选：B

【点睛】本题考查整式的运算，属于基础题，熟练掌握同底数基的加法，同底数辕的乘除法，哥的乘方这

些运算法则是解题的关键.

3.中华鲍是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍

稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲍保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续

并对野生资源形成持续补充.将140000000用科学记数法表示应为（）

A.14xl07B.1.4xl08C.0.14xl09D.1.4xl09

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1＜同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时，〃是正

数；当原数的绝对值vl时，〃是负数.

【详解】解：140000000=1.4x1（）8

故选B.

【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

4.下列立体图形中，主视图是圆的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论.

【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意;

圆柱的主视图是矩形，不符合题意；

圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；

球体的主视图是圆，符合题意；

故选：D.

【点精】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

5.如图，直线CD,GELEF于点、E.若N8GE=60。，则/EFD的度数是（）

A.60°B.30°C.40°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】延长GE,与DC交于点M,根据平行线的性质，求出NKWE的度数，再直角三角形的两锐角

互余即可求出NEED.

【详解】解：延长GE,与DC交于点M,

♦:ABNCD,NBGE=6O0,

・•・NFME=NBGE=60°,

•；GE工EF,

・•・^E/D=90°-60°=30°,

故选：B.

【点睛】本题考杳平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的

关键.

6.已知不等式组「一：’,的解集是一1cxvl,则+（）

x+l＜Z?'）

A.0B.-1C.1D.2023

【答案】B

【解析】

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得2+。＜工＜6—1,再结合已知可得2+。=-1,

b-\=\t然后进行计算可求出。，b的值，最后代入式子中进行计算即可解答.

设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为＞=依+人（女工0）,

•・・¥=丘+。过点(-2,—1)和(1,2),

2=k+b

''-l=-2k+bf

k=l

解得《

b=\

・••经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y=x+i,

故选A.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键.

8.如图，在［ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=4,点。为8c的中点，以。为圆心，OB

长为半径作半圆，交AC于点D,则图中阴影部分的面积是（）

A.5石浮

B.5痒4万C.-24D.10痒24

【答案】C

【解析】

【分析】连接O。,BD，作OHLCD交CD于点、H,首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解

直角三角形求出8。、。。的长度，进而得到,。瓦）是等边三角形，ZBOD=60°,然后根据30。角直

角三角形的性质求出0万的长度，最后根据S阴影=SACLS.COD-S喇形的进行计算即可.

BD，作OH上CD交CD于点H

•・•在4ABe中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=4,

“A8AB4rr

BC=------------=---------==44x13

tanZ.ACBtan30°V3，

T

•・•点。为3C的中点，以。为圆心，03长为半径作半圆，

・•・8C是半圆的直径，

・•・NCDB=900,

'：Z4CB=30°，

・•・BD=；BC=26,CD=BCCGS，BCD=46X去=6,

又♦：OB=OC=OD=LBC=Z£,

2

：.OB=OD=BD,

・•・二08。是等边三角形，

：.ZBOD=60°f

•：OH工CD,NOCH=30。,

・•・0H=-0C=y/3,

2

・1厂1厂,60乃x（2g）~

•'S阴影=S^CB~SACOD~S病形008=—x4x4\J3--xy/3x6TTT=5近-2万

2236U

故选：C.

【点睛】本题考查了30。角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾

股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

9.如图，已知抛物线y=o?+加+c（awO）的对称轴是直线x=l,且过点（一1,0）,顶点在第一象限，

其部分图象如图所示，给出以下结论：①abvO；②4a+»+c＞0；③3。+。＞0；④若A（%,y）,

贝孙必）（其中百＜七）是抛物线上的两点，且玉+々＞2,则必〉内，其中正确的选项是（）

A.①②③B.①®0C.②③④D.®®®

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的性质可得a<0,b=-2a,b>。,可判断结论①；由x=2处的函数值可判断结

论②；由厂—1处函数值可判断结论③：根据七+.“、2得到点A（%，），J到对称轴的距离小于点

8（天,必）到对称轴的距离可判断结论④.

【详解】解：二次函数开口向下，则。<0,

二次函数对称轴为x=l,则一==1,b=-2a,b>0,

2a

・••访<0,故①正确；

・・•过点（一1,0）,

・•・由对称性可得二次函数与X轴的另一交点为（3,0）,

由函数图象可得x=2时y>0t

4a+2Z?+c>0,故②正确；

时y=0,

.\a-b+c=0f

人=一%代入得：3a+c=0,故③错误；

•・•对称轴是直线x=l,

・,・若万=i,即％+%2=2时，%=%，

，当斗+x2>2时，

点A（%,y）到对称轴距离小于点％）到对称轴的距离

•・•二次函数开口向下

・•・%>%，故④正确.

综上所述，正确的选项是①②④.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，OA=OB=3后,点C为平面内一动点，BC=Q,连接

AC,点M是线段AC上的一点，且满足CW:M4=1:2.当线段OM取最大值时，点”的坐标是

)

f612)

369小乜

(5'55、5

【答案】D

【解析】

33后

【分析】由题意可得点C在以点3为圆心，不为半径的08I二，在x轴的负当轴上取点。，0,连

2

接BD，分别过C、M作C户_LQA,MEA.OA,垂足为尸、E，先证二QAMs乙m。，得

空=空=],从而当CD取得最大值时，0M取得最大值，结合图形可知当O,B,C三点共线，

且点8在线段0c上时，CQ取得最大值，然后分别证^AEM^AFC,利用相似三

角形的性质即可求解.

3

【详解】解：•・•点C为平面内一动点，BC=-,

2

3

.••点C在以点3为圆心，不为半径的08上，

2

在x轴负半轴上取点。（一乎，连接30,分别过C、M作C/_LQ4,MELOA,垂足为尸、

rr\=

DOFEAx

VOA=OB=3区,

AD=0£>+04=—

2

,OA_2

,布丁

：CM:MA=\:2,

.OA2cM

AD3AC

：ZOAM=ZDAC.

♦・cOAMs®C，

.OMOA2

•----=----=一•

CDAD3

，当8取得最大值时，0M取得最大值，结合图形可知当。，B,C三点共线，且点B在线段OC上

时，CO取得最大值，

OA-OB-35OD=^-,

2

・•・BD=yj0B2+0D2=

:・CD=BC+BD=9,

..OM2

CD3

OM=6，

•・・y羯_Lx轴，

:.NDOB=NDFC=9Q0,

,:NBDO=NCDF,

:"BDO^aCDF，

同理可得，^AEM^LAFC,

ME2

MEAM

CFAC

解得ME=26,

5

OE=>JOM2-ME2=^62-二竽，

，当线段OM取最大值时，点M的坐标是（竽，为叵，

故选D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相彳以三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握

相似三角形的判定及性质是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

H.计算：>/16=•

【答案】4

【解析】

【分析】根据算术平方根的概念求解即可.算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的

算术平方根，由此即可求出结果.

【详解】解：原式="=4.

故答案为4.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.

12.为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管

理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100）,九（1）班的五项得分依次为

95,90,85,90,92,则这组数据的众数是.

【答案】90

【解析】

【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据.

【详解】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现2次，出现的次数最多，故这组

数据的众数为90.

故答案为：90.

【点睛】本题考查了众数，众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，注意：在一组数据中，众数可能

不止一个.

13.实数机，〃分别满足机2—36+2=0,〃2一3〃+2=0,且机。〃，则的值是

mn

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可.

【详解】解：由题可知，用和〃是％2—3工+2=0的两个根,

所以施+〃=3,mn=2,

”，，I1tn+n3

所以—+—=-----=-：

mnmn2

3

故答案为：

2

【点睛】本题考杳了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程

bc

加+Zzr+c=0（aw0）的两个根分别为罚和%，则%+上2=一一，%七=一”.

AB

14.如图，在平面直角坐标系中,J13C与△A4G位似，原点O是位似中心，且丽=3.若

A（9,3）,则A点的坐标是

【答案】（3,1）

【解析】

【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.

【详解】解：设4（M，〃）

•・•金C与位似，原点。是位似中心，且丁£=3.若4（9,3）,

・••位似比为3,

1

.9333

••-=-9-=-9

m\n\

解得m=3,〃=1,

・•・4（3/）

故答案为：（3,1）

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，直线乂=/r+力与双曲线为=§（其中小心/。）相交于4（-2,3）,

B（，七一2）两点,过点8作3P〃x轴，交y轴于点P,则aA5P的面积是.

【解析】

【分析】把力（一2,3）代入到％=§可求得⑥的值，再把3（相,一2）代入双曲线函数的表达式中，可求得

用的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】•・•直线y与双曲线为=§（其中勺4。0）相交于4（-2,3）,3（叫一2）两点，

/.k、=—2x3=-2m

：,k2=-6,tn=3,

・•・双曲线的表达式为：y2=-1,B（3,-2）,

•・•过点B作3尸〃％轴，交了轴于点尸，

・•・BP=3,

・•・S.谢=；x3x（3+2）=/

故答案为?.

【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上

点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键.

16.2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会.这次大会的会

徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图如图，用四个全等的直

角三角形(Ri/\AHB*RiABEgRiACFgRi/XDGA)拼成“赵爽弦图”，得到正方形A8C0与

正方形EFGH,连接AC和EG,AC与。尸、EG、出/分别相交于点尸、0、Q,若

0P

BE:EQ=3:2,则弃的值是.

【分析】设《C=x(x>。)，EQ=2a(a>0)t则跖1二%,证明KEQ,利用相似三角形的性

质求出EC=8〃=6。，可得Q”=。，EH=3a,利用勾股定理求出BC和AQ,进而可得OQ的长，再

证明4QEON$PGO(SAS),可得0P=0Q=萼4,然后根据正方形的性质求出0E,即可得出答案.

【详解】解：设EC=x(x>°)，&2=%(。>0)，则座二%,

VZAHQ=ZCEQ=90°,ZAQH=ZCQE,

:.二AHQACEQ,

.QHAH

AH=BE=3a，BH=EC=x>

・•.QH=BH-BE-EQ=x—5a,

.x-5a3a

••~~~,

2ax

整理得：x2—5ax—6a2=0，

解得：X[=6a,x2=-a（舍去）,

即EC=8H=6a,

:,QH=a,EH=3a,

：・BC=4BE2+EC2=3岛，AQNAH-QH?=Ma，

，AC=6BC=3Ma，

加。c=①

22

・•・OQ=OA-AQ=^-a，

•・•四边形”E尸G是正方形,

:・/QEO=/PGO,OE=OG,

又•・・NQOE=/POG,

・•・3。=dGO(SAS),

・•・OP=OQ=—a^

又,：EG=®EH=3五a，

.a1g3&

••OE=—EG=---a，

22

而

.OP二丁二途

•'OE3x/23'

-----a

2

故答案为：叵.

3

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解

一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明AAHQACEQ,求出EC的长是解题的关键.

三、解答题(本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72

分)

17.先化简，再求值：V-----二，其中。=2.

a-1a-1

【解析】

【分析】根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将。=2代入即可得解.

1

【详解】解：原式=

_a-\

(〃T)S+1)

1

="9

4+1

当。=2时，原式=----=—

2+13

【点情】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，约分等相关计算法则是解决本题的关

键.

18.如图，点E是矩形A8CD的边5c上的一点，且A石=40.

（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作—QAE的平分线■，交3C的延长线于点凡连接OF.（保留作

图痕迹，不写作法）;

（2）试判断四边形AEED的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析（2）四边形AEED是菱形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可;

（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出〃4尸=/“石，结合角平分线的定义可得N"Z=NE4/，则

AE=EF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论.

【小问1详解】

【小问2详解】

四边形AEFD是菱形;

理由：•・•矩形45co中，AD//BC,

・•・ZDAF=ZAFE,

•:4尸平分/DAE,

:.ZDAF=ZEAF,

・•・ZEE4=ZE4F，

，AE=EF，

AE=AD,

：-AD=EF,

VAD//EFf

，四边形AEFD是平行四边形，

又•・•AE=AD，

・•・平行四边形AEFO是菱形.

【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形

的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.

19.为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织

了一次手抄报比赛.该班每位同学从A.“北斗卫星”；艮“5G时代”；C.“东风快递”；O.“智轨

快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题.统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，

请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有名学生；

（2）补全折线统计图；

（3）。所对应扇形圆心角的大小为:

（4）小明和小丽从4、8、C、。四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相

同主题的概率.

【答窠】（1）50；（2）见解析；（3）108。；（4）-

4

【解析】

【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；

（2）用50减去A、8、C组频数，求出。组频数，即可补全折线统计图;

（3）用360。乘以。组所占百分比即可求解；

（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解.

【详解】（1）20^40%=50（人），

故答案为：50；

（2）50-10-20-5=15（人），

补全折线统计图如图：

(3)360°X—=108°,

50

故答案为：108°；

（4）列表如下:

小明

ABcD

小丽

A(AA)(民4(C4)(AA)

B(B,B)(C,B)OS

C(AC)(8©(c©(nc)

D（A。）(BQ)(CD)(no)

由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种,

41

所以尸（相同主题）

164

【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第

（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键.

20.鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅

游爱好者的青睐.今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动.如图2,景区工作人员小明准备

从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部尸点沿水平

方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30。；接着他沿自动扶梯

4

到达扶梯顶端。点，测得点A和点。的水平距离为15米，且tan/D48=一；然后他从。点又沿水

3

平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45。.（图上各点均在同一个平面内，且

G,C，B共线，F,A,8共线，G、E、F共线，CD〃AB,GFLFB）.

三

二

二

二

二

三

二

二

三

E

（1）求自动扶梯长度；

（2）求大型条幅GE的长度.（结果保留根号）

【答案】（1）25米（2）（110—106）米

【解析】

4DM4

【分析】（1）过。作DM/A8于M，由tan/DABu；；可得丁丁二大，求出DM的长，利用勾股定理即

3AM3

可求解；

（2）过点。作。N_LG£于M则四边形DWW是矩形，得NF=DM,DN=FM,由已知计算得出

CN的长度，解直角三角形得出GN的长度，在RQAEV中求得所的长度，利用线段的和差，即可解决问

题.

【小问1详解】

解：过。作于如图：

DM4

在RtAADA/中，tanZDAM=----=—，

AM3

VAM=15（米），

・•・DM=20（米），

由勾股定理得AD=ytAM?+DM?=V152+202=25（米）

【小问2详解】

如图，过点D作DN工GE于N，

VDMJ.AB,NGFB=90。

・•・四边形£>加硒是矩形，

・•・7VF=OM=20（米），Z）N=/W=AF+AM=30+15=45（米）,

由题意，C7V=C£>+0N=45+45=9O（米），

•・•ZDCG=45°,

AlanZGC^=l=—,

CN

・・・GN=90（米），GF=GN+NF=90+20=1TO（米），

由题意，ZE4F=30°,4/=30（米），

EF

tanZEAF=—~AF

3

・•・E尸=10月(米)，

・•.Gf=G/一EF=(110—10g)米

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练学

握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

21.1号探测气球从海拔10m处出发，以hn/min的速度竖直上升.与此同时，2号探测气球从海拔20m处

出发，以am/min的速度竖直上升.两个气球都上升了lh.1号、2号气球所在位置的海拔片,为（单

位：m）与上升时间x（单位：inin）的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题：

（2）请分别求出）L％与”的函数关系式；

（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m?

【答案】（1）30

(2)y=x+10,%=—%+20；

2

（3）lOmin或30min

【解析】

【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔

和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；

（2）由（1）可得,与方函数图象的交点坐标为（20,30）,分别代入计算即可；

（3）由题意川得%一％=5或%一乂=5，分别计算即可.

【小问1详解】

解：6=10+20x1=30,。=（30—20）+20=1，

故答案为：30；

【小问2详解】

由（1）可得y与为函数图象的交点坐标为（20,30）,

设X=左/+10,y2=k2x+20,

将（20,30）分别代入可得：30=20^+10,30=20^+20

解得：占=1,乂=1,

■2

/.y1=x+10,%=gx+20：

【小问3详解】

由题意可得y-必=5或%一弘=5,

当y-%=5时，x+10-（；x+20）=5,

解得x=30,

当%-y=5时，~x+20—（x+10）=5,

解得彳=10,

・•・当上升lOmin或30min时，两个气球的海拔竖直高度差为5m.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键.

22.如图，为OO的直径，E为OO上一点，点C为浊的中点，过点C作COJ.AE,交AE的延

长线于点。，延长OC交A3的延长线于点巴

⑵若DE=1，DC=2,求OO的半径长.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

2

【解析】

【分析】（1）连接OC,根据弦、弧、圆周角的关系可证ND4C=NC4/，根据圆的性质得NOAC=NOC4,

证明OC〃AD,得到NOC尸=ND=90。，根据切线的判定定理证明；

(2)连接8C,CE,根据勾股定理得到CE=J^的长，根据等弧对等弦得到反?=8=石，根据圆

内接囚边形对角互补得NA3C+NA£C=180。，推出NDEC=NA8C,证明:OECs4c84,利用相

似三角形的性质即可求解.

【小问1详解】

:・EC=CB，

:.ZDAC=ZCAF,

-：OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA

/.?DACICOA

:.OC//AD,

・•・ZOCF=ZD=90°,

•・•。。为半径，

・•・0c为OO切线；

【小问2详解】

・•・？£>90?,

•：DE=1，DC=2,

・•・CE=ylcif+DE2=V22+l2=石，

•・•。是8C的中点，

：・EC=CB，

・・・EC=CB=5

•・•A3为。0的直径，

:.NAC8=90°,

VZDEC+ZAEC=180°,ZABC+Z4EC=180°,

・•・/DEC=ZABC,

:•乙DECs^CBA,

.DECE

..石一丽’

:.AB—5，

AO=-AB=-

22

:.0。的半径长为

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题

的关键.

23.某数学兴趣小组运用《儿何画板》软件探究）=0¥2（。>0）型抛物线图象.发现：如图1所不，该类

型图象上任意一点P到定点的距离始终等于它到定直线/：y=-1~的距离PN（该结

V4aJ4a

论不普要证明）.他们称：定点尸为图象的焦点，定直线，为图象的准线，y=叫做抛物线的准线方

4a

程.准线，与y轴的交点为其中原点。为"/的中点，FH=2OF=^~.例如，抛物线y=2V,

2a

<11

其焦点坐标为尸0,-,准线方程为/：y=—,其中PF=PN,FH=2OF=—.

I8；84

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y=1/的焦点坐标和准线/的方程：,；

4

【技能训练】

（2）如图2,己知抛物线y=上一点产（工,%）（%>0）到焦点尸的距离是它到％轴距离的3倍，

求点P的坐标；

【能力提升】

（3）如图3,已知抛物线y=1/的焦点为凡准线方程为/.直线%交y轴于点c抛物

42

线上动点P到x轴的距离为4,到宜线〃的距离为乙，请直接写出4+4的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线丁="2（4>0）平移至y=q（x-炉+%（〃>（））.抛物线

y=。（工-/?『+&（a>0）内有一定点/（/z#+a），直线/过点M九,k一卷且与x轴平行.当动点尸在

该抛物线上运动时，点尸到直线/的距离始终等于点尸到点尸的距离（该结论不需要证明）.例如：抛

物线），=2（尢-1）2+3上的动点P到点F|1,丁的距离等于点尸到直线/：y=一的距离.

Koj8

请阅读上面的材料，探究下题：

（4）如图4,点。（-是第二象限内一定点，点P是抛物线》=工冗2一1上一动点，当po+尸。取最

I2J4

小值时，请求出©尸8的面积.

【答案】（1）（0,1）,y=-l；

(2)(晚3

⑶2布-1

9

（4）一

8

【解析】

【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；

（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得与2=8为2+2%-1,然后根据y=!%2,求出九,

进而可得与,问题得解：

（3）过点尸作尸E_L直线加交于点E,过点尸作PG_L准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知

PG=PF=4+I,PE=d2t根据两点之间线段最短可得当尸，p,E三点共线时，4+4的值最

小；待定系数法求直线尸石的解析式，求得点P的坐标为6-1，上普），根据点E是直线PE和直线

机的交点，求得点E的坐标为（4,-1）,即可求得4和4的值，即可求得；

（4）根据题意求得抛物线＞=；/一1的焦点坐标为尸（op）,准线/的方程为），=-2,过点P作PG_L

准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知PG=PZ"则PO+PD=PG+P£＞,根据两点之间线段

（13、

最短可得当。，P,G三点共线时，尸。+尸£＞的值最小；求得尸一彳，一二，即可求得cP8的面

I24）

积.

【小问1详解】

解：•:抛物线y=中〃=_!.,

44

・1_1_1

4a4a

・•・抛物线y=的焦点坐标为（0』），准线/的方程为y=-l,

故答案为：（0,1）,y=-l：

【小问2详解】

解：由（1）知抛物线y=的焦点尸的坐标为（o,］）,

•・•点P（Ao,yo）（^>O）到焦点尸的距离是它到“轴距离的3倍,

2

：•JX）2+（%T）2=3%>整理得：Xo=8%2+2y0-l,

4

:'4%=8年+2y0-1

解得：%=3或%=一;（舍去），

••毛—•^2,

・••点P的坐标为(63

【小问3详解】

解：过点尸作尸石_1_直线〃2交于点E，过点尸作PGJ•准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知

若使得4+4取最小值，即尸尸+PE—1的值最小，故当尸，P,E三点共线时,

PF+PE-1=EF-1,即此刻4+4的值最小；

・・•直线PE与直线机垂直，故设直线PE的解析式为y=~x+b,

将尸（0,1）代入解得：b=l,

・•・直线PE的解析式为），=一；工+1,

•・•点户是直线正和抛物线y=的交点，

4

令Wx2=—]X+1,解得：Xy=y[5—\，X2=—\[5—\（舍去），

故点P的坐标为V5-1,

3-75

•・•点E是直线P石和直线机的交点，

令-L+l=—%-3,解得：x=4,

22

故点E的坐标为（4,-1）,

d2=14gH耍（亨,

,3-逐575-5。,

47+&=^—+^—=26-1.

即4+4的最小值为26一1.

【小问4详解】

解：•・•抛物线中4=_L,

44

—=1，------=­1，

4a4a

2

・・・抛物线y=lx-l的焦点坐标为尸（0,0）,准线/的方程为y=-2f

过点P作尸GJ_准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知PG=PZ"则PO+PD=PG+PD,如

图：

若使得PO+PD取最小值，即尸G+PD的值最小，故当。，P,G三点共线时,

PO+PD=PG+PD=DG,即此刻PO+PD的值最小；如图：

•・•点。的坐标为(一1,'|),£>G_L准线/,

IQ

二点P的横坐标为-1，代入y--x2-l解得y---,

44

199

则^POD的面积为S?8=-x—xl=大.

248

【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次

函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论.

24.如图1,在平面直角坐标系中，直线/_Ly轴，交)，轴的正半轴于点A，旦OA=2,点3是)，轴右侧

直线/上的一动点，连接08.

EB

(1)请直接写出点4的坐标；

(2)如图2,若动点8满足NA8O=30°,点C为A8的中点，。点为线段。8上一动点，连接

CD.在平面内，将/XBC。沿CO翻折，点B的对应点为点P,CP与08用交于点。，当

时，求线段OQ的长；

(3)如图3,若动点B满足==2,E/为的中位线，将ABE歹绕点B在平面内逆时针旋转,

当点0、E、尸二点共线时，求直线瓦?与“轴交点的坐标；

(4)如图4,0C平分N4QB交43于点C,于点。，交。。于点E,A尸为△4EC的一

条中线.设aODE,AOAC的周长分别为G，G，.试探究：在8点的运动过程中，当

="7时，请直接写出点8的坐标.

O

【答案】⑴(0,2)

(3)(4,0)或(；0)

(4)(2百,2)

【解析】

【分析】(1)根据。4=2,点A位于y轴的正半轴即可得出答案；

(2)根据折叠性质和特殊角解三角形,先求出BCW，QB=2,再过点。作。〃_LA3，得出C”=OH,

8"=百。"解三角形即可求出08=3—6，从而求出DQ=BQ—8。=6-1,

(3)将绕点B在平面内逆时针旋转，当点0、E、尸三点共线时，有两种情况，当将ABEF绕点

8在平面内逆时针旋转90。，可得点E、F恰好落在不轴，OE=AB=4,从而可得直线E8与x轴交点

的坐标：当将48环绕点B在平面内逆时针旋转到0B上方时，可得RQOA8合RtABOE(HL),从而

AP3OE

得出NABO=NBOE,OE=AB=4,继而可求co$N4RO=——=-,再由0K二----------即可求

OR5cos/ARO

出交点坐标.

2c.+G,2GG>2AF+OD11

(4)由已知可证明二。4c-.ODEzAFC,进而可得一―-=」+