函数的单调性凹凸性与极值

关于函数的单调性凹凸性与极值第1页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三12.4导数的应用(118)

在第一章,函数在区间上单调增加(或减少)的几何解释:在某个区间上对应曲线是上升或下降的.

如单调性是函数的重要性态之一.它既决定着函数递增和递减的状况,又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描绘函数的图形等.y=ƒ(x)oxxyyoy=ƒ(x)一、函数单调性的判别法第2页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三22.4导数的应用(118)

用定义来判断函数的单调性常用的有比较法、比值法等.但繁!下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.若y=f(x)在区间(a,b)上单调递增若y=f(x)在区间(a,b)上单调递减各点处切线的斜率为正各点处切线的斜率为负第3页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三32.4导数的应用(118)定理1(函数单调性的判定方法)设y=ƒ(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则对即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调.证则ƒ(x)在区间[a,b]内单调递增加;则ƒ(x)在区间[a,b]内单调递减少.根据拉格朗日中值定理,有第4页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三42.4导数的应用(118)内单调递增;内单调递减.第5页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三52.4导数的应用(118)注1

研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增,哪些区间内递减.由定理1对可导函数的单调性,可根据导数的正负情况予以确定.注2

定理1的结论对其他各种区间(包括无穷区间)也成立.解例1第6页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三62.4导数的应用(118)注函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．注

如果函数且等号仅在个别点处成立,则定理1仍成立.如oxy注反过来,若ƒ(x)在(a,b)内可导且单调增加(或减少),则ƒ(x)在(a,b)内必有单调增加.若则称点x0为函数f(x)的驻点.第7页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三72.4导数的应用(118)利用定理1可以讨论函数的单调区间.问题一般地,函数在定义区间上不是单调的，如何判断函数在各个部分区间上的单调性?若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点是单调区间的分界点．方法注不存在的点就是使导数没意义的点.第8页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三82.4导数的应用(118)(1)确定函数定义域;

(2)确定函数的驻点的点,以这些点为分界点划分定义域为多个子区间;

(3)确定

在各子区间内的符号,从而定出ƒ(x)在各子区间的单调性.解

函数f(x)定义域为

例2

求函数的单调区间.确定函数y=ƒ(x)的单调性的一般步骤是:第9页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三92.4导数的应用(118)x

列表讨论如下:

故

是ƒ(x)的递增区间.[1,2]是递减区间.(端点可包括也可不包括)将分成讨论函数的单调性.解函数定义域为练一练第10页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三102.4导数的应用(118)x故在内ƒ(x)是递增的,在内递减.列表讨论如下:不可导点.第11页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三112.4导数的应用(118)例3解单调区间为第12页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三122.4导数的应用(118)例4证注意:区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如,第13页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三132.4导数的应用(118)小结与思考题1单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第14页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三142.4导数的应用(118)思考题第15页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三152.4导数的应用(118)思考题解答不能断定.例但第16页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三162.4导数的应用(118)当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．第17页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三172.4导数的应用(118)课堂练习题第18页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三182.4导数的应用(118)第19页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三192.4导数的应用(118)课堂练习题答案第20页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三202.4导数的应用(118)第21页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三212.4导数的应用(118)三、函数的凹凸性与拐点

函数ƒ(x)的单调性与极值是函数的重要性态.在研究了函数的单调性后,若不知道曲线的弯曲方向,仍不能准确描绘曲线变化的特点.一般地,函数单调增加或单调减少都有两种方式,所以只讨论函数的单调性是不够的,还必须讨论它的凹凸性.第22页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三222.4导数的应用(118)BA•C如图中曲线弧AB是单增的曲线.但从A到C的曲线是向上凸的;从C到B的曲线是向下凸的.C恰好是上凸和下凸的分界点,我们称为拐点.显然,曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点对我们研究函数的性态是十分重要的.这就是下面讨论的凸性与拐点.1.

曲线的凸性第23页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三232.4导数的应用(118)问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方第24页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三242.4导数的应用(118)

定义

若曲线y=ƒ(x)在区间I内连续,则称曲线在该区间内是向上凹(或凸)的.oxy••ABy=ƒ(x)oxyAB••y=ƒ(x)将曲线具有的向上凹或向上凸的性质称为曲线的凹凸性.第25页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三252.4导数的应用(118)定义2

设函数y=ƒ(x)在区间I内可导.若该函数曲线在I内总是位于其上任意一点的切线上方(即曲线向下弯曲),则称该曲线在I内是向上凹的;区间I为该曲线的向上凹区间.用符号∪表示

.称函数y=ƒ(x)为在区间I内的凸函数.oxyy=ƒ(x)向上凹（或

凸）的另一种定义：

若该函数曲线在I内总是位于其任意一点的切线下方(即曲线向上弯曲),则称该曲线在I

内是向上凸的;区间I为该曲线的向上凸区间.用符号∩表示.称函数y=ƒ(x)为在区间I内的凹函数.oxyy=ƒ(x)第26页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三262.4导数的应用(118)2.

曲线凸性的判定AB

显然,用定义来判别曲线的凸性是极不方便的.由定义2知向上凸曲线从点A移到点B时,对应的切线斜率单调减少的.注

向上凹＝凹＝∪向上凸＝凸＝∩AB向上凹曲线从点A移到点B时,对应的切线斜率单调增加的.第27页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三272.4导数的应用(118)从而,当存在时,则可用二阶导数的符号来判别曲线的凹凸性.于是利用二阶导数可以判定函数的凹凸性.第28页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三282.4导数的应用(118)定理1设函数y=ƒ(x)在I内有二阶导数,则例1解注第29页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三292.4导数的应用(118)因而f(x)为向上凹的函数;f(x)为向上凸的函数.解练一练光滑曲线是指曲线上每一点都有切线且切线随切点的移动连续移动,即若在[a,b]上连续,则曲线在[a,b]上就是光滑曲线.第30页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三302.4导数的应用(118)oxyy=ƒ(x)aABbcC定义3

设函数y=ƒ(x)在区间(a,b)内连续,则曲线y=ƒ(x)在该区间内向上凹部分与向上凸部分的分界点C(c,

ƒ(c))称为曲线的拐点.•C(c,ƒ(c))就是曲线的拐点.如右图,从A到C与从C到B的分界点3.

曲线拐点的定义注

拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样.第31页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三312.4导数的应用(118)例2

判断曲线的凸性,并求其拐点.•oxy•oxy解曲线故点(0,0)是曲线的拐点的.4.

拐点的求法第32页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三322.4导数的应用(118)证因为点是曲线的拐点,则点x0的两侧异号,且由已知存在,则定理2

(拐点的必要条件)若函数y=ƒ(x)在x0处的二阶导数存在,且点为曲线y=ƒ(x)的拐点,则条件而非充分条件.

存在的必要注在存在时,有,但点(0,0)不是该曲线的拐点.第33页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三332.4导数的应用(118)注不存在的点也有可能成为拐点.例如的二阶导数在x=0不可导,但(0,0)是该曲线的拐点.或不存在.综上所述,若点是曲线的拐点,则必有或不存在时,但是,若曲线上的点不一定是拐点,或不存在的点可能成为曲线所以的拐点,须用下面的定理进一步判断.第34页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三342.4导数的应用(118)曲线y=ƒ(x)的拐点.(1)若在点x=x0的两侧,异号,则点为线y=ƒ(x)的拐点.(2)若在点x0两侧,二阶导数同号,则点不为曲利用二阶导数的符号可以判别曲线的拐点.定理2(拐点第一判别定理)

设函数y=ƒ(x)在x0的某邻域内二阶可导第35页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三352.4导数的应用(118)综上所述,确定曲线y=f(x)的拐点的一般步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)求二阶导数,在定义域内求出使二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点;(3)用(2)中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间,在各个部分区间内讨论二阶导数的符号,确定曲线是否存在拐点,若在拐点,求出拐点.例3

判断曲线的凸性,并求其拐点.解第36页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三362.4导数的应用(118)x

结论:

曲线在拐点为(0,0)和内是上凸的;内是下凸的;曲线在第37页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三372.4导数的应用(118)解下凸上凸下凸拐点拐点练一练第38页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三382.4导数的应用(118)定理3(拐点第二判别定理)

设函数y=ƒ(x)在x0的某邻域内注拐点第二判别定理对于的点不适用.例3解第39页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三392.4导数的应用(118)第40页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三402.4导数的应用(118)练一练设三次函数在x=-1处取极大值,点(0,3)是拐点,则求a,b,c的值.略解由极值的必要条件由拐点的必要条件第41页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三412.4导数的应用(118)思考题解答例第42页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三422.4导数的应用(118)课堂练习题第43页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三432.4导数的应用(118)三函数的极值及求法第44页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三442.4导数的应用(118)极值的定义：第45页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三452.4导数的应用(118)函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数极值的求法：定理(必要条件)注意:第46页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三462.4导数的应用(118)例如,定理(第一充分条件)第47页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三472.4导数的应用(118)(是极值点情形)(非极值点情形)如图所示：第48页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三482.4导数的应用(118)求可导函数极值的步骤:第49页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三492.4导数的应用(118)例9解列表讨论极大值极小值第50页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三502.4导数的应用(118)图形如下第51页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三512.4导数的应用(118)定理(第二充分条件)证第52页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三522.4导数的应用(118)第53页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三532.4导数的应用(118)例10解图形如下第54页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三542.4导数的应用(118)注意:第55页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三552.4导数的应用(118)例11解注意:函数的不可导点也可能是函数的极值点.第56页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三562.4导数的应用(118)求函数极值的步骤：函数的驻点和不可导点同称为函数的临界点.(2)求函数的临界点；第57页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三572.4导数的应用(118)极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件.(注意使用条件)小结与思考题3第58页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三582.4导数的应用(118)思考题下命题正确吗？第59页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三592.4导数的应用(118)思考题解答不正确．例第60页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三602.4导数的应用(118)在–1和1之间振荡故命题不成立．第61页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三612.4导数的应用(118)课堂练习题第62页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三622.4导数的应用(118)第63页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三632.4导数的应用(118)课堂练习题答案第64页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三642.4导数的应用(118)

定义3

当曲线y=ƒ(x)上动点M沿着曲线无限远离原点移动时,若该动点M到某直线L的距离无限趋近于零(如右图),则称此直线L是曲线y=ƒ(x)的渐近线.oxyy=ƒ(x)˘»ααMQL:y=ax+b•••

曲线y=ƒ(x)的渐近线按其与x轴的位置关系,可分为以下三种:四函数的渐近线第65页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三652.4导数的应用(118)则称直线y=c为曲线y=ƒ(x)的水平渐近线(c为常数).因为

1.水平渐近线如果曲线y=ƒ(x)的定义域是无限区间,且有

问题:曲线是否有水平渐近线？分别是什么？所以曲线y=arctanx有水平渐近线第66页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三662.4导数的应用(118)2.垂直(铅垂)渐近线如果曲线y=ƒ(x)在x0处无定义(或不连续),且则称直线x=x0

为曲线y=ƒ(x)

的垂直渐近线.因为

oxy所以曲线有一条垂直渐近线x=0.

问题:曲线

是否有垂直渐近线？分别是什么？第67页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三672.4导数的应用(118)3.斜渐近线则称直线y=ax+b为曲线y=ƒ(x)的斜渐近线.(如图)oxyy=ƒ(x)˘»ααMQL:y=ax+b•••第68页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三682.4导数的应用(118)斜渐近线求法:注1注2注1中两种情况只能得到不存在斜渐近线,但不能排除有水平或垂直渐近线.第69页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三692.4导数的应用(118)例1解第70页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三702.4导数的应用(118)求下列函数的渐近线:故垂直渐近线:x=0斜渐近线:y=x+2解

因为练一练第71页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三712.4导数的应用(118)故斜渐近线:y=x+π/2及

y=x–π/2解

因为第72页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三722.4导数的应用(118)练一练(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.B曲线有()渐近线.解为水平渐近线.令第73页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三732.4导数的应用(118)为垂直渐近线.函数没有斜渐近线.第74页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三742.4导数的应用(118)思考题第75页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三752.4导数的应用(118)思考题解答第76页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三762.4导数的应用(118)五函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形，步骤如下：第一步第二步第77页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三772.4导数的应用(118)第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步第78页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三782.4导数的应用(118)作图举例：例13解非奇非偶函数,且无对称性.第79页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三792.4导数的应用(118)列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极小值间断点第80页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三802.4导数的应用(118)作图第81页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三812.4导数的应用(118)第82页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三822.4导数的应用(118)例14解偶函数,图形关于y轴对称.第83页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三832.4导数的应用(118)拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点第84页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三842.4导数的应用(118)第85页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三852.4导数的应用(118)例15解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降、凹凸区间及极值点与拐点:第86页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三862.4导数的应用(118)拐点极大值极小值第87页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三872.4导数的应用(118)第88页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三882.4导数的应用(118)函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减小结与思考题5第89页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三892.4导数的应用(118)思考题第90页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三902.4导数的应用(118)思考题解答第91页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三912.4导数的应用(118)课堂练习题第92页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三922.4导数的应用(118)课堂练习题答案第93页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三932.4导数的应用(118)第94页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三942.4导数的应用(118)*补充1：最值的求法第95页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三952.4导数的应用(118)求最值的步骤:1.求函数的临界点;2.求区间端点及临界点的函数值,比较大小,最大者即最大值,最小者即最小值.注意:如果区间内只有一个极(大或小)值,则这个极(大或小)值就是最(大或小)值。第96页，讲稿共111页，2023年5月2日，星期三962.4导数的应用(118)应用举例：例16解计算第97