2023学年完整公开课版垂径定理

问题：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境·O可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？活动一在圆上画出直径CD,弦AB，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE活动二线段：

AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒猜想：如何证明？·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB.证明：连接OA，OB，则OA=OB∵CD⊥AB∴AE=BE

∴AD=BD,⌒⌒求证：AE=BE且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC这种方法是证明一个图形是轴对称图形的常用方法∴CD为AB的垂直平分线，A关于直线CD的对应点为B.垂径定理垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.几何语言：1,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE活动三2，如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：半径为5cm.在Rt△AOE中

∵

OE⊥AB

总结：

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结问题：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB

所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·活动四能否互换结论和条件呢？如何证明？探究：·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.证明：连接OA，OB，则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求证：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC活动五垂径定理推论

平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴

CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD