高中数学-3.1.1　两角和与差的余弦教学设计学情分析教材分析课后反思

两角和与差的余弦教学设计【教学三维目标】1、知识目标理解两角和与差的余弦公式的推导过程；熟记两角和与差的余弦公式；运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。2、能力目标培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。3、情感目标通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力；学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。4、教学重点两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。5、教学难点两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。6、突破措施先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。高考等级要求C级学法设计独立思考，生生交流探究，小组合作知识链接诱导公式平面向量的数量积一、知识链接1、已知点QUOTEP(x,y)P(x,y)为角QUOTEαα的终边与单位圆的交点，则QUOTEcosα=cosα=________，QUOTEsinα=___________sinα=___________，即点QUOTEPP的坐标为____________。2、已知QUOTEa=x1，y1,b=(x2,y2)a=x1，y1,b=(x2,y2),则QUOTEa∙b=a∙b=________=____________；若QUOTEaa与QUOTEbb的夹角为QUOTEθ【设计意图】通过复习向量相关知识,为本节课的两角差的余弦公式推导埋下伏笔.二、问题引入QUOTEsinα+π2=sinα-πQUOTEcosα+π2=cosα+π2=QUOTEcosQUOTEcosα-π=cosα-π=QUOTEcosα-π2=【设计意图】教科书以一个实际问题（求电视发射塔的高度）作为引子，目的在于提出问题，引入研究课题。同时帮助学生认识到数学与实际生活有关，体会数学的应用价值。解决这个实际应用问题需要用方程的思想分析问题，考虑到我班学生的实际情况，这样做一定程度会抢去这节课主要研究内容的风头。而且，在这个问题中要解决的与这节课要研究的的联系不够直接。利用诱导公式来引入,研究当公式中的特殊角QUOTEπ2π2和QUOTEππ被一般角QUOTEββ取代时,QUOTEcosα+β=?,cosα-β=?cosα+β=?,cosα-β=?，一来可以节省时间，二来引出课题更加直接，更加自然，同时，吸引学生兴趣，提高了学生学习的积极性。三、公式探究y-1-111xO在平面直角坐标系中做一个单位圆，设角QUOTEαα，QUOTEββ的终边与单位圆的交点分别为A、B，设与的夹角为QUOTEθθ，y-1-111xO1、根据向量数量积的定义可得QUOTEOA∙OBOA∙OB2、点A的坐标是_____点B的坐标是________.向量的坐标是___________，的坐标是___________.y-1-111BAxO3、根据向量数量积的坐标运算可得y-1-111BAxO4、，的夹角与角QUOTEα、βα、β的关系：QUOTE（1）α-β∈[0,π]（1）QUOTE（2）α-β∈[π,2π]（2）5、当QUOTEα-βα-β在全体实数范围时，如何进行转换？【设计意图】教师通过提问引发学生思考，并让学生分组活动，相互讨论，合作学习，运用从特殊到一般、数形结合等数学思想将问题层层深入，最后达到推导的完备。从而让学生体验探究的过程，锻炼学生的思维品质。四、认识公式，深化理解提问：⑴.细心观察公式的结构，它有哪些特征？⑵.公式中α，β的角的取值范围如何？学生观察与思考得出：①公式中两边的符号正好相反（一负一正）；②公式右边同名三角函数乘积的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意。【设计意图】让学生认识公式，掌握公式的结构和特点，深化理解公式实质，为灵活运用公式奠定基础。第一关：小试身手请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等）(1)；(2)；(3)；……问题预测：学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至可能有的同学会说他验证了cos30°=sin60°…….（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）由于初学公式的应用，我选择其中之一作示范。第二关：再接再厉若β固定，分别用代替α，你将会发现什么结论呢？设计意图：引导同学发现余弦的诱导公式可用C(α±β)公式得到证明：初步让学生发现C(α±β)公式是诱导公式的推广。（从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦）第三关：各显神通倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？(1)；(2)(3)(4)……问题预测：可能有的同学发现cos2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α，这是以后要学的二倍角公式，还有的同学发现：cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ，甚至有调皮的同学发现cos0=cos(α-α)=cos2α+sin2α=1，这就无意中证明了平方关系，……，（据此，让同学感受到C(α±β)公式的强大功能）。（必要时，教师可适当提示）。注：按课本编排未必能让同学注意公式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才赋予C(α+β)公式的强大生命力）。于是我设计上述三个有层次的A,B,C级的问题，留时间先让同学用特殊角自由赋值，逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。这样更能使同学亲自感受公式的强大功能，并掌握赋值法。五、公式逆用设计意图】通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解，使学生掌握公式的正用，逆用，变角使用，提高学生的数学思维能力，体现思维的创新意识。六、数学运用例题已知QUOTEcosα=-45(π2<α<π)cosα=-45(π2<α<π),求QUOTEcos⁡(π6-α)解：因为QUOTEcosα=-45,且π2<α<πcosα=-45,且π因此QUOTEcosπ6-α=cosπcos【设计意图】由学生先练，然后巡堂了解，及时用投影将学生的解答、反馈、展示讲解。本例题是运用公式求值的练习，但使用公式前必须求相应角的正、余弦值。强调运用同角三角函数平方关系求值时，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号，从而养成良好的学习习惯。通过基础题目的练习，加强学生对公式的理解和应用。跟踪训练：课本P135练习B2【设计意图】学生板书，规范学生步骤。七、课时总结:（2分钟）1、牢记公式的结构特点，学会逆用公式。不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。2、强调公式中α、β的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。注：逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力，同时渗透了一种化归思想。八、达标检测：（5分钟）cos80°cos20°+sin80°sin20°，初步学会逆用公式。cos130°cos5°-sin130°sin5°cos215°-sin215°，为二倍角公式埋下伏笔。（2004全国高考题）设，若，则，利用高考题的引用让学生串连三角函数的相关知识。⑴.⑵.-⑶.⑷.⑸.九、作业布置1、教材第135页，练习A2,3；练习B2,3,4,5.2、探究：知道了，你觉得也有类似的规律吗？十、板书设计两角和与差的余弦两角差的余弦公式两角和的余弦公式例题变式练习十一、教后反思：《两角和与差的余弦》学情分析1知识分析必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备；但”两角差的余弦公式”推导过程中QUOTEθθ与QUOTEα、βα、β的关系，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成.2能力分析从平时的课堂教学中，注重培养学生小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，因此通过合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习。从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达.3学习习惯与态度所带班级属于理科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，课堂气氛较为活跃；但是作为部分学生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作。两角和与差的余弦效果分析1教学设计起点低，目标高，立意新本节课在遵循教材总体设计思路的前提下，对问题的引入作了调整，由最简单的、学生最易遇到的问题入手，显得自然、干脆，起点较低，便于学生理解。本节课的教学过程中，学生的思维活动在三个层面上展开：一是从问题形成到公式的探求过程；二是以公式作为思维对象，通过应用不断深化的过程；三是在回顾反思环节对整个学习过程和结果的回顾反思，促成学生认知上的升华。整个教学过程以公式探究和应用为载体，紧紧抓住思维的“关键点”来“教思维”，强化了学生对数学思想方法和数学思维的感悟，目标高，立意新。2教学过程真实、流畅，退让得当基于学生的数学学习心理，整节课的设计和实施都站在学生的角度去思考、观察、审视、操作.在问题的提出、解决、拓展等方面，学生能用接近水平的真实方式进行探究，力求还原真实的、曲折的探究过程，再现了科学研究中经常遇到的“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”的现象。在此课中，为了促进学生思维自然流淌，教师在教学中不断采用“退”的策略，“退”是退回学生思维的实际状况，促进知识的自然生长.“退”是为了“进”，力求在退中发展学生的思维能力，在退中增强学生的情感体验，在退中让学生的发展更为自然。两角和与差的余弦教材分析本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础，因此推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。过去教材曾用余弦定理证明两角和的余弦公式，虽能对学生进行思维训练，但过程繁琐，不易被学生接受。由于向量工具的引入，新教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。基于上述分析，本节课遵循教材安排意图为原则，让学生体会由特殊到一般的思维过程，即先用数形结合的思想，借助单位圆中的三角函数线，推出角α，β，α－β均为锐角时公式成立。对于α，β为任意角时的情况，运用向量的知识进行探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握。然后通过有梯度的练习、变式训练、分层作业等巩固公式。山东省诸城实验中学2016级高一课时教（学）案学科：数学姓名使用时间：2017年4月____日编号课题:§3.1.1两角和与差的余弦编制:_王桂娟审核__赵金言___学习目标1.知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。重点：应用两角和与差的余弦公式求值和证明；难点：两角和的余弦公式的推导。一、知识链接1、已知点QUOTEP(x,y)P(x,y)为角QUOTEαα的终边与单位圆的交点，则QUOTEcosα=cosα=________，QUOTEsinα=___________sinα=___________，即点QUOTEPP的坐标为____________。2、已知QUOTEa=x1，y1,b=(x2,y2)a=x1，y1与QUOTEbb的夹角为QUOTEθθ，则QUOTEcosθ=cosθ=___________=______________，其中QUOTEθθ的范围为______________。二、问题引入QUOTEsinα+π2=QUOTEcosα+π2=cosα+π2=QUOTEcosQUOTEcosα-π=cosα-π=QUOTEcosα-π2=三、两角和与差的余弦公式的推导y-1-111xO在平面直角坐标系中做一个单位圆，设角QUOTEαα，QUOTEββ的终边与单位圆的交点分别为A、B，设与的夹角为QUOTEθθ，y-1-111xO1、根据向量数量积的定义可得QUOTEOA∙OBOA∙OB2、点A的坐标是_____点B的坐标是________，向量的坐标是___________，的坐标是___________.y-1-111BAxO3、根据向量数量积的坐标运算可得y-1-111BAxO4、，的夹角与角QUOTEα、βα、β的关系：QUOTE（1）α-β∈[0,π]（1）QUOTE（2）α-β∈[π,2π]（2）5、当QUOTEα-βα-β在全体实数范围时，如何进行转换？结论归纳：1、差角的余弦公式：2、符号简记为：3、思考：如何推导两角和的余弦公式？和角的余弦公式：简记为：四、公式应用过关小试身手(1)(2)(3)再接再厉各显神通(1)(2)五、公式逆用六、数学运用已知QUOTEcosα=-45(π2<α<π)cosα=-45(π2<α<π),求QUOTEcos⁡(π6-α)七、课时总结八、当堂检测cos80°cos20°+sin80°sin20°cos130°cos5°-sin130°sin5°cos215°-sin215°设，若，则。（2004年全国高考题）。两角差的余弦公式教学反思两角差的余弦公式是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。一、反思教学理念：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握,态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，要重视学生的参与、体验过程。但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动