力矩转动定律

关于力矩转动定律1第1页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三P*O刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,

且一力矩在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.对转轴Z的力矩d:力臂矢量式2第2页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三O讨论1）若力不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量

或其中对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩一力矩2）合力矩等于各分力矩的矢量和3第3页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零.4第4页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三OzΔmi刚体可看成由n个质点组成，刚体绕固定轴Oz转动，刚体上每一质点都绕Oz轴作圆周运动。讨论外力矩和角加速度之间的关系：在刚体上取某一质点i，其质量为Δmi，绕Oz轴作半径为ri

的圆周运动。质点i受力情况如何？质点i受两种力作用，一种是外力Fi（合外力），另一种是刚体中其它质点作用的内力fi（合内力）。设：外力Fi和内力fi均在与Oz轴垂直的同一平面内。二转动定律5第5页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三由牛顿第二定律，质点i的动力学方程为：以Fit和fit分别表示外力和合内力在质点轨道切向的分力，那么质点i的沿切向的动力学方程为：两边同乘以ri，得：OzΔmi6第6页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三式中：Fitri是合外力Fi的对Oz轴的力矩；对于刚体上所有的质点，可得：fitri是内力fi对Oz轴的力矩。故上式左边为作用在质点i上的外力矩与内力矩之和。OzΔmi7第7页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即∴有：∵∴—转动定律为刚体内所有质点所受的外力对转轴的力矩的代数和，即合力矩。8第8页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三得：对于绕定轴转动的刚体，J为一恒量。式中—转动定律是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与运动无关的因子，定义为刚体对轴的转动惯量9第9页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三牛顿第二定律是解决质点运动问题的基本定律。转动定律与牛顿第二定律的比较：转动定律牛顿第二定律转动定律是解决刚体绕定轴转动问题的基本方程。它们的形式很相似：外力矩M和外力F相对应，角加速度α与加速度a相对应，转动惯量J与质量m相对应。刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.10第10页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量连续分布刚体的转动惯量dm—质量元注意：转动惯量的大小与刚体的密度、几何形状及转轴的位置有关，一般都要通过实验确定，只有质量分布均匀，形状典型的刚体的转动惯量才可以通过计算求得.三转动惯量国际单位：kg·m2对质量离散分布刚体的转动惯量11第11页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三平行轴定理P96表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量.质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为Jc，则对任一与该轴平行，相距为d的转轴的转动惯量CO例：圆盘对P轴的转动惯量O（证明略）P12第12页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三哪种握法转动惯量大？13第13页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？14第14页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三P96例1一个半径为R、质量为m’的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有轻而细绳索，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体。忽略轴处摩擦，求物体m下落时的加速度、绳中的张力和滑轮的角加速度。mym解：①受力分析②运动分析③建立坐标系注：转动（顺时针）和平动的坐标取向要一致.④列方程对物体m，列牛顿方程对滑轮m’，根据转动定律，有15第15页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三mym解得另有16第16页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三P97例2有一半径为R质量为m匀质圆盘,以角速度ω0绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压力N均匀地作用在盘面上,从而使其转速逐渐变慢.设正压力N和刹车片与圆盘间的摩擦系数μ均已被实验测出.试问经过多长时间圆盘才停止转动?在圆盘上取面积微元,面积元所受对转轴的摩擦力矩大小r刹车片解：17第17页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三面积微元所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩以顺时针方向为正,由转动定律可得圆盘角加速度停止转动需时r刹车片18第18页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三mloP98例3一长为l质量为m的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成θ角时的角加速度和角速度.解：和铰链对细杆的约束力受力：细杆受重力由转动定律得式中19第19页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三得mlo得20第20页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三本节小结：刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.刚体对轴的转动惯量本节结束一、力矩二、转动定律OPd三、转动惯量四、平行轴定理J＝JC＋md221第21页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三Cxy*P98例4如图一斜面长l=1.5m,与水平面的夹角θ=5o.有两个物体分别静止地位于斜面的顶端,然后由顶端沿斜面向下滚动,一个物体是质量m1=0.65kg、半径为R1的实心圆柱体,另一物体是质量为m2=0.13kg、半径R2=R1=R的薄壁圆柱筒.它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多长时间?物体由斜面顶端滚下,可视为质心的平动和相对质心的滚动两种运动合成.解：22第22页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三质心运动方程转动定律角量、线量关系Cxy圆柱薄壁圆柱筒23第23页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三Cxy圆柱薄圆柱筒由匀变速直线运动公式，可得圆柱薄圆柱筒圆柱比圆筒先到达底部.24第24页，讲稿共26页，2023年5月2日，星期三补充例题一个飞轮的质量m＝60kg，半径为R＝0.25m，正在以ω0＝1000r/min的转速转动，现在要制动飞轮，要求在t＝5.0s内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦