极坐标与参数方程总结与习题复习题

PAGEPAGE12极坐标题型：一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：或θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．例3以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________.解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3,故所求椭圆的直角坐标方程为=15.与参数方程为等价的普通方程为（）A.B.C.D.二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型例4极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin2=3表示的曲线是(A)二条射线(B)二条相交直线(C)圆(D)抛物线(答案:B)2(1987年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线(答案:B)3(2001年广东、河南)极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是(A)两条相交直线(B)圆(C)椭圆(D)双曲线(答案:D)4(2003北京)极坐标方程表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线(答案:D)例5极坐标方程=cos(-)所表示的曲线是(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆解:曲线=cos(-)=cos(-)是把圆=cos绕极点按逆时针方向旋转而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选D评述:把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦,利用旋转不变性则更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一条直线,方程=acos(-0)表示半径为,圆心为(,0)的圆,要注意两者的区别.2.参数方程为表示的曲线是（）A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线1x01x01x01x01x01x0x01(A)(B)(C)(D)解:圆=2sin(+)是把圆=2sin绕极点按顺时针方向旋转而得,圆心的极坐标为(1,),故选C.类题:1(2002江苏)极坐标方程与=的图形是00x0x0x0x(A)(B)(C)(D)(答案:B)2(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为(A)(B)(C) (D)(答案:B)三、判断曲线位置关系例7直线=和直线sin(-)=1的位置关系(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)重合解:直线sin(-)=1是把直线sin=1绕极点按逆时针方向旋转角而得,从而两直线平行,故选B.评注:对直线sin(-)=1与直线sin=1的关系要十分熟悉.四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例8(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是=4cos+6sin，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A)sin=3(B)sin=–3(C)cos=2(D)cos=–2解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即sin=3,故选A.评述:注意直线的直角坐标方程极易求出.类题:1(1992年上海)在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是(A)sin=2(B)cos=2(C)cos=4(D)cos=-4(答案:B)2(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______.(答案:sin=2)3(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为(A)=1(B)=cos(C)=(D)=(答案:C)4(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是(A)=2cos(-)(B)=2sin(-)(C)=2cos(-1)(D)=2sin(-1)(答案:C)五、求曲线中点的极坐标例9(2003上海)在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_________.解:在直角坐标系中,A点坐标为(0,1),B在直线x+y=0上,AB最短,则B为,化为极坐标为.例10(1999年上海)极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为__________.解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化为直角坐标方程得,该双曲线的焦点的直角坐标为(,0)与(-,0),故所求焦点的极坐标为(,0)、(,).评述:本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识,掌握点的直角坐标与极坐标的对应关系极为有用.例11(2001年京皖蒙春)极坐标系中,圆=4cos+3sin的圆心的坐标是(A)(,arcsin)(B)(5,arcsin)(C)(5,arcsin)(D)(,arcsin)解:由=4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-φ)(其中sinφ=)所以所求圆心坐标为(,arcsin),故选A.类题：(2002上海)若A、B两点的极坐标为A(4,),B(6,0),则AB中点的极坐标是_________.(极角用反三角函数值表示).答案.()3.直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A.B.C.D.4.圆的圆心坐标是（）A.B.C.D.六、求距离例12(2007广东文)在极坐标系中，直线的方程为ρsinθ=3，则点(2,)到直线的距离为___________.解:将直线的极坐标方程ρsinθ=3化为直角坐标系方程得:y=3,点(2,)在直角坐标系中为(,1),故点(2,)到直线的距离为2.评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化.例13(1992年全国、1996年上海)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是(A)2(B)(C)1(D)解法一:两圆的圆心坐标分别为(,0)与(,),由此求得圆心距为,选D.解法二:将极坐标方程化成直角坐标方程得(x-)2+y2=与x2+(y-)2=,由此求得圆心距为,选D.评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解,一般理解者,化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案.例14(1997年全国)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_______.解法一:化直线方程为=,根据极坐标的概念极点到该直线的距离等于这个函数ρ的最小值,当sin(+)=1时,取最小值即为所求.解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1,应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为.类题:1(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线=4cos于A、B两点，则|AB|=______.(答案:2)2(2004上海)在极坐标系中,点M(4,)到直线:的距离d=____(答案:)22.已知直线的极坐标方程为，则点A到这条直线的距离为.26．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是_______．七、判定曲线的对称性例15(1999年全国)在极坐标系中,曲线=4sin(-)关于(A)直线=轴对称(B)直线=轴对称(C)点(2,)中心对称(D)极点中心对称解:把圆=4sin绕极点按逆时针方向旋转便得到曲线=4sin(-)=,知其圆心坐标为(2,),故圆的对称轴为=,应选B.评述:方程表示的曲线是圆,为弄清轴对称或中心对称的问题,关键是求出其圆心的坐标.２．若ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)()。AA．关于极轴对称B．关于直线θ=对称C．关于极点对称D．重合

八、求三角形面积ABOx例16(2006上海)在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,)，则△OAB的面积是ABOx解:如图所示,在△OAB中，评述:本题考查极坐标及三角形面积公式.九、参数方程化一般方程：5.与参数方程为等价的普通方程为（）A.B.C.D.6.直线被圆所截得的弦长为（）A.B.C.D.1.曲线的参数方程是，则它的普通方程为__________.5.设则圆的参数方程为_______________.１３．参数方程(t为参数)化为普通方程是。x2+y2=1去掉点(-1,0)4、曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线9.参数方程(t为参数)所表示的图形是.两条射线；11.画出参数方程（为参数）所表示的曲线______椭圆___________7．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是DA、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线．【圆x2+y2-x-y=0．】

////////////简单的1.参数方程表示什么曲线？2．已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为(t为参数)．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系.13C．已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程．（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系．13C．选修4—4参数方程与极坐标解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；--2分即，两边同乘以得，消去参数，得⊙的直角坐标方程为：6分（2）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．10分8．(2007海南、宁夏文、理)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为．(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．3．已知圆的参数方程为（为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程．解：由题设知，圆心，，设是过点的圆的切线上的任一点，则在中，有，即为所求切线的极坐标方程．11已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是求直线与曲线C相交所成弦的弦长．解：曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为，即.直线的参数方程化为普通方程为.曲线C的圆心（2，0）到直线的距离为，所以直线与曲线C相交所成的弦的弦长为．15．求直线（）被曲线所截的弦长.【7/5】将方程,分别化为普通方程：，……………(5分)……(10分)10过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．【】10C．选修4－4：坐标系与参数方程解：直线的参数方程为，……………3分曲线可以化为．……………5分将直线的参数方程代入上式，得．设A、B对应的参数分别为，∴．…………8分AB＝．………………10分说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．6．直线（t为参数）与椭圆（为参数）相交于A、B两点，求A、B间的距离解：直线的普通方程为椭圆的普通方程为联立方程组消元得，则所以18．已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左，右焦点，直线的参数方程为（1）求直线和曲线C的普通方程；（2）求点F1，F2到直线的距离之和.【】18（23）．解:（Ⅰ）直线普通方程为；………………3分曲线的普通方程为．……………6分（Ⅱ）∵,，…7分∴点到直线的距离…8分点到直线的距离………………9分∴……………10分///////////////////求最值8.已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－)2＋y2=ρcosθ=1即x=1直线与圆相交。所求最大值为2，最小值为014．在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值.【4】14C．（坐标系与参数方程选做题）解：将极坐标方程转化为普通方程：………(2分)可化为…………(5分)在上任取一点A,则点A到直线的距离为,它的最大值为4……(10分)16．设P(x，y)是曲线C：（θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，(1)将曲线化为普通方程;(2)求的取值范围.16（23）．(1)(x+2)2+y2=1(5分)(2)设y=kx,则kx-y=01=(7分)∴k2=,k=(9分)∴(10分)1．已知点是圆上的动点，【】（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。【负根号2减一】2.点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离.17．点M（x,y）在椭圆上，则点M到直线的最大距离为________,此时，点M的坐标是_____________.1C．在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．【2】1C．选修4—4参数方程与极坐标解：因椭圆的参数方程为故可设动点的坐标为，其中.因此所以，当时，取最大值217已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.【】17（23）．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：（1）曲线的极坐标方程可化为：又.所以，曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：令得即点的坐标为又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则∴例6.在圆x2＋2x＋y2=0上求一点，使它到直线2x＋3y－5=0的距离